精品解析：四川省广元市利州区万达实验学校2025-2026学年上学期八年级数学第一次月考试题

八年级数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式合并得到结果，即可作出判断；原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A．，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．，错误，符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，现要建一个物流中转站，要求到A、B、C三处的距离相等的点是的（ ） A. 三条垂直平分线的交点 B. 三边角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 根据线段的垂直平分线的性质确定加油站的位置． 【详解】解：∵物流中转站到点A，B，C三处的距离相等， ∴物流中转站为、、的垂直平分线的交点． 故选：A． 4. 如图所示，已知是经过顶点的一条直线，分别是直线上两点，且．下面可能得不到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，等量代换得到角度相等，再根据三角形形全等的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故C不符合题意； D、，，，不能判定三角形全等， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：，注意不能判定全等． 5. 已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 6. 如图，在中，，的平分线交于点D，恰好是的垂直平分线，垂足为E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据角平分线定义得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据含直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵平分，且， ∴. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴. ∵， ∴. 在中，， ∴. 故选：B. 7. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 8. 我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 则第8行的第4个数为（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得： 第一行： 1 第二行： 1 1 第三行： 1 2 1 第四行： 1 3 3 1 第五行： 1 4 6 4 1 第六行： 1 5 10 10 5 1 第七行： 1 6 15 20 15 6 1 第八行：1 7 21 35 35 21 7 1 所以第8行的第4个数为：35； 故选：B． 9. 平面直角坐标系中，已知A(1，2)、B(3，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，①若AB=AC时，以A为圆心，AB的长为半径画圆，先求出AB，根据直线与圆的位置关系，判定出此时圆与坐标轴的位置关系，即可得出结论；②若BA=BC时，以B为圆心，AB的长为半径画圆，根据直线与圆的位置关系，判定出此时圆与坐标轴的位置关系，即可得出结论；③若AC=BC时，作AB的垂直平分线，观察坐标系即可得出结论． 【详解】解：分三种情况： ①若AB=AC时，以A为圆心，AB的长为半径画圆，如下图所示 根据平面直角坐标系中任意两点的距离公式：AB= 而点A到x轴的距离为2＜，圆与x轴相交 ∴此圆与x轴有两个交点（其中一个为点B），即此时在x轴上有1个符合条件的点C 点A到y轴的距离为1＜，圆与y轴相交 ∴此圆与y轴有两个交点，即此时在y轴上有2个符合条件的点C 即若AB=AC时，满足条件的C有3个； ②若BA=BC时，以B为圆心，AB的长为半径画圆，如下图所示 点B到x轴的距离为0＜，圆与x轴相交 ∴此圆与x轴有两个交点，即此时在x轴上有2个符合条件的点C 点B到y轴的距离为3＞，圆与y轴相离 ∴此圆与y轴无交点，即此时在y轴上不存在点C 即若BA=BC时，满足条件的C有2个； ③若AC=BC时，作AB的垂直平分线，如下图所示，与坐标轴有2个交点，根据垂直平分线的性质，即若AC=BC时，满足条件的C有2个； 综上所述：满足条件的点C的个数是3＋2＋2=7个 故选C． 【点睛】此题考查的是作等腰三角形、判断圆与直线的位置关系和作垂直平分线，掌握分类讨论的数学思想和圆与直线的位置关系的判断方法是解决此题的关键． 10. 如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①AP平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明根据全等三角形的性质得出判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：①过点作于，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意； ③∵平分，平分， ∴， ∴，故③不符合题意； ④由②可知，， 故④符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：B． 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 如图，D是的边上一点，，，．则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合，推出，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为： 12. 如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长． 【详解】解：中，，， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高． 13. 若的两边长a，b满足，且d是第三边c上的中线，则d的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，全等三角形的证明以及三角形的三边关系，掌握相应的知识点是解题的关键．由，得a，b的值，作图后由得，最后根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长d的取值范围． 【详解】解：由可得， ∵ ， 如图，设，，是对边的中线，延长至点，使得，并连接， , ， ，即， 中线长d的取值范围为：． 故答案为： 14. 如图，在中，，的平分线交于点O，于D，如果，，，且三角形的面积，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 16. 如图，于点A，，射线于点B，一动点D从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，E为射线上一动点，随着点D的运动而运动，且始终保持，若点D运动t秒，与全等，则t的值为________． 【答案】1或3或4 【解析】 【分析】此题要分两种情况：①当D在线段AB上时，②当D在BN上，再分别分成两种情况AC=BD，AB=BD进行计算即可． 【详解】解：①当D在线段AB上，AC=BD时，而，， 则△ACB≌△BDE， ∵AC=2，AB=4， ∴BD=2， ∴AD=4-2=2， ∴点D的运动时间为2÷2=1（秒）； ②当D在BN上，AC=BD时， ∵AC=2， ∴BD=2， ∴AD=4+2=6， ∴点D的运动时间为6÷2=3（秒）； 当D在BN上，AB=DB时，△ACB≌△BED， AD=4+4=8， 点D的运动时间为8÷2=4（秒）， 故答案为：1或3或4． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 三、解答题（10小题，共96分） 17. 计算： （1）（用乘法公式计算）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和积的乘方的逆用，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）逆用积的乘方进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，注意整体思想的应用． （1）先将变形为，然后整体代入求值即可； （2）先将变形为，再由，得出，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， ， ∴原式． 19. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． 请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）请画出的中线和高． （2）在线段右侧找到点F，使得． 【答案】（1） 解：的中线和高，如图， （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图的应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点P（与网格线的一个交点），连接，取格点T，连接交于点H，线段即为所求； （2）利用数形结合的思想，旋转度和平移，作出，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且． （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D，于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】（1）先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）先由求得，再根据全等三角形的对应边相等证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是4． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键． 21. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ∵平分， ∵是的中点， ∴是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，进而结合中点的定义得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得结论； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，利用判断出，根据全等三角形的性质得，同理，推出，进而根据直角三角形的面积计算方法算出的面积，最后根据即可算出答案． 本题考查角平分线定理的应用，三角形全等的判定与性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 均是直角三角形， 又∵平分， 在和中， ， ， 同理， ， ， ． ， ∴四边形的面积为12． 22. 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD， AD，BE相交于点P． （1）求证：△ABE≌△CAD． （2）求∠BPD的度数． （3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°． 在△ABE和△CAD中，， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； （2）60°；（3）7. 【解析】 【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可； （2）由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD，由外角与内角的关系就可以得出答案． （3）由全等三角形的性质得出BE=AD，求出∠BPQ=30°，由直角三角形的性质求出BP的长，即可求得BE的长，即可解题． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠CAD． ∵∠BAD+∠CAD＝60°， ∴∠BAD+∠ABE＝60°． ∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝60°． （3）解：∵△ABE≌△CAD， ∴BE＝AD， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°， ∴BP＝2PQ＝6， ∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 23. 对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． （1）_______； （2）对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； （3）对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【小问1详解】 解：根据， 得． 【小问2详解】 解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 【小问3详解】 解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 【点睛】本题考查了有理数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 24. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明，得出，，即可得证； （3）由（2）得且，求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（2）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 25. 如图 （1）如图1，等腰和等腰中，，B，E，D三点在同一直线上，求证：； （2）如图2，等腰中，，，D是外一点，且，求证：； （3）如图3，等边中，D是外一点，且， ①∠ADB的度数； ②DA，DB，DC之间的关系． 【答案】（1） ， ∴ ， 在和中，， ， ， ，， ， ； （2） 如图2，过作交于得， ， , ， ，， ， 在和中，， ， ， ； ∴． （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）如图1，先利用SAS证明，得到，进一步可得证； （2）如图2，过作交于，利用ASA证明，得到，从而得证； （3）①如图3-1，在三角形内作，交于点，证得是等边三角形，即可得证； ②先利用SAS证明，得到，再利用等量代换可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图3-1，在三角形内作，交于点， 与（2）同理可证， 是等边三角形， ； ②． 如图3-1，易知， 又AB=AC,由①知AE=AD， ， ， 是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，也考查了等边三角形的性质，添加恰当的辅助线是解第2、3问的关键． 26. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； （4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）210海里 （4） 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． 【小问4详解】 解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，现要建一个物流中转站，要求到A、B、C三处的距离相等的点是的（ ） A. 三条垂直平分线的交点 B. 三边角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条中线的交点 4. 如图所示，已知是经过顶点的一条直线，分别是直线上两点，且．下面可能得不到的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 6. 如图，在中，，的平分线交于点D，恰好是的垂直平分线，垂足为E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 8. 我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 则第8行的第4个数为（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 9. 平面直角坐标系中，已知A(1，2)、B(3，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，中，、的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，于M，于N，则下列结论：①AP平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每题4分，共24分） 11. 如图，D是的边上一点，，，．则的度数为______． 12. 如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的长为______． 13. 若的两边长a，b满足，且d是第三边c上的中线，则d的取值范围为______． 14. 如图，在中，，的平分线交于点O，于D，如果，，，且三角形的面积，那么的长为______． 15. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 16. 如图，于点A，，射线于点B，一动点D从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，E为射线上一动点，随着点D的运动而运动，且始终保持，若点D运动t秒，与全等，则t的值为________． 三、解答题（10小题，共96分） 17. 计算： （1）（用乘法公式计算）； （2）． 18. （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 19. 如图，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． 请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）请画出的中线和高． （2）在线段右侧找到点F，使得． 20. 如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且． （1）求证：； （2）已知，求的长． 21. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 22. 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD， AD，BE相交于点P． （1）求证：△ABE≌△CAD． （2）求∠BPD的度数． （3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长． 23. 对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． （1）_______； （2）对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； （3）对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 24. 已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 25. 如图 （1）如图1，等腰和等腰中，，B，E，D三点在同一直线上，求证：； （2）如图2，等腰中，，，D是外一点，且，求证：； （3）如图3，等边中，D是外一点，且， ①∠ADB的度数； ②DA，DB，DC之间的关系． 26. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； （4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $