精品解析：贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在中，已知，，，则角（ ） A. 或 B. C. D. 不存在 2. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 记圆锥的侧面是曲面，且曲面平面，其中是圆锥的一条母线，则称平面是“平面”，“平面”上不与平行且不与重合的直线称为“圆锥的斜切直线”．已知直线是圆锥的“斜切直线”，且直线经过圆锥某条母线的中点，若圆锥的体积是，底面面积是，且圆锥底面中心到直线的距离是，则直线与圆锥底面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. 100π B. 50π C. 144π D. 72π 7. 若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 边上的高为 B. 为定值 C. 的最小值为2 D. 若，则 10. 正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 的最小值为 D. 当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形 11. 已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（ ） A. B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时， C. 当时，点到平面的距离是 D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，角的对边分别为，若，则＝______. 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则_____． 14. 如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）点和点的坐标： （2）在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点． （1）证明：平面PCD． （2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值． 19. 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. （1）求二面角的余弦值； （2）线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在中，已知，，，则角（ ） A. 或 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知为锐角，结合正弦定理可求得结果. 【详解】因为，则为锐角， 由正弦定理可得，故. 故选：B. 2. 已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以，不在直线上， 又∵， 所以点在线段上， 直线的方程为：， 直线过定点且斜率一定存在， 故由数形结合可知：或 故倾斜角， 故选：D 3. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决. 【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH， 等腰梯形中，，， 则有，则四边形为平行四边形， 则，又，则为等边三角形， 则，则△为等边三角形 则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心， △中，，则 又底面，则底面， 又， 即， 故点H为四棱锥的外接球球心， 球半径 则四棱锥外接球表面积为 故选：C 4. 在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】作出外接圆如图所示，根据题意可求出外接圆的半径为2，然后结图形判断即可 【详解】作出外接圆如图所示， 因为， 所以的外接圆半径为 因为，所以，， 所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确， 当时，由圆的对称性可知，此时， 所以C错误，D正确， 故选：C 5. 记圆锥的侧面是曲面，且曲面平面，其中是圆锥的一条母线，则称平面是“平面”，“平面”上不与平行且不与重合的直线称为“圆锥的斜切直线”．已知直线是圆锥的“斜切直线”，且直线经过圆锥某条母线的中点，若圆锥的体积是，底面面积是，且圆锥底面中心到直线的距离是，则直线与圆锥底面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径和高，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，取直线上的一点，使得，此时⊥，从而得到方程组，换元求出，根据圆锥底面中心到直线的距离得到方程，求出，结合圆锥底面的法向量，利用线面角的夹角正弦公式求出答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥的高为，则，解得， ，解得， 如图，其中直线经过的中点，在底面圆上，且互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 平面与圆锥的侧面交于， 故在平面内与垂直的直线即为平面的法向量所在直线， 其中， 设平面的法向量为，显然，则， 由， 令，则，故， 取直线上的一点，使得，此时⊥， 其中， 故， 可令，则，将其代入①得， 故， 此时底面中心到直线的距离 ， 即，解得， 又，此时，故满足要求， 而圆锥底面的法向量为， 设直线与圆锥底面夹角为， 则. 故选：D 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 6. 在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. 100π B. 50π C. 144π D. 72π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球. 【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内： 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径， ∵， ∴外接球的表面积为：． 故选：A. 7. 若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据已知的条件可知，点A,B，C围成的三角形ABC，其内动点P（x,y），那么所求的为动点P与定点M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点A，B,C的坐标，分别求解,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得，的取值范围是，选D. 考点：本试题主要是考查了线性规划的最优解问题的应用． 点评：解决该试题是高考中的一个常考点，同时一般要结合数形结合的思想来完成，因此关键的一步就是要准确作图，找到平面区域，然后结合表达式的表示的几何意义：斜率的含义来得到． 8. 如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边BC的距离，然后在几何体中作出点O到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答. 【详解】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形， 取AB，CD的中点M，N，连接MN，则， 因为，所以， 因为，所以四边形是矩形， 因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD， 从而四边形的面积， 当且仅当，即时取等号， 此时， 如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面， 所以，又， ，，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 显然平面平面，在平面内过作于， 从而平面，即OR长即为点到平面的距离， 在中，，， 所以， 所以点O到平面的距离是. 故选：C 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 边上的高为 B. 为定值 C. 的最小值为2 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据边上的高为求解即可；对B，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中，再根据基本不等式求解即可；对D，根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可. 【详解】对A，边上的高为，由题意，故A正确； 对B，由正弦定理即， 故， 又锐角，故，即，故B正确； 对C，， 又，故 ，当且仅当， 即时取等号，此时，，与锐角矛盾，故C错误； 对D，， 即，又，即， 故，解得，故. 则，即，解得. 故，，或，. 不妨设，， 则，， 故，，， 故，由正弦定理，故D正确. 故选：ABD 10. 正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 的最小值为 D. 当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证得，可判定A正确；证得平面，结合的面积为定值，可得判定B错误；利用两点间距离公式，求得的最小值，可判定C错误；连接，取中点为，当与交点为点时，利用三角形的性质，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，则， 所以，所以， 因为且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，因为， 因为平面，平面，所以平面， 所以棱上的所有点到平面的距离都相等， 又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误； 对于C中，由， 因为，所以， 则， 可得 ， 当时，有最小值，最小值为，所以C错误； 对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示 过点作，可得，可得，所以， 即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确. 故选：BCD 【点睛】方法点拨：对于立体几何中的截面问题的求解策略： 1、立体几何中的截面问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 11. 已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（ ） A. B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时， C. 当时，点到平面的距离是 D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，证明平面即可判断；对于选项B，连接,则就是直线AP与平面所成角，求出即可判断；对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解判断；对于选项D，取的中点，OP为半径的球面与侧面的交线为以点E为圆心，以为半径，圆心角为的扇形的弧长，即可判断得解. 【详解】对于选项A，由正方体得平面，所以, 又. 又,所以, 因为平面, ,所以平面, 所以. 所以该选项正确； 对于选项B，连接,则就是直线AP与平面所成角，所以，所以该选项正确； 对于选项C, 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 设平面的法向量为，所以， 又.所以该选项错误； 对于选项D，取的中点，由题得, 则截面圆的半径为. 由题得截面圆的圆心为点,在平面内作，且. 以点为圆心，以为半径作圆与棱分别交于. 所以. 所以， 以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线为以点E为圆心，以为半径，圆心角为的扇形的弧长， 所以以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长. 所以该选项正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，角的对边分别为，若，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再利用求得，进而得到，从而求得结果. 【详解】由正弦定理可知：，即 设，则， 可知同号，则均为锐角 在中， 可得： 则，， ，， 本题正确结果： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，关键是利用三角形内角的正切值之和等于正切值之积构造出等式，求出三个内角的正切值. 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知，，， 由正弦定理得， 所以， 因为，，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以. 故答案为：. 14. 如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程. 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程， 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：， 故折痕所在的直线的方程. ，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 折痕所在的直线方程为， 即， 综上所述：折痕所在的直线的方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题 四、解答题（本大题共5小题） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，结合余弦定理，可求的值，再结合角的取值范围，可得角. （2）利用正弦定理，可求边，利用三角形内角和求角，再利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得 又 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 所以. 的面积. 16. 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）点和点的坐标： （2）在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据在直线上以及与边上高所在直线斜率的关系，列出方程组求解出点坐标；根据的中点在中线上以及边上的高经过求解出点坐标； （2）假设存在，根据的大小确定出所在直线的倾斜角，从而可知，分别求解出所在直线的方程，联立可得结果. 【小问1详解】 设，因为，所以， 又因为上的高所在直线方程为，所以， 所以， 所以，解得，所以； 设，因为边上中线所在直线方程为， 所以，即， 又因为边上的高经过点，所以， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 设存在满足条件，如图所示， 因为，所以， 因为平分，所以， 因为且，所以， 所以，所以，即， 又因为，，所以，即， 所以，所以， 综上所述，存在满足条件. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式计算； （2）利用面积相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由，，可得． 在中，由余弦定理得，即，可得． 故． 【小问2详解】 ， ，， ， ． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点． （1）证明：平面PCD． （2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．                            因为F，M分别为PB，PC的中点，所以． 在正方形ABCD中，，所以． 所以四边形DEFM为平行四边形，．                             因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证， （2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则， ． 设平面CEF的法向量为， 则即令，则． 设直线PA与平面CEF所成角为， 则， 故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为． 19. 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. （1）求二面角的余弦值； （2）线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点M位置为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值； （2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解. 【小问1详解】 设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $