期中考试分类复习讲义2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册数学期中考试分类复习讲义 【题型一】正数和负数 【例1】一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的一组数据记录如下：单位（米）+5，﹣3，+7，﹣8，+12，﹣4，﹣7．请你通过计算说明： （1）守门员最后是否回到了球门线的位置？ （2）本组练习结束后，守门员共跑了多少米？ 【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可； （2）求出所有数的绝对值的和即可． 【解答】解：（1）将个数相加可得： （+5）+（﹣3）+（+7）+（﹣8）+（+12）+（﹣4）+（﹣7） ＝（5+7+12）+[（﹣3）+（﹣8）+（﹣4）+（﹣7）] ＝24+（﹣22） ＝2， 则守门员最后向前2米，没有回到了球门线的位置； （2）将各数的绝对值相加可得： 5+3+7+8+12+4+7＝46（米）， 则守门员共跑了46米． 【变式1】学生食堂购进了20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表． 每袋与标准质量的差/千克 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 2 2.5 袋数 1 3 4 3 5 4 （1）20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻 　5.5　 千克． （2）与标准质量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ （3）若土豆每千克的售价为2元，则买这20袋土豆共需多少钱？ 【分析】（1）利用正数和负数的意义计算； （2）利用正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则计算； （3）利用正数和负数的意义，有理数的混合运算法则计算． 【解答】解：（1）2.5﹣（﹣3） ＝2.5+3 ＝5.5（千克）， 故答案为：5.5； （2）（﹣3）×1+（﹣2）×3+（﹣1.5）×4+0×3+2×5+2.5×4 ＝﹣3﹣6﹣6+0+10+10 ＝5（千克）， 答：与标准质量比较，20袋土豆总计超过5千克； （3）（20×50+5）×2 ＝（1000+5）×2 ＝1005×2 ＝2010（千克）， 答：买这20袋土豆共需2010元． 【题型二】数轴 【例1】已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|c|＝ b ． 【分析】根据数轴的意义可知：c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，结合绝对值的性质化简给出的式子． 【解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|， ∴a+b＞0，a+c＜0，c＜0， ∴|a+b|+|a+c|﹣|c|＝a+b﹣a﹣c+c＝b． 故答案为：b． 【例2】数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：|x+1|+|x﹣a|+|x﹣2|的最小值是5，则a＝ 　 　 ． 【分析】根据原式的最小值为5，分两种情况：a＞2或a＜﹣1，列等式解答即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当a＞2时，a﹣（﹣1）＝5， ∴a＝4； ②当a＜﹣1时，2﹣a＝5， ∴a＝﹣3； 综上，a的值是4或﹣3． 故答案为：4或﹣3． 【变式1】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|＝ ． 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置判断出b﹣c和a的符号，去绝对值，再合并同类项即可． 【解答】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：c＜a＜0，b＞0， 因此b﹣c＞0， 故|b﹣c|﹣|a|＝b﹣c+a＝a+b﹣c， 故答案为：a+b﹣c． 【变式2】对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+3NP＝k，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+3NP＝4，所以点P是点M，N的“4和点”，如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2． （1）若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值 　 　 ． （2）若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为 　 　 ． （3）若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，求k的值． 【分析】（1）由数轴上的点表示的数求出AO＝2，BO＝2，再由“k和点”的定义即可得出结果； （2）设点C表示的数为x，由AC+3BC＝5，则x+2+3（2﹣x）＝5，解方程即可； （3）分两种情况，当点D在AB之间时，当点D在点B右侧时，由“k和点”的定义分别求出k的值即可． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2，点O表示的数为0， ∴AO＝2，BO＝2， ∵点O为点A，B的“k和点”， ∴k＝2+3×2＝8， 故答案为：8； （2）∵点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”， ∴AC+3BC＝5， 设点C表示的数为x， 则x+2+3（2﹣x）＝5， 解得：x＝1.5， 故答案为：1.5； （3）当点D在AB之间时，设点D表示的数为y， 则y+2＝2（2﹣y）， 解得：， ∴； 当点D在点B右侧时，设点D表示的数为z， 则z+2＝2（z﹣2）， 解得：z＝6， ∴k＝6+2+3×（6﹣2）＝20； 综上所述，k的值为或20． 【题型三】有理数的混合运算 【例1】11．计算： （1）2+（﹣3）+3； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）有理数加减混合运算按照从左到右依次计算即可． （2）有理数乘除混合运算按照从左到右依次计算即可． （3）按照乘法运算律计算即可． （4）先算乘方，再算乘除法，最后再算加减法即可． 【解答】解：（1）2+（﹣3）+3 ＝2﹣3+3 ＝2； （2）原式 ； （3）原式 ＝﹣8+20﹣9 ＝3； （4）原式 ＝﹣2+2 ＝0． 【例2】若|a+5|+（b﹣2）2＝0，求ab的值． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝﹣5×2＝﹣10． 【变式1】计算： （1）﹣41﹣（﹣28）+（﹣59）+72； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方及绝对值，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣41+28﹣59+72 ＝（﹣41﹣59）+（28+72） ＝﹣100+100 ＝0； （2）原式＝﹣81 ； （3）原式（﹣48）（﹣48）（﹣48） ＝﹣3+36﹣4 ＝29； （4）原式＝﹣1×（2﹣125）﹣3 ＝﹣1×（﹣123）﹣3×4 ＝123﹣12 ＝111． 【变式2】下列各组值中，相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣1）2020和（﹣1）2023 D．和 【分析】根据有理数的乘方计算各项，再比较即可求解． 【解答】解：A、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，两者不相等，本选项不符合题意； B、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，两者相等，本选项符合题意； C、（﹣1）2020＝1，（﹣1）2023＝﹣1，两者不相等，本选项不符合题意； D、，，两者不相等，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】小明家购置了一辆续航为350km（充满电时能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 +5 ﹣3 +8 ﹣6 +7 （1）这7天路程最多的一大比最少的一天多走 　14　 km； （2）小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的10%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【分析】（1）观察表格可知：第五天行驶了48km，第一天和第六天行驶了34km，然后根据有理数的减法法则进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余15%时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【解答】解：（1）由表格可知：第五天行驶了48km，第一天和第六天行驶了34km， ∴最多的一大比最少的一天多走48﹣34＝14（km）． 故答案为：14； （2）由题意得：﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7 ＝2+5+8+7﹣6﹣3﹣6 ＝22﹣15 ＝7（km）， 40×7+7 ＝280+7 ＝287（km）， 350﹣350×10% ＝350﹣35 ＝315（km）， ∵315＞287， ∴行车电脑不会发出充电提示． 【变式4】下列说法正确的是（　　） A．两数相加，和一定大于任何一个加数 B．有理数都能用数轴上的点表示 C．整数分为正整数和负整数 D．符号不同的两个数互为相反数 【分析】根据有理数的分类、相反数的定义，数轴上的点与有理数的关系依次判断即可． 【解答】解：A．两数相加，和不一定大于任何一个加数，故该项错误，不符合题意； B．所有的有理数都能用数轴上的点表示，故该项正确，符合题意； C．整数分为零，正整数和负整数，故该项错误，不符合题意； D．只有符号不同的两个数互为相反数，故该项错误，不符合题意． 故选：B． 【题型四】科学记数法—表示较大的数 【例1】2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射成功，标志着我国的月球探测工程又向前迈进了一步．月球与地球的平均距离约是384403千米，用科学记数法表示384403是（　　） A．3.84403×105 B．38.4403×104 C．3.84403×106 D．0.384403×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384403＝3.84403×105． 故选：A． 【变式1】国庆假期，西安位列“热门目的地”第二，共接待游客约1754万人次，将数据1754万用科学记数法可记为（　　） A．1.754×105 B．1.754×106 C．1.754×107 D．1.754×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1754万＝17540000＝1.754×107． 故选：C． 【题型五】列代数式 【例1】一辆小汽车每小时行驶a千米，高铁的速度比它的3倍多10千米，则高铁的速度是每小时行驶 　 　 千米．（用含a的式子表示） 【分析】根据“高铁的速度比它的3倍多10千米”列出代数式． 【解答】解：根据题意知：高铁的速度是每小时行驶（3a+10）千米． 故答案为：（3a+10）． 【变式1】为全面落实立德树人的根本任务，卡富校园文化生活，我校举办了“阅读润心田，书香伴成长”的校园读书节活动，某年级组在此次活动中购买了120件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多2．设一等奖奖品的数量为x件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 22 15 5 （1）请用含x的代数式表示购买120件奖品所需的总费用； （2）若一等奖奖品购买了12件，则该年级组共花费多少元？ 【分析】（1）先表示出二、三等奖奖品的数量，再分别乘以三个等级奖品单价，求和即可得出答案； （2）将x＝12代入以上所列代数式计算即可． 【解答】解：（1）设一等奖奖品的数量为x件， 则二等奖奖品的数量为（3x+2）件，三等奖奖品的数量为120﹣（x+3x+2）＝（118﹣4x）件， 根据题意，得：购买120件奖品所需的总费用为22x+15（3x+2）+5（118﹣4x） ＝22x+45x+30+590﹣20x ＝47x+620； （2）当x＝12时，47x+620＝564+620＝1184（元）， 答：该年级组共花费1184元． 【变式2】我校数学社团的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）． （1）此长方体包装盒的体积为　 立方毫米（用含x，y的式子表示）． （2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当x＝30，y＝52时，制作这一个长方体共需要纸板多少平方毫米？ 【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解； （2）由于长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1）×长方体的表面积，最后将数值代入求出结果． 【解答】解：（1）由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米， 则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米． 故答案为：65xy； （2）∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米， ∴长方体的表面积＝2（xy+65y+65x）平方毫米， 又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的， ∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积： S＝（1）×2（xy+65y+65x） xy+143x+143y（平方毫米）， 将x＝30，y＝52代入得： S＝15158平方毫米． 答：制作这一个长方体共需要纸板15158平方毫米． 【题型六】代数式求值 【例1】如图所示为一个计算程序： 若开始输入的数x为正整数，最后输出的结果为87，则满足条件的x的值为 　 　 ． 【分析】根据最后输出的结果为87，逆着运算顺序，列6x﹣3＝87依次计算可解答． 【解答】解：根据最后输出的结果为87，逆着运算顺序可得： 6x﹣3＝87，解得：x＝15， 当6x﹣3＝15，解得x＝3， 当6x﹣3＝3，解得：x＝1， 则满足条件的x的值为1，3，15． 故答案为：1，3，15． 【变式1】骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约15cm，测量裆部离地面的高度h（单位：cm），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：cm），此时的车座高度是骑行最合适的高度．根据雷蒙德测量方法解决下列问题： （1）用代数式表示l与h之间的关系，l＝ 　 ； （2）当h＝80cm时，l为多少厘米？ 【分析】（1）根据题意，直接将l用含h的代数式表示出来即可； （2）将h＝80代入（1）中得到的关系式，求出对应l的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得l＝0.883h． 故答案为：0.883h． （2）当h＝80时，l＝0.883×80＝70.64， ∴当h＝80cm时，l为70.64厘米． 【变式2】某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10双和运动袜x双（x＞10）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　 　 元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付款 　 　 元．（需化简） （2）当x＝20时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？ 【分析】（1）方案一：买完10双鞋子后送10双袜子，即袜子只需要买（x﹣10）双，再进行计算即可，方案二：根据运动鞋和运动袜都按定价的90%付款计算出来，再进行计算即可； （2）将x代入（1）中的式子，再进行比较即可． 【解答】（1）解：按方案一购买：需付款200×10+40（x﹣10）＝（40x+1600）元； 按方案二购买：需付款200×10×90%+40x×90%＝（36x+1800）元； 故答案为：（40x+1600）；（36x+1800）； （2）解：当x＝20时，40x+1600 ＝40×20+1600 ＝2400元； 36x+1800＝ 36×20+1800 ＝2520元， ∵2520＞2400， ∴方案一更省钱． 【题型七】同类项及合并同类项 【例1】已知2x6y2和﹣x2myn是同类项，则3m2﹣5mn﹣17的值是（　　） A．31 B．﹣21 C．﹣14 D．﹣20 【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m，n的值，根据代数式求值，可得答案． 【解答】解：由题意，得2m＝6，n＝2． 解得m＝3，n＝2． 3m2﹣5mn﹣17＝9×3﹣5×3×2﹣17＝27﹣30﹣17＝﹣20． 故选：D． 【变式1】已知代数式﹣3xm﹣1y3与4xym+n是同类项，那么m，n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝﹣1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣2，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝1 【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值． 【解答】解：由题意，得 m﹣1＝1，m+n＝3， 解得m＝2，n＝1． 故选：B． 【变式2】已知关于x，y的代数式ax2+4x+x2﹣3y2﹣b2x+4y﹣5的值与x的取值无关，则a﹣b＝　 　 ． 【分析】先将代数式ax2+4x+x2﹣3y2﹣b2x+4y﹣5整理得（a+1）x2+（4﹣b2）x﹣3y2+4y﹣5，再根据该代数式的值与x的取值无关得a+1＝0，4﹣b2＝0，由此解出a，b，进而可得a﹣b的值． 【解答】解：ax2+4x+x2﹣3y2﹣b2x+4y﹣5 ＝（a+1）x2+（4﹣b2）x﹣3y2+4y﹣5， ∵代数式ax2+4x+x2﹣3y2﹣b2x+4y﹣5的值与x的取值无关， ∴a+1＝0，4﹣b2＝0， ∴a＝﹣1，b＝±2， ∴a﹣b＝﹣1+2＝1或a﹣b＝﹣1+（﹣2）＝﹣3． 故答案为：1或﹣3． 【题型八】规律型：数字的变化类及图形的变化类 【例1】已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，用100除以3，从而可以求得答案． 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2， a3， a42， ∴这列数是以﹣2，，依次循环，且﹣2； ∵100÷3＝33…1， ∴a1+a2+…+a100＝33×（）﹣2； 故选：A． 【例2】如图是某种分子的结构模型，它由半径相同的空心小圆和实心小圆按如图所示的方式排列．第1个图形有4个小圆，第2个图形有6个小圆，第3个图形有8个小圆，…．依此规律，第100个图形的空心圆个数是（　　） A．103 B．102 C．101 D．99 【分析】根据图形总结出第n个图形有2+2n圆，实心圆有n个，空心圆有2+2n﹣n＝（2+n）个，然后代入求解即可． 【解答】解：第1个图形有4圆，实心圆有1个，空心圆有3个， 第2个图形有6圆，实心圆有2个，空心圆有4个， 第3个图形有8圆，实心圆有3个，空心圆有5个， 第4个图形有10圆，实心圆有4个，空心圆有6个， …， 第n个图形有2+2n圆，实心圆有n个，空心圆有2+2n﹣n＝（2+n）个， 则第100个图形的空心圆个数是：2+n＝2+100＝102（个） 故选：B． 【变式1】用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要11根火柴棒；第3个图形需要16根火柴棒；…按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．6n B．4n+2 C．5n﹣4 D．5n+1 【分析】根据所给图形，依次求出图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形所需火柴棒的根数为：6＝1×5+1； 第2个图形所需火柴棒的根数为：11＝2×5+1； 第3个图形所需火柴棒的根数为：16＝3×5+1； …， 所以第n个图形所需火柴棒的根数为（5n+1）个． 故选：D． 【变式2】如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（7）中共有正方形的个数是 　 　 ． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 图（1）中正方形的个数为：1＝21﹣1； 图（2）中正方形的个数为：3＝22﹣1； 图（3）中正方形的个数为：7＝23﹣1； 图（4）中正方形的个数为：15＝24﹣1； …， 所以图（n）中正方形的个数为（2n﹣1）个， 当n＝7时， 2n﹣1＝127（个）， 即图（7）中正方形的个数为127个． 故答案为：127． 【题型九】多项式 【例1】多项式﹣x2+3x﹣5的二次项系数是（　　） A．﹣x2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 【分析】根据多项式的意义，即可解答． 【解答】解：多项式﹣x2+3x﹣5的二次项系数是﹣1， 故选：B． 【变式1】若多项式是关于x的四次二项式，则m的值为 　 ． 【分析】由多项式的次数，项数的定义，绝对值的意义，即可求解． 【解答】解：∵多项式式是是关于x的四次二项式， ∴|m|＝3，m﹣3＝0， ∴m＝3． 故答案为：3． 【变式2】若多项式x|n﹣1|+x﹣2是关于x的三次三项式，n的倒数是负数，则n的值为 　 　 ． 【分析】根据多项式的意义可得：|n﹣1|＝3，求出n的值为4或﹣2，再根据n的倒数是负数确定答案． 【解答】解：∵多项式x|n﹣1|+x﹣2是三次三项式， ∴|n﹣1|＝3， 解得：n＝4或n＝﹣2， ∵n的倒数是负数， ∴n的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式3】已知多项式3m2n4﹣2mn﹣5的二次项系数为a，项数为b，次数为c．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）若将该数轴对折，使得对折后点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点所表示的数． （3）有一电子蟋蟀落在数轴上的点A处，第1步向右跳一个单位长度，第2步向左跳2个单位长度，第3步向右跳3个单位长度，第4步向左跳4个单位长度，…按以上规律跳了2025步后，求电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数． 【分析】（1）根据多项式的定义即可求得答案； （2）根据数轴的定义即可求得答案； （3）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）∵多项式3m2n4﹣2mn﹣5的二次项系数为a，项数为b，次数为c， ∴a＝﹣2，b＝3，c＝6， 故答案为：﹣2；3；6； （2）∵对折后点A与点C重合， ∴此时数轴上折点所表示的数是 ， ∴折叠后与点B重合的点所表示的数为2×2﹣3＝1； （3）﹣2+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣…+2023﹣2024+2025 ＝﹣2﹣1012+2025 ＝1011． 即电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数为1011． 【题型十】整式的加减 【例1】计算：﹣4x﹣3（x+2y）+6y＝　 ． 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：﹣4x﹣3（x+2y）+6y ＝﹣4x﹣3x﹣6y+6y ＝﹣7x． 故答案为：﹣7x． 【变式1】已知A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣2xy﹣y2． （1）求A+B； （2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？ 【分析】（1）根据题意列出算式，再去括号、合并同类项可得； （2）由2A﹣3B+C＝0可得C＝3B﹣2A＝3（x2+2xy﹣3y2）﹣2（2x2﹣2xy﹣y2），再去括号、合并同类项可得． 【解答】解：（1）A+B＝（x2+2xy﹣3y2）+（2x2﹣2xy﹣y2） ＝x2+2xy﹣3y2+2x2﹣2xy﹣y2 ＝3x2﹣4y2； （2）因为3A﹣2B+C＝0，A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣2xy﹣y2． 所以C＝2B﹣3A＝2（2x2﹣2xy﹣y2）﹣3（x2+2xy﹣3y2） ＝4x2﹣4xy﹣2y2﹣3x2﹣6xy+9y2 ＝x2﹣10xy+7y2． 【变式2】已知A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2． （1）求﹣A+B． （2）如果2A﹣3B+C＝0，那么C的表达式是什么？ 【分析】（1）将A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2代入﹣A+B，再去括号、合并同类项化简即可； （2）将A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2代入2A﹣3B+C＝0，可求出C． 【解答】解：（1）∵A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2， ∴﹣A+B ＝﹣（a2﹣2ab+b2）+（a2+2ab+b2） ＝﹣a2+2ab﹣b2+a2+2ab+b2 ＝4ab， 故答案为：4ab； （2）∵2A﹣3B+C＝0， ∴C＝3B﹣2A ＝3（a2+2ab+b2）﹣2（a2﹣2ab+b2） ＝a2+10ab+b2， 答：C的表达式是a2+10ab+b2． 【题型十一】整式的加减—化简求值 【例1】先化简，再求值：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣xy），其中x＝﹣2，y＝3． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝6y3+4x3﹣8xy﹣6y3+2xy＝4x3﹣6xy， 当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣32+36＝4． 【变式1】先化简再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1． 【分析】先去括号，然后合并同类项得到原式＝﹣5x2y+5xy，然后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y ＝﹣5x2y+5xy， 当x＝1，y＝﹣1时，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝0． 【变式2】（1）化简：5（mn﹣2m）+3（4m﹣2mn）； （2）先化简，再求值：3（2x2+6x﹣1）﹣2（﹣2x2+4x+1），其中． 【分析】（1）根据合并同类项化简即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后将代入化简结果进行求值即可． 【解答】解：（1）原式＝5mn﹣10m+12m﹣6mn ＝2m﹣mn； （2）原式＝6x2+18x﹣3+4x2﹣8x﹣2 ＝10x2+10x﹣5， 当时， 原式 ． 【变式3】先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求6a2b﹣3ab2﹣5a2b+4ab2的值． 【分析】根据非负数的性质，求出a，b的值，再根据整式的加减运算，化简代数式，最后把a，b的值代入，即可． 【解答】解：∵， ∴，b＝﹣1， 原式＝a2b+ab2， 把，b＝﹣1，代入． 【题型十二】方程思想、数形结合（数轴类压轴题） 【例1】我们将数轴上点P表示的数记为xP，对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有xN﹣xT＝k（xM﹣xT），其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上原点为0，点A，点B表示的数分别为xA＝﹣2，xB＝3． （1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝ 　　 ；若点C是点A关于点B的“2星点”，则xC＝ 　 　 ． （2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．当线段AB运动几秒时，点D是点A关于点的“﹣2星点”？ （3）点Q是数轴上一点（不与A，B两点重合），记点A′是点A关于点Q的“3星点”，点B′是点B关于点Q的“3星点”．当点Q运动时，Q到A′的距离QA′与Q到B′的距离QB′之和是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由“k星点”的定义列出方程可求解； （2）设点表示的数为a，点B表示的数a+5，则线段AB的中点D表示的数为，由“k星点”的定义列出方程可求解； （3）先求出A'，B'表示的数，可求QA'+QB'＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|，由绝对值的性质可求解． 【解答】解：（1）∵点B是点A关于原点O的“k星点”， ∴3﹣0＝k（﹣2﹣0）， ∴k． ∵点C是点A关于点B的“2星点”， ∴xC﹣3＝2×（﹣2﹣3）， ∴xC＝﹣7， 故答案为：，﹣7； （2）设点表示的数为a，点B表示的数a+5，则线段AB的中点D表示的数为， ∵点D是点A关于点O的“﹣2星点”， ∴0＝﹣2×（a﹣0）， ∴a， ∴t． ∴当ts时，使得点D是点A关于点O的“﹣2星点”； （3）当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，理由如下： 设点Q表示的数为y， ∵点A'是点A关于点Q的“3星点”， ∴点A'表示的数为﹣6﹣2y， ∵点B'是点B关于点Q的“3星点”， ∴点B'表示的数是9﹣2y， ∴QA'+QB'＝|﹣6﹣2y﹣y|+|9﹣2y﹣y|＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|， 当y＜﹣2时，QA'+QB'＝3﹣6y＞15， 当﹣2＜y＜3时，QA'+QB'＝15， 当y＞3时，QA'+QB'＝6y﹣3＞15， ∴当点Q在线段AB（点Q不与A，B两点重合）上时，QA'+QB'存在最小值，最小值为15． 【例2】科技创新强国有我，西安滨河学校机器人社团小乐同学，在学完数轴后，他想对数轴进行深入探究，于是在机器人选修课上编写了一道与数轴相关的程序，让数学走进生活，让数学走进科技创造，他是这样设计的： 【新知理解】在数轴上有三个不重合的点A、B、C，若点C到A、B两点的距离满足2倍关系，那我们叫点C为A、B两点的2倍点． 若：如图1，数轴上点A、B、C、D分别表示数﹣3，﹣1，3，1，点B、D就称为A、C两点的内2倍点；点A、C就称为B、D两点的外2倍点； 【问题解决】如图2，在数轴上P，Q两点所表示的数分别为﹣2和4． （1）P，Q两点的内2倍点所表示的数为：　 　 ；（写出一个即可） （2）若点Q为P，N两点的外2倍点，则点N所表示的数为多少？ 【应用拓展】如图3，数轴上有两点A，B所对应的数分别是a，b，且满足a+19是最大的负整数，b﹣40是绝对值最小的有理数．现将一个机器人M放在数轴上点B的位置，以4个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （3）当M是A、B两点的外2倍点，则运动时间t的值为多少？ （4）若M、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内2倍点时，则运动时间t的值为：　45或22.5或10或5　 （请直接写出答案）． 【分析】（1）设P，Q两点的内2倍点所表示的数为x，根据新定义建立方程求解即可； （2）设点N所表示的数为y，根据点Q为P，N两点的外2倍点，建立方程求解即可； （3）先求得a＝﹣20，b＝40，由题意可得点M对应的数是40﹣4t，根据M是A、B两点的外2倍点，建立方程求解即可； （4）分两种情况：当点A为B、M两点的内2倍点时，当点M为A、B两点的内2倍点时，分别建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设P，Q两点的内2倍点所表示的数为x，根据定义得： x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）或2[x﹣（﹣2）]＝4﹣x， 解得：x＝0或2， 故答案为：0或2； （2）设点N所表示的数为y，又P，Q两点所表示的数分别为﹣2和4， ∵点Q为P，N两点的外2倍点， ∴4﹣（﹣2）＝2（4﹣y）或4﹣y＝2×[4﹣（﹣2）]， 解得：y＝1或﹣8； 答：点N所表示的数为1或﹣8； （3）∵a+19是最大的负整数，b﹣40是绝对值最小的有理数， ∴a＝﹣20，b＝40， ∴A，B所对应的数分别是﹣20，40， ∵M放在数轴上点B的位置，以4个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒， ∴点M对应的数是40﹣4t， ∵M是A、B两点的外2倍点， ∴40﹣（40﹣4t）＝2[﹣20﹣（40﹣4t）]， 解得：t＝30， 答：当M是A、B两点的外2倍点时，运动时间t的值为30； （4）根据题意，点B不可能是A、M两点的内2倍点， 当点A为B、M两点的内2倍点时， ﹣20﹣（40﹣4t）＝2×[40﹣（﹣20）]或2×[﹣20﹣（40﹣4t）]＝40﹣（﹣20）， 解得：t＝45或22.5； 当点M为A、B两点的内2倍点时， 40﹣（40﹣4t）＝2[40﹣4t﹣（﹣20）]或2[40﹣（40﹣4t）]＝40﹣4t﹣（﹣20）， 解得：t＝10或5； 故答案为：45或22.5或10或5． 【变式1】已知|a+4|+（b﹣3）2＝0，且a，b在数轴上对应的点分别是A，B． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）数轴上有一点C，且C到A，B两点的距离之和为11，求点C在数轴上对应的数； （3）若点A、点B同时沿数轴正方向运动，点A到原点O的距离记为线段AO，点B到原点O的距离记为线段BO，点A的速度是点B速度的2倍，3秒后满足3AO＝2BO，求点B的速度． 【分析】（1）利用绝对值的非负性质得到a+4＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣4，b＝3； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据CA+CB＝11分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为2v，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 【解答】解：（1）根据非负数的性质， ∵|a+4|+（b﹣3）2＝0． ∴a+4＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣4，b＝3． 故答案为：﹣4；3； （2）设点C在数轴上所对应的数为x， 分情况讨论： 当C在B点右边时， ∴x＞3． 根据题意得，x﹣3+x﹣（﹣4）＝11， 解得x＝5． 即点C在数轴上所对应的数为5， 当C在B点左边时， ∴x＜﹣4． 根据题意得，3﹣x+（﹣4）﹣x＝11， 解得x＝﹣6． 即点C在数轴上所对应的数为﹣6， 综上，点C在数轴上对应的数为5或﹣6， 答：点C在数轴上对应的数为5或﹣6； （3）设B速度为v，则A的速度为2v， 3秒后点，A点在数轴上表示的数为（﹣4+6v），B点在数轴上表示的数为3+3v， 当A还在原点O的左边时，由3AO＝2BO可得﹣3（﹣4+6v）＝2（3+3v）， 解得， 当A在原点O的右边时，由3AO＝2BO可得3（﹣4+6v）＝2（3+3v）， 解得． 即点B的速度为或． 【变式2】（数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙．下面是乐乐同学在学习完新知识后整理归纳的数学笔记，请你阅读笔记并完成下列问题： Ⅰ．“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当|x﹣2|＝2时，x＝0或4． 例1：|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 解：点A，B，P分别在数轴上表示的数是﹣1，2，x ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． Ⅱ．“分类讨论”是一种重要的数学思想方法．解决问题如下： 例2：有理数a，b，满足ab＞0，求的值． 解：由题意得，a，b都为正数或者为负数． ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，； ②当a，b都是负数时，即a＜0，b＜0时，； 综上所述，的值为2或﹣2． Ⅲ．“整体代入”也是一种重要的数学思想方法，解决问题如下： 例3：已知2m﹣n＝2，mn＝﹣1，则2（m﹣n）﹣（mn﹣n）＝_____． 解：2（m﹣n）﹣（mn﹣n）＝2m﹣2n﹣mn+n＝2m﹣n﹣mn， ∵2m﹣n＝2，mn＝﹣1， ∴原式＝2﹣（﹣1）＝3． 解决问题： （1）若|x﹣1|＝3，则x的值为　 　 ； （2）若数轴上两点A，B的距离为6，点A表示的数是a，点C在线段AB上，且AC＝BC．求点C表示的数（用含a的代数式表示）； （3）若a2+2ab＝22，b2﹣2ab＝8，求2a2﹣3b2+10ab的值． 【分析】（1）根据题干可知代数式|x﹣1|的几何意义，结合距离即可求解： （2）根据数轴上两点之间的距离求得点B的坐标，结合中点公式即可求得点C的坐标； （3）利用整体代入思想，结合整式得混合运算即可求得答案． 【解答】解：（1）代数式|x﹣1|的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离， 因此当|x﹣1|＝3时，x＝﹣2或4． 故答案为：﹣2或4； （2）由条件可知点B表示的数是a+6或a﹣6， ∵点C在线段AB上，且AC＝BC， ∴点C为线段AB中点， ①当点B表示的数是a+6，则点C可以表示为； ②当点B表示的数是a﹣6，则点C可以表示为； 故点C可以表示为a+3或a﹣3； （3）由条件可知2a2﹣3b2+10ab ＝2（a2+2ab）﹣3（b2﹣2ab） ＝2×22﹣3×8 ＝20． 【题型十三】几何体的展与折叠 【例1】下列四个图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方体展开图的特征即可判定出正方体的展开图． 【解答】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图， 故选：D． 【变式1】在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【解答】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．、 故选：B． 【变式2】一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：cm），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知c＝5cm，求该长方体包装盒的体积． 【分析】由题图，得该长方体包装盒的长十宽＝25cm，宽+高＝15cm，宽+高+高＝20cm，求得a，b，c即可求解． 【解答】解：∵b+2c＝20（cm）， ∴b＝20﹣2×5＝10（cm）， a＝25﹣10＝15（cm）， 5×10×15＝750（cm3）． 答：该长方体包装盒的体积为750cm3． 【题型十四】正方体相对两个面上的文字与截一个几何体 【例1】将下列几何体沿如图所示的方向截开，所得截面的形状与其他三个不同的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图片一一得出几何体截开后所得截面的形状即可得出答案． 【解答】解：根据图示，得出几何体截开后所得截面的形状可分析判断得： A项截开后所得截面的形状是矩形， B项截开后所得截面的形状是矩形， C项截开后所得截面的形状是矩形， D项截开后所得截面的形状是三角形， 故选：D． 【例2】一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　） A．B代表 B．A代表 C．C代表 D．B代表 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面， ∵骰子相对两面的点数之和为7， ∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3． 故选：B． 【变式1】如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可． 【解答】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形， 所以，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是三角形， 故选：D． 【变式2】如图，是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为5，求x﹣y+z的值． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为5，列出方程求出x、y、z的值，从而得到x﹣y+z的值． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面， 其中面“y”与面“3”相对，面“z”与面“﹣1”相对，“x”与面“8”相对． 则y+3＝5，z﹣1＝5，x+8＝5， 解得：y＝2，z＝6，x＝﹣3． 故x﹣y+z＝﹣3﹣2+6＝1． 【变式3】用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【分析】根据正方体截面的形状进行判断即可． 【解答】解：正方体有6个面，因此用一个平面去截正方体，最多可以得到六边形的截面，不可能出现七边形的截面， 故选：D． 【题型十五】三视图 【例1】图中的几何体是用若干个棱长为1cm的小正方体搭成的，其从左面看到的形状图如图所示，请在方格纸中用粗实线画出该几何体的从正面、从上面看到的形状图． 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从正面看和从上面看画出行形状图即可． 【解答】解：在方格纸中用粗实线画出该几何体的从正面、从上面看到的形状图，如图即为所求；． 【变式1】一个几何体由几个棱长均为1的小正方体搭成，从上面看到几何体的形状图如图1所示，正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请你在图2的方格纸中画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图． 【分析】根据三视图的概念求解可得； 【解答】解：（1）如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册数学期中考试分类复习讲义 【题型一】正数和负数 【例1】一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的一组数据记录如下：单位（米）+5，﹣3，+7，﹣8，+12，﹣4，﹣7．请你通过计算说明： （1）守门员最后是否回到了球门线的位置？ （2）本组练习结束后，守门员共跑了多少米？ 【变式1】学生食堂购进了20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表． 每袋与标准质量的差/千克 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 2 2.5 袋数 1 3 4 3 5 4 （1）20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻 　 　 千克． （2）与标准质量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ （3）若土豆每千克的售价为2元，则买这20袋土豆共需多少钱？ 【题型二】数轴 【例1】已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|c|＝ ． 【例2】数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：|x+1|+|x﹣a|+|x﹣2|的最小值是5，则a＝ 　 　 ． 【变式1】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|＝ ． 【变式2】对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+3NP＝k，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+3NP＝4，所以点P是点M，N的“4和点”，如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2． （1）若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值 　 　 ． （2）若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为 　 　 ． （3）若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，求k的值． 【题型三】有理数的混合运算 【例1】11．计算： （1）2+（﹣3）+3； （2）； （3） ； （4）． 【例2】若|a+5|+（b﹣2）2＝0，求ab的值． 【变式1】计算： （1） ﹣41﹣（﹣28）+（﹣59）+72； （2）； （2） ； （4）． 【变式2】下列各组值中，相等的是（　　） A．﹣32和（﹣3）2 B．（﹣2）3和﹣23 C．（﹣1）2020和（﹣1）2023 D．和 【变式3】小明家购置了一辆续航为350km（充满电时能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 +5 ﹣3 +8 ﹣6 +7 （1）这7天路程最多的一大比最少的一天多走 　 　 km； （2）小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的10%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式4】下列说法正确的是（　　） A．两数相加，和一定大于任何一个加数 B．有理数都能用数轴上的点表示 C．整数分为正整数和负整数 D．符号不同的两个数互为相反数 【题型四】科学记数法—表示较大的数 【例1】2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射成功，标志着我国的月球探测工程又向前迈进了一步．月球与地球的平均距离约是384403千米，用科学记数法表示384403是（　　） A．3.84403×105 B．38.4403×104 C．3.84403×106 D．0.384403×106 【变式1】国庆假期，西安位列“热门目的地”第二，共接待游客约1754万人次，将数据1754万用科学记数法可记为（　　） A．1.754×105 B．1.754×106 C．1.754×107 D．1.754×108 【题型五】列代数式 【例1】一辆小汽车每小时行驶a千米，高铁的速度比它的3倍多10千米，则高铁的速度是每小时行驶 　 　 千米．（用含a的式子表示） 【变式1】为全面落实立德树人的根本任务，卡富校园文化生活，我校举办了“阅读润心田，书香伴成长”的校园读书节活动，某年级组在此次活动中购买了120件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多2．设一等奖奖品的数量为x件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 22 15 5 （1）请用含x的代数式表示购买120件奖品所需的总费用； （2）若一等奖奖品购买了12件，则该年级组共花费多少元？ 【变式2】我校数学社团的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）． （1）此长方体包装盒的体积为　 立方毫米（用含x，y的式子表示）． （2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当x＝30，y＝52时，制作这一个长方体共需要纸板多少平方毫米？ 【题型六】代数式求值 【例1】如图所示为一个计算程序： 若开始输入的数x为正整数，最后输出的结果为87，则满足条件的x的值为 　 　 ． 【变式1】骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约15cm，测量裆部离地面的高度h（单位：cm），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：cm），此时的车座高度是骑行最合适的高度．根据雷蒙德测量方法解决下列问题： （1）用代数式表示l与h之间的关系，l＝ 　 ； （2）当h＝80cm时，l为多少厘米？ 【变式2】某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10双和运动袜x双（x＞10）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　 　 元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付款 　 　 元．（需化简） （2）当x＝20时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？ 【题型七】同类项及合并同类项 【例1】已知2x6y2和﹣x2myn是同类项，则3m2﹣5mn﹣17的值是（　　） A．31 B．﹣21 C．﹣14 D．﹣20 【变式1】已知代数式﹣3xm﹣1y3与4xym+n是同类项，那么m，n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝﹣1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣2，n＝﹣1 D．m＝﹣2，n＝1 【变式2】已知关于x，y的代数式ax2+4x+x2﹣3y2﹣b2x+4y﹣5的值与x的取值无关，则a﹣b＝　 　 ． 【题型八】规律型：数字的变化类及图形的变化类 【例1】已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图是某种分子的结构模型，它由半径相同的空心小圆和实心小圆按如图所示的方式排列．第1个图形有4个小圆，第2个图形有6个小圆，第3个图形有8个小圆，…．依此规律，第100个图形的空心圆个数是（　　） A．103 B．102 C．101 D．99 【变式1】用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要11根火柴棒；第3个图形需要16根火柴棒；…按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．6n B．4n+2 C．5n﹣4 D．5n+1 【变式2】如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（7）中共有正方形的个数是 　 　 ． 【题型九】多项式 【例1】多项式﹣x2+3x﹣5的二次项系数是（　　） A．﹣x2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 【变式1】若多项式是关于x的四次二项式，则m的值为 　 ． 【变式2】若多项式x|n﹣1|+x﹣2是关于x的三次三项式，n的倒数是负数，则n的值为 　 　 ． 【变式3】已知多项式3m2n4﹣2mn﹣5的二次项系数为a，项数为b，次数为c．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）若将该数轴对折，使得对折后点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点所表示的数． （3）有一电子蟋蟀落在数轴上的点A处，第1步向右跳一个单位长度，第2步向左跳2个单位长度，第3步向右跳3个单位长度，第4步向左跳4个单位长度，…按以上规律跳了2025步后，求电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数． 【题型十】整式的加减 【例1】计算：﹣4x﹣3（x+2y）+6y＝　 ． 【变式1】已知A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣2xy﹣y2． （1）求A+B； （2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？ 【变式2】已知A＝a2﹣2ab+b2，B＝a2+2ab+b2． （1）求﹣A+B． （2）如果2A﹣3B+C＝0，那么C的表达式是什么？ 【题型十一】整式的加减—化简求值 【例1】先化简，再求值：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣xy），其中x＝﹣2，y＝3． 【变式1】先化简再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1． 【变式2】（1）化简：5（mn﹣2m）+3（4m﹣2mn）； （2）先化简，再求值：3（2x2+6x﹣1）﹣2（﹣2x2+4x+1），其中． 【变式3】先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求6a2b﹣3ab2﹣5a2b+4ab2的值． 【题型十二】方程思想、数形结合（数轴类压轴题） 【例1】我们将数轴上点P表示的数记为xP，对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有xN﹣xT＝k（xM﹣xT），其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上原点为0，点A，点B表示的数分别为xA＝﹣2，xB＝3． （1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝ 　　 ；若点C是点A关于点B的“2星点”，则xC＝ 　 　 ． （2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．当线段AB运动几秒时，点D是点A关于点的“﹣2星点”？ （3）点Q是数轴上一点（不与A，B两点重合），记点A′是点A关于点Q的“3星点”，点B′是点B关于点Q的“3星点”．当点Q运动时，Q到A′的距离QA′与Q到B′的距离QB′之和是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【例2】科技创新强国有我，西安滨河学校机器人社团小乐同学，在学完数轴后，他想对数轴进行深入探究，于是在机器人选修课上编写了一道与数轴相关的程序，让数学走进生活，让数学走进科技创造，他是这样设计的： 【新知理解】在数轴上有三个不重合的点A、B、C，若点C到A、B两点的距离满足2倍关系，那我们叫点C为A、B两点的2倍点． 若：如图1，数轴上点A、B、C、D分别表示数﹣3，﹣1，3，1，点B、D就称为A、C两点的内2倍点；点A、C就称为B、D两点的外2倍点； 【问题解决】如图2，在数轴上P，Q两点所表示的数分别为﹣2和4． （1）P，Q两点的内2倍点所表示的数为：　 　 ；（写出一个即可） （2）若点Q为P，N两点的外2倍点，则点N所表示的数为多少？ 【应用拓展】如图3，数轴上有两点A，B所对应的数分别是a，b，且满足a+19是最大的负整数，b﹣40是绝对值最小的有理数．现将一个机器人M放在数轴上点B的位置，以4个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （3）当M是A、B两点的外2倍点，则运动时间t的值为多少？ （4）若M、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内2倍点时，则运动时间t的值为：　45或22.5或10或5　 （请直接写出答案）． 【变式1】已知|a+4|+（b﹣3）2＝0，且a，b在数轴上对应的点分别是A，B． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）数轴上有一点C，且C到A，B两点的距离之和为11，求点C在数轴上对应的数； （3）若点A、点B同时沿数轴正方向运动，点A到原点O的距离记为线段AO，点B到原点O的距离记为线段BO，点A的速度是点B速度的2倍，3秒后满足3AO＝2BO，求点B的速度． 【变式2】（数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙．下面是乐乐同学在学习完新知识后整理归纳的数学笔记，请你阅读笔记并完成下列问题： Ⅰ．“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当|x﹣2|＝2时，x＝0或4． 例1：|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 解：点A，B，P分别在数轴上表示的数是﹣1，2，x ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． Ⅱ．“分类讨论”是一种重要的数学思想方法．解决问题如下： 例2：有理数a，b，满足ab＞0，求的值． 解：由题意得，a，b都为正数或者为负数． ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，； ②当a，b都是负数时，即a＜0，b＜0时，； 综上所述，的值为2或﹣2． Ⅲ．“整体代入”也是一种重要的数学思想方法，解决问题如下： 例3：已知2m﹣n＝2，mn＝﹣1，则2（m﹣n）﹣（mn﹣n）＝_____． 解：2（m﹣n）﹣（mn﹣n）＝2m﹣2n﹣mn+n＝2m﹣n﹣mn， ∵2m﹣n＝2，mn＝﹣1， ∴原式＝2﹣（﹣1）＝3． 解决问题： （1）若|x﹣1|＝3，则x的值为　 　 ； （2）若数轴上两点A，B的距离为6，点A表示的数是a，点C在线段AB上，且AC＝BC．求点C表示的数（用含a的代数式表示）； （3）若a2+2ab＝22，b2﹣2ab＝8，求2a2﹣3b2+10ab的值． 【题型十三】几何体的展与折叠 【例1】下列四个图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：cm），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知c＝5cm，求该长方体包装盒的体积． 【题型十四】正方体相对两个面上的文字与截一个几何体 【例1】将下列几何体沿如图所示的方向截开，所得截面的形状与其他三个不同的是（　　） A． B． C． D． 【例2】一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　） A．B代表 B．A代表 C．C代表 D．B代表 【变式1】如图，一个密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，任意放置这个玻璃杯，则水面的形状不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为5，求x﹣y+z的值． 【变式3】用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【题型十五】三视图 【例1】图中的几何体是用若干个棱长为1cm的小正方体搭成的，其从左面看到的形状图如图所示，请在方格纸中用粗实线画出该几何体的从正面、从上面看到的形状图． 【变式1】一个几何体由几个棱长均为1的小正方体搭成，从上面看到几何体的形状图如图1所示，正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请你在图2的方格纸中画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $