26.2实际问题与反比例函数（题型专练）数学人教版九年级下册

26.2 实际问题与 反比例函数 题型一 与温度有关问题 1．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 题型二 与电压、电流、电阻有关问题 1．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 4．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 题型三 与药品（酒精）浓度（含量）有关问题 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）为预防流感，对教室进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一间教室内每立方米空气中含药量（毫克）与时间（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一间教室内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，与之间满足反比例函数关系． (1)分别求当和时，与之间满足的函数关系式； (2)请补全函数图象； (3)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？ 4．（2022·湖南郴州·模拟预测）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（）的变化情况． 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 … 下面是小带的探究过程，请补充完整： (1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 题型四 与气体体积、气压有关问题 1．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，若气体压强为时，求气球体积． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少？ 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 4．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 1．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 3．（2023·山东青岛·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； (1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万元） 10.6 12 14.2 (2)求p与x之间满足的函数关系式； (3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？ (4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 4．（2023·四川达州·二模）【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 实际问题与反比例函数 题型一 与温度有关问题 1．（25-26九年级上·广西桂林·阶段练习）某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵光照时间为10分钟时，水温上升， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，则， ∴此时水温上升量为． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2)时间为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出水升温到时的时间，以及水降温到时的时间，作差即可． 【详解】（1）解：设从水温为时开始加热，经过 分钟加热到 ， 则，解得， 水温下降过程中，设 与的函数关系式为 ， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中， 与的函数关系式是 ； （2）设从水温为时开始加热，经过分钟加热到， 则 ，解得： ， 在降温过程中，水温为时， ，解得， ， 在这一过程中，水温不低于的时间为． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 题型二 与电压、电流、电阻有关问题 1．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据待定系数法，求出反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 时，随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 4．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)可变电阻R应控制在与之间 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）将代入即可求解； （2）求出，对应的的值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 由图可知，反比例函数图象经过点， ， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时， ， 当时， ， 可变电阻R应控制在与之间． 题型三 与药品（酒精）浓度（含量）有关问题 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)线段的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2)第二天早上6：00能驾车去上班，见解析 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴； 当时，，即； 设双曲线的函数表达式为， 由题意可得：得：， ∴； （2）解：第二天早上6：00能驾车去上班，理由见解析， 由得：当时，， 从20：00时到第二天早上6：00点时间间距为10小时， ∵， ∴第二天早上6：00能驾车去上班． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）为预防流感，对教室进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一间教室内每立方米空气中含药量（毫克）与时间（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一间教室内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，与之间满足反比例函数关系． (1)分别求当和时，与之间满足的函数关系式； (2)请补全函数图象； (3)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3)15分钟 【分析】（1）分别根据正比例函数，反比例函数的解析式特点，用待定系数法解答即可； （2）根据描点法画图象解答即可； （3）根据时，求得两个函数的自变量的值，它们的差即为有效时间． 本题考查了待定系数法，描点法化图象，有效时间计算，熟练掌握待定系数法，有效时间计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 故． 当时，设反比例函数的解析式为， 根据题意，得反比例函数经过点， 故， 解得， 故反比例函数解析式为． （2）解：由， 当时，即过点； 当时，即过点； 当时，即过点； 画图象如下： （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故有效时间是（分钟）． 4．（2022·湖南郴州·模拟预测）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（）的变化情况． 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 … 下面是小带的探究过程，请补充完整： (1)如图，在平面直角坐标系中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求函数解析式的能力． （1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得； （2）由图象知左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得； （3）求出反比例函数中时x的值，据此可判断． 【详解】（1）解：图象如图所示， （2）解：根据题意得：当时，y与x成二次函数关系；当时，y与x成反比例函数关系， 当时，此时二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数的图象的顶点坐标为， 设y与x的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， 此时的函数解析式为； 当时，设y与x的函数关系式为， 将点代入，得：， ∴此时的函数解析式为； （3）解：不能．理由如下： 把代入反比例函数得． ∵晚上经过小时为第二天早上， ∴第二天早上以后才可以驾车上路， ∴第二天早上不能驾车去上班． 题型四 与气体体积、气压有关问题 1．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，若气体压强为时，求气球体积． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；再把代入解析式计算即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为，则， ∴函数关系式为， 将代入中， 得， 解得， 当气球内气体压强为时，气球体积为． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）设表达式为，将代入解得k的值即可； （2）当时，代入表达式，解得p的值． 【详解】（1）解：设， 将代入， 得， 此函数的表达式为， （2）当时，． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3)为了安全考虑，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键． （1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式即可； （3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可． 【详解】（1）解：设该函数表达式为． 将点代入表达式中可得， ， ∴该函数表达式为． （2）解：将代入表达式中可得， ∴气体体积为时，气压是 ． （3）解：由题意可知， 解得， ∴为了安全考虑，气体的体积应不小于． 4．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 1．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 3．（2023·山东青岛·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； (1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万元） 10.6 12 14.2 (2)求p与x之间满足的函数关系式； (3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？ (4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)其中为正整数 (3)第15场和第35场 (4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答； （2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可； （3）把分别代入（2）中两个解析式中即可求解； （4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台， ∴与的函数关系式为． （2）解：设基本价为， ①第1场～第20场，且为正整数， 设与的函数关系式为， 依题意得，解得， ∴． 第21场～第40场，即且为正整数时， 设与的函数关系式为，即． 依题意得，解得， ∴， 综上所述，其中为正整数； （3）解：当时，， 解得； ，解得． 故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场 （4）解：设每场获得的利润为（万元）． 当且为正整数时， ， ∵在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为（万元）． 当且为正整数时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难． 4．（2023·四川达州·二模）【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 【答案】理解应用：3，2，；灵活运用：；实际应用： 【分析】理解应用：根据平移的特点进行解答即可； 灵活应用：先根据函数关系式，得出函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，根据图像得出x的取值范围即可； 实际应用：求出当时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1，得出点在函数的图象上，求出，求出当时，，即可得出结果． 【详解】解：理解应用：函数的图像可以由函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，其对称中心坐标为， 故答案为：3，2，； 灵活运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，如图所示：    根据函数图像可知，当时，； 实际应用：解当时，， 解得时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1， ∴点在函数的图象上，则， ∴， 当时，解得， ∴时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，函数图像的平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握函数图像的平移特点，数形结合． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $