专题5 平面向量 考点12 平面向量的概念与计算&考点13 向量的应用-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

一、选择题 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A B. C. D.1 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝，b＝.若⊥，则(　　) A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1 4.(2023·全国甲卷·文)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 5.(2023·全国乙卷·文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B.3 C.2 D.5 6.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 7.(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 二、填空题 8.(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 9.(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，＝，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)，若||＝5，AE⊥CB，则·＝________. 10.(2024·上海卷)已知a＝(2,5)，b＝(6，k)，a∥b，则k的值为________. 11.(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b ＝________. 12.(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________. 13.(2021·北京卷)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝____________；a·b＝____________. 14.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 一、选择题 1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3,4)，则|2＋|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A.－6 B.－5 C.5 D.6 4.(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5,3] B.[－3,5] C.[－6,4] D.[－4,6] 二、填空题 5.(2025·上海卷)已知f(x)＝a，b，c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)＋f(b·c)＋f(c·a)＝0，则|a＋b＋c|的取值范围是________. 6.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，＝1，＝＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 7.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. 一、选择题 1.(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与风方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2023·全国甲卷·理)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A.－ B.－ C. D. 3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　) A.||＝|| B.||＝|| C.·3＝· D.·＝· 二、填空题 4.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 6.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2＋2＋…＋2的取值范围是________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五　平面向量 考点12 1.解析　解法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 解法二(坐标法)　因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0,1)＝(2，x)－(0,4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 答案　D 2.解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B. 答案　B 3.解析　因为a＝，b＝， 所以a＋λb＝，a＋μb＝， 由⊥可得， ·(a＋μb)＝0， 即＋＝0， 整理得λμ＝－1.故选D. 答案　D 4.解析　因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，则＝＝，＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. 答案　B 5.解析　法一：以为基底向量，可知＝＝2，·＝0， 则＝＋＝＋， ＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3. 法二：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E，C，D，可得＝，＝，所以·＝－1＋4＝3. 法三：由题意可得ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝＝＝， 所以·＝cos∠DEC＝××＝3.故选B. 答案　B 6.解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B. 答案　B 7.解析　 法一：由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D. 法二：由题意知|a|＝，|b|＝2，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故选D. 答案　D 8.解析　a－b＝(1,1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1. 则a＝(1,1)，则|a|＝. 故答案为. 答案　 9.解析　如图， 因为＝，所以－＝(－)， 所以＝＋. 因为D为线段AB的中点，所以＝， 所以＝＋＝a＋b； 又因为||＝5，AE⊥CB，所以2＝2＝a2＋a·b＋b2＝25， ·＝·(a－b)＝a2＋a·b－b2＝0，所以a2＋3a·b＝4b2， 所以a2＋4a·b＝180， 所以·＝·(－b＋a) ＝a2＋a·b－b2＝(a2＋2a·b－8b2) ＝(a2＋2a·b－2a2－6a·b) ＝(－a2－4a·b)＝－15. 故答案为a＋b；－15. 答案　a＋b　－15 10.解析　因为a∥b，所以2k＝5×6，得k＝15. 答案　15 11.11 12.解析　由a⊥b，得m＋3m＋3＝0，解得m＝－. 答案　－ 13.解析　根据坐标求出a＋b，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. ∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)， ∴a＋b＝，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. 答案　0　3 14.解析　利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 ∵a＝(3,1)，b＝(1,0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k,1)， ∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0， 解得k＝－， 故答案为－. 答案　－ 考点13　题组一 1.解析　因为||＝||＝，||＝2， 由＝－平方可得，·＝0， 所以〈，〉＝. 2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5， 所以|2＋|2＝2＋2＋42－4(＋)· ＝2＋2＋4×25－4(＋)· ＝104－4(＋)·， 又|(＋)·|≤|＋|||＝5×＝10，即－10≤(＋)·≤10， 所以|2＋|2∈， 即|2＋|∈， 故选D. 答案　D 2.解析　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1.选择C. 答案　C 3.解析　由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故＝， 解得t＝5.故选C. 答案　C 4.解析　方法1：建立如图所示坐标系，由题易知，C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC＝1，∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， 则·＝(3－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，4－sin θ)＝－3cos θ－4sin θ＋cos2θ＋sin2θ＝1－5sin(θ＋φ)∈[－4,6]， 所以选D. 方法2：注意：〈，〉＝， 且·＝0， ∴·＝(＋)·(＋) ＝2＋·＋·＋· ＝1＋3cos〈，〉＋4cos〈，〉＋0 ＝1＋3cos〈，〉＋4sin〈，〉 ＝1＋5sin[〈，〉＋φ]， 其中，φ∈，tan φ＝， ∴－4≤·≤6， ∴选D. 答案　D 5.解析　若f(a·b)＝f(b·c)＝f(c·a)＝0，则a·b＝b·c＝c·a＝0， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a，b，c两两垂直，显然不成立； 故{f(a·b)，f(b·c)，f(c·a)}＝{－1,0,1}. 不妨设 则a·b>0，b·c＝0，c·a<0， 不妨设b＝(1,0)，c＝(0,1)，a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)， 则则θ∈， 则|a＋b＋c|＝|(1＋cos θ，1＋sin θ)|＝＝ ＝ ， 由θ∈，θ＋∈， 则sin∈，2sin∈(－2,2)， 故|a＋b＋c|∈(1，). 故答案为(1，). 答案　(1，) 6.解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝0，展开化简后可得结果. 由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2＝9＋2＝0， 因此，a·b＋b·c＋c·a＝－. 故答案为－. 答案　－ 7.解析　由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0.解得λ＝. 答案　 考点13　题组二 1.解析　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，||＝2∈(1.6,3.3)，故选A. 答案　A 2.解析　因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0. 如图所示，设＝a，＝b，＝c， 由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形， AB边上的高OD＝，AD＝， 所以CD＝CO＋OD＝＋＝， tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝， cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝. 答案　D 3.解析　A、B写出，，，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. A：＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)， 所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，正确； B：＝(cos α－1，sin α)，＝(cos β－1，－sin β)，所以||＝＝＝＝＝2，同理||＝＝2，故||，||不一定相等，错误； C：由题意得：·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，·＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，正确； D：由题意得：·＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，·＝cos β×cos(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cos αcos2β－sin αsin βcos β－sin αsin β·cos β－cos αsin2β＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝cos(α＋2β)，错误.故选AC. 答案　AC 4.解析　(坐标法)　以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，所以＝，＝(－1,0)，＝(0,1)，因为＝λ＋μ，所以＝λ(－1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以＝(a,3－3a)，＝，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 答案　　－ 5.解析　a2＋b2－2a·b＝3，a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，∴a2－2a·b＝0，∴b2＝3，即|b|＝. 答案　 6.解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1,0)，A8.设P(x，y)，于是2＋2＋…＋2＝8(x2＋y2)＋8， 因为cos 22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故2＋2＋…＋2的取值范围是[12＋2，16]. 答案　[12＋2，16] ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $