精品解析：贵州省贵阳市清华中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

贵阳市清华中学2027届高二年级10月月考试卷（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､单项选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，即可求解. 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行求出，据充要条件定义即可得. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C 4. 经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C 5. 一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 6. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解. 【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为  ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 7. 如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 8. 若点在直线，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，过坐标原点 B. 当时，的倾斜角为锐角 C. 当时，和轴平行 D. 若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得. 【详解】选项A，当时，是方程的解， 即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确. 故选：AD. 10. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的平行和垂直以及距离公式依次判断4个选项即可. 【详解】对于A， ，两直线重合，错误； 对于B， ，正确； 对于C，若 ，则，解得或.当时，，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，，间的距离为，正确； 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BCD. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，在方向上的投影为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 13. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 14. 已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 四､解答题：共5小题，满分77分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、分别是内角、、的对边，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得，再结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可得出关于的等式，解出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【小问1详解】 解：，由正弦定理可知，， ，，. 【小问2详解】 解：，，则由余弦定理知， 即，化简得，解得或（舍去）. 由正弦定理知，则. 16. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 【答案】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，，， . 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，设，连接. 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以为的中点. 因为为的中点， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解； （3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 又，所以，，两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则即 令，则，.于是. 因为 所以. 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面， 所以是平面的一个法向量. 所以. 由题设，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知直线均过点P(1，2). （1）若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； （2）如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易得 ，由，得到，写出直线的方程； （2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解. 【小问1详解】 解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)， 所以 ，因为， 所以，则直线的方程，即； 【小问2详解】 如图所示： 由题意得：直线的方程为：， 令，得，即， 令，得，即直线与x轴的交点为， 直线又过点， 所以直线的方程为：， 即， 令，得，即， 所以， ， ， 因为， 所以当时， PNOM面积的最小值为. 19. 如图（1）所示，在中，垂直平分.现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）. （1）求证：； （2）点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，求的值. 【答案】（1） 连接， 在中，由， 得， 故，所以， 因为垂直平分， 所以， 所以即为二面角的平面角，所以， 所以为等边三角形， 因为，所以为等边三角形， 取的中点，连接，则， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明和为等边三角形，再取的中点，连接，证明平面，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）先证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，因为， 所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 ， 则，可取， 设，由得， 所以，得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， ， 所以当时，取得最大值， 此时直线与平面所成角最大， 所以当直线与平面所成角最大时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市清华中学2027届高二年级10月月考试卷（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一､单项选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ） A. B. C. D. 8. 若点在直线，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，过坐标原点 B. 当时，的倾斜角为锐角 C. 当时，和轴平行 D. 若直线过点，直线的方程可化为 10. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，在方向上的投影为，则______． 13. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 14. 已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围____________ 四､解答题：共5小题，满分77分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、分别是内角、、的对边，. （1）求角的大小； （2）若，，求. 16. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 18. 已知直线均过点P(1，2). （1）若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； （2）如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 19. 如图（1）所示，在中，垂直平分.现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）. （1）求证：； （2）点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $