圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 圆的内接四边形 扇形的相关计算 考点一 垂径定理 例1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长度为（   ） A． B．8 C． D． 例2．（2025·山东济南·模拟预测）如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 例3．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，是的直径，弦于点．已知，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 例4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例5．（2025·河北·一模）如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦的中点M，连接．若，，小花身高，小亮身高，对于“小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋”，（参考数据：）以下说法正确的是（　　） A．小亮和小花都不需要 B．小亮需要，小花不需要 C．小亮和小花都需要 D．小亮不需要，小花需要 例6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的直径与弦相交于P，，若，则的直径为（   ） A． B． C． D． 例7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 变式1．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 ． 变式2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 变式3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接．若，则的长是 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的半径为 ． 变式5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽为，如果再注入一些水后，水面上升，此时水面宽度变为，则该水槽截面半径为 ． 变式6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 变式7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 考点二 圆周角定理 例1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）    A． B． C． D． 例2．（2025·云南·模拟预测）如图，是的直径．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·甘肃武威·一模）如图，为的直径，，为上的点，，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例5．（2023·北京·模拟预测）如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例6．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 变式2．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，在中，，，则扇形的面积为 ． 变式3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，是弦，，则 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，、是的两条切线，C在上，，则 ． 变式5．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 变式6．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，的内接三角形是，，，是直径，，则的长为 考点三 圆的内接四边形 例1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的外接圆，连接、，若，则（    ）° A．80 B．100 C．140 D．160 例2．（2025·陕西·模拟预测）如图，点均在上，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例4．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例5．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的外接圆，的平分线交于点，连接，，若，则（　　） A． B．1 C． D． 例6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，其中，，分别延长，交于点A．若，则的半径为（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 ．    变式2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，则 ° 变式4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．    变式5．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 变式6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 考点四 扇形的相关计算 例1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 例2．（2024·广东清远·二模）如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ） A． B． C． D． 例4．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 例5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 例6．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 变式1．（2024·湖南·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 变式2．（2025·江苏无锡·模拟预测）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 变式3．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，是半圆O的中点，欲求阴影部分的面积，只需把弓形割下来，补在弓形处，则阴影． 【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，设C为半圆的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 变式4．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式5．（2024·广东广州·模拟预测）已知圆锥的底面圆半径是3，高为4，则圆锥的侧面积是 ． 变式6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 变式7．（2025·安徽·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为E．设，，求图中阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 考点目录 垂径定理 圆周角定理 圆的内接四边形 扇形的相关计算 考点一 垂径定理 例1.(2024湖北模拟预测)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C,连接A0并延长交⊙O于点E,连接EC, 若AB=8,CD=2,则EC的长度为() E B 0 A.215 B.8 C.2√10 D.213 【答案】D 【详解】解：在⊙0中，0D⊥AB,÷4C=BC=AB, ~AB=8,AC=BC=4,设0A=x,则0D=0A=x, CD=2,∴0C=x-2, 在RtaAC0中，AC2+0C2=A02 42+x-22=x2,解得x=5,0A=5; 连接BE, 0 D 0E,AC=BC,0C∥BE且OC=BE,∴LEBA=L0CA 0C=0D-CD=5-2=3,BE=6, 在Rt ECB中，BC2+EB2=EC2, 42+62=EC2,EC=2V13. 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 故选：D. 例2.(2025山东济南模拟预测)如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0为圆心的圆，如图2，已知圆心0在 水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所 在直线的距离是() 水面 --------- ---------------------- 图1 图2 A.1米 B.2米 C.(3-√5)米 D.(3+5)米 【答案】C 【详解】连接OC,交AB于D, ○ D 水面 一一一一一一一一 由题意得：OA=0C=3(米)，0C1AB, :AD=BD=AB=2(米)，∠AD0=90°， 2 在Rt△ODA中， OD=VOA2-AD2=V32-22=√5（米）， .CD=0C-0D=(3-V5)米， 即点C到弦AB所在直线的距离是(3-√)米， 故选：C. 例3.(24-25九年级上·河南信阳阶段练习)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E.己知DE=8cm, CE=2cm,则AB的长为(). 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 C D A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】C 【详解】连接OA, C EP B 0 D ~CD为OO的直径，DE=8cm,CE=2cm, .CD =10cm, 0A=0C=5cm, .OE=OC-CE=5-2=3(cm), AB⊥CD于E, △AOE是直角三角形，且AB=2AE, ∴AE=VOA2-0E2=V52-32=4(cm), .AB 8cm. 故选：C. 例4.202s江苏苏州模拟预测)知图，CD为⊙O的直径，弦481CD于E,CD,4E=3，则△4CB的面 积为() A D B A.3 B.4 C.5 D.6 3 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 【答案】D 【详解】解：连接AO, CD为0的直径，CD=13 40=C0=cD= 4 弦AB⊥CD于E,AE=3 ∠AE0=90°，AB=2AE=6 在Rt△AEO中，AE=3, ∴OE2+AE2=AO 即0E2+9= 13)2 .CE=0C-0E=13ξ=2. 44 △4C8的面积为2×2x6=6: C D B 故选：D. 例5.(2025河北一模)如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口 的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M,连接0C.若BC=0.6m,∠M0C=30°，小花身高1.1m ，小亮身高1.15m,对于“小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋”，（参考数据：√5≈1.73）以下说法正确的是() A.小亮和小花都不需要 B.小亮需要，小花不需要 C.小亮和小花都需要 D.小亮不需要，小花需要 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 【答案】B 【详解】解：该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M, .CM-BC0603(m).AMc, 在Rta0MC中，∠0MC=90°，∠M0C=30°， 0C=2CM=2×0.3=0.6(m), 0M=V0C2-CM2=V0.62-0.32≈0.52(m. 0A=0C=0.6m, AM=0A+0M=0.6+0.52=1.12(m). 1.1<1.12<1.15, ∴小花不需要弯腰进入奇妙屋，小亮需要弯腰进入奇妙屋 故选：B. 例6.(25-26九年级上·江苏南京阶段练习)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于P,∠APC=45°，若 PC2+PD2=6,则⊙O的直径为() B D A.√2 B.3 C.6 D.2√2 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作OE⊥CD,则CE=DE, E B ZAPC=450, :EP=OE, .PC2+PD2=(CE+EP)+(DE-EP)2, CE2+2CE.EP+EP2+DE2-2DE.EP+EP2, =2CE2+2EP2 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 =2CE2+EP2） =2(CE2+0E2）=20C2=2R2, .2R2=6, 解得：R=√5（负值舍去）. 故选：B. 例7.(2526九年级上·江苏泰州阶段练习)如图，点A、B、D、C都在圆上，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC 于点E.且AC∥OD. (I)求证：BD=CD; (2)若BE=4,AC=6,求DE. 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】(1)证明：~OD⊥BC, ∴BD=CD, :.BD=CD (2)解：0D⊥BC,BE=4, BE CE,BC=2BE=8, AC∥OD,OD⊥BC, AC⊥BC, 又AC=6, AB=AC2+BC2=10, ∴.OB=OA=OD=5, 又BE=CE, 1 0E=24C=3, DE=0D-0E=2. 变式1.(25-26九年级上·吉林四平，期中)如图，⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦，CD⊥AB,垂足为P,且 6 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 BP=2,则CD的长为一 B D 【答案】45 【详解】解：连接OC,如图， :CD⊥AB, :CP=DP, :AB=12, .0C=0B=6, PB=2, 0P=4, 在Rta0PC中，CP=√6-4=2N5, :.CD=2PC=45. 故答案为：45. 变式2.(24-25九年级上·湖北襄阳期中)如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠A=30°， CD=4V5,则⊙O的半径是一， B D 【答案】4 【详解】解：：BC=BC, :∠C0E=2∠A=60°， > 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 :AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=4V5, 1 :L0CE=30°，CE=5CD=2√3， 2 1 :OE=-OC, 在Ra0CE中，由勾股定理得OB+CE=0C,即号oC+23=0C, 2 21 :0C=4,即⊙O的半径是4， 故答案为：4. 变式3.(25-26九年级上·江苏苏州阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC,过点0 作OD⊥BC于点D,交⊙O于点E,连接AE.若AB=4,AC=1,则AE的长是 D B 【答案】√0 【详解】解：如图所示，连接BE, D A B AB是⊙O的直径， ÷∠ACB=∠AEB=90°，OE=0A=AB=2, 2 AB=4,AC=1, BC=√AB2-AC2=V5; OD⊥BC, BDBC V15 2 OD=OB-BD=1 Γ2’ 8 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 DE-OE-OD- BE=VDE2+BD2=√6， AE=√AB2-BE2=V10, 故答案为：√0. 变式4.(25-26九年级上江苏南京阶段练习)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2cm,AB=8cm, 则⊙O的半径为」 D 【答案】5 【详解】解：连接OB,如图， CD是直径，CD⊥AB, :AE=BE=AB=4cm, 设0B=0C=r,则0E=r-2, 在R1A0BE中，42+(r-22=2, 解得r=5, 故答案为：5. 变式5.(25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习)在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm,如 果再注入一些水后，水面上升7cm,此时水面宽度变为24cm,则该水槽截面半径为 B 【答案】13cm 圆：垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形、扇形的相关计算专项训练 【详解】如图，过圆心O作OF⊥AB于点F,交CD于点E,连接AO,CO. 0 E D B 由题意可知EF=7cm,CD=24cm,OE⊥CD, 由垂径定理可知点E和F分别为CD,AB中点， .CE=CD=12cm,AF=1AB=5cm. 设0E=xcm,则OF=(x+7)cm, 在RtaA0F中，A02=AF2+0F2=25+(x+7)2, 在Rt△C0E中，CO2=CE2+OE2=144+x2, 又A0=C0, 25+(x+72=144+x2, 解得：x=5, .0E=5cm, C0=√CE2+0E2=V144+25=13cm. 则该水槽截面半径为13cm. 故答案为：13cm. 变式6.(25-26九年级上江苏南京阶段练习)如图，ABC内接于⊙O,AB=AC=4,将AB沿着弦AB翻折后， 恰好经过弦AC的中点D,则弦BC的长为」 C 【答案】2√2 【详解】解：连接BD,作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠BEC=90°， 10