湖南省衡阳市衡阳县第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学模拟试题(一）

衡阳县二中2025年秋高二期中考试模拟卷（一） 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点坐标是，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 2.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 3.已知，，则( ) A. B. C. D. 4.若双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于( ) A.26或6 B.26 C.6 D.28 5.若圆与圆外切，则( ) A. B. C.10 D.12 6.已知直线与抛物线相交于A，B两点，过线段的中点P作一条垂直于x轴的直线m与直线交于点Q，则的面积为( ) A. B. C.1 D. 7.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是在城门外侧（或内侧）修建的半圆形或方形的护门小城（如图1），若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.图2所示的“曲池”是上、下底面均为扇环形的柱体，且底面扇环所对的圆心角为，若垂直于柱体下底面，，，，E为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线与直线交于点M，设直线，的斜率分别为，，则的值为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆，则下列说法正确的是( ) A.k的取值范围是 B.若，过点的直线被圆C所截得的弦长为，则该直线的方程为 C.若，则圆C与圆相交 D.若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立 10.已知正方体的棱长为1，E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的有( ) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面的距离为 C.平面与平面间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 11.在平面直角坐标系中，点在抛物线的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于P，Q两点，点，则下列结论正确的是( ) A.当时，直线l的斜率为 B.当时， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在三棱锥中，N在线段上，满足，M是平面内任意一点，，则实数________. 13.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是__________. 14.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. （1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标. 16.（15分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点，且. （1）求抛物线的方程. （2）在x轴上是否存在一点C，使为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. 17.（15分）已知圆与圆有两个不同的交点D，E. （1）求r的取值范围； （2）过直线DE上的一点P（在线段DE外的部分上），分别作圆O，圆C的一条切线，切点分别为A，B，问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18.（17分）如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交C于A，B两点，交直线于点P.若，，证明：为定值，并求出这个定值. 19.（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且. （1）求证：平面PAC； （2）求二面角的正弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC夹角的正弦值为，求的值. 答案及解析 1.答案：D 解析：由题意知，，过焦点且垂直于长轴的弦长为，则，，，.故选D. 2.答案：B 解析：直线过点，，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，，所以直线的倾斜角为.故选B. 3.答案：C 解析：由已知，得，，所以. 4.答案：B 解析：由题知，，，由双曲线的定义知，，解得或.又，，故选B. 5.答案：D 解析：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，因为两圆外切，所以， 解得，选D. 6.答案：B 解析：如图，由题意知，.设，因为线段的中点为P，所以，则，代入，得，则.由，得.设，，则，，所以，所以，故选B. 7.答案：D 解析：由题意，以点A为坐标原点，“曲池”下底面所在平面内过A且垂直于的直线为x轴，，所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 于是，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，得为平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，故选D. 8.答案：C 解析：因为椭圆C的两个顶点在直线上，所以，，所以椭圆方程为，所以，.设过点P的切线l的方程为，，由，消去y得.因为直线l与椭圆C相切，所以，所以.易得，所以，所以，又，所以，所以.设，因为M在切线上，所以，所以，所以，故选C. 9.答案：ACD 解析：对于A，由方程表示圆可得，解得，故A正确；对于B，若，则圆C的方程为，过点的直线被圆C所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，故B不正确；对于C，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，而，故两圆相交，故C正确；对于D，因为直线恒过圆C的圆心，所以，所以，当且仅当，时取等号，故D正确.故选ACD. 10.答案：BC 解析：如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，所以，. 设，则，所以. 故点A到直线BE的距离，故A错误.易知，平面的一个法向量为，则点O到平面的距离，故B正确.，，.设平面的法向量为，则所以令，得，，所以，所以点到平面的距离.易知平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C正确.因为，所以.又，所以，所以点P到直线AB的距离，故D错误.故选BC. 11.答案：BCD 解析：由题可知，抛物线C的准线方程为，所以，则，抛物线.设，，直线的方程为，代入抛物线C的方程，消去x得，所以，. 对于A，B，当时，，所以，，所以，所以直线l的斜率为，，故A错误，B正确； 对于C，因为， 所以直线，关于x轴对称，即，故C正确； 对于D，因为，所以为钝角，因为 ，所以为钝角，又，所以，故D正确. 故选BCD. 12.答案： 解析：依题意，， 则， 由于A，B，C，M四点共面，所以，.故答案为： 13.答案： 解析：由题意，，，记右焦点为，中点为Q，因为O是的中点，所以，， 又，所以， 故，即直线的斜率为. 14.答案：6 解析：设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，不妨设点P在第一象限，如图.由题意可知.因为，，所以，，两式相减得.所以.又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. 15.答案：（1） （2）只在点取得最大值2，此时点P的坐标为 解析：（1）依题意得两圆的圆心分别为，，半径均为2， 从而可得或， 所以， 所以圆C的圆心轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为的双曲线， 因此，，， 故C的圆心轨迹L的方程为. （2）由已知可求得过M，F的直线l的方程为， 将其代入L的方程得，解得，， 故l与L的交点为，. 因为在线段MF外，所以. 因为在线段MF内，所以. 若P不在直线MF上，在中，. 故只在点取得最大值2，此时点P的坐标为. 16.答案：（1） （2）不存在，理由见解析 解析：（1）设所求抛物线的方程为. 由消去y，得. 设点，，则，. 因为， 所以， 所以， 解得或（舍去）. 所以抛物线的方程为. （2）不存在，理由如下： 设AB的中点为D，则点D的坐标为. 假设在x轴上存在满足条件的点. 因为为正三角形， 所以，即，解得. 所以点， 所以. 又，与上式矛盾， 所以在x轴上不存在点C，使为正三角形. 17.答案：（1） （2）存在常数，使得恒成立 解析：（1）根据题意，得， 且， 即 解得. 所以r的取值范围是. （2）圆，圆，两圆的方程相减， 得，整理可得直线DE的方程为， 设点，如图， 因为PA与圆相切，所以在中， ，又点在直线DE上， 所以， 所以， 同理可得 ， 所以，即，故存在常数，使得恒成立. 18.答案：(1) (2)定值为0，证明见解析 解析：(1)由题意得 解得又，所以，， 所以椭圆C的标准方程为. (2)由题设知在椭圆C内，直线l的斜率存在， 设，，，则， 所以，，，， 联立消去y并整理， 得，且， 所以，， 由，得且，得， 由，得且，得， 所以 . 所以为定值0. 19.答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解析：（1）证明：由题意得，AB，AD，AP两两相互垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，，， 所以，，. 因为，， 所以，， 又，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2）由（1）可知平面PAC， 所以为平面PAC的一个法向量. 设平面PCD的一个法向量为， 又，， 则即 令，得， 则， 由题意知，二面角为锐二面角， 所以二面角的正弦值为. （3）设，则， 所以，所以， 因为直线QE与平面PAC夹角的正弦值为， 所以， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $