专题4 三角函数与解三角形 考点11 解三角形 题组1-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

考点11　题组一 1.解析　因为cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，由二倍角公式得1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2， 整理可得，sin C＝sin2A＋sin2B，A选项正确； 由诱导公式，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 展开可得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2A＋sin2B， 即sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)＝0， 若A＋B＝，则sin A＝cos B，sin B＝cos A，可知等式成立； 若A＋B<，即A<－B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<cos B，同理sin B<cos A， 又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)<0，与条件不符， 则A＋B<不成立； 若A＋B>，类似可推导出sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)>0，则A＋B>不成立. 综上讨论可知，A＋B＝，即C＝. 由cos Acos Bsin C＝＝cos Acos B，由A＋B＝，则cos B＝sin A，即sin Acos A＝， 则sin 2A＝，同理sin 2B＝，注意到A，B是锐角，则2A,2B∈(0，π)， 不妨设A<B，则2A＝，2B＝，即A＝，B＝， 由两角和差的正弦公式可知sin ＋sin ＝＋＝，C选项正确； 由两角和的正切公式可得，tan ＝2＋，设BC＝t，AC＝(2＋)t，则AB＝(＋)t， 由S△ABC＝(2＋)t2＝，则t2＝＝2，则t＝， 于是AB＝(＋)t＝，B选项正确，由勾股定理可知，AC2＋BC2＝2，D选项错误. 故选ABC. 答案　ABC 2.解析　通过作辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案. 过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′， 故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB. 所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100. 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝， 在△A′B′C′中，由正弦定理得： ＝＝＝， 而sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273， 所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373. 故选B. 答案　B 3.解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－－＝，由正弦定理＝， 可得AB＝＝＝ ＝ ＝× ＝＝. 答案　 4.解析　如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝＝2. 故答案为2. 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋， 由正弦定理可得，＝＝， 解得sin B＝，sin C＝， 因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°， 即AD＝AB＝2. 答案　2 5.解析　法一：三角形的三边a＝，b＝，c＝2代入公式得S＝＝. 法二：三角形的三边a＝，b＝，c＝2代入余弦定理得cos A＝，则sin A＝， 则面积S＝bcsin A＝. 答案　 6.解析　S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝4. 由余弦定理，b2＝a2＋c2－ac＝3ac－ac＝2ac＝8. 所以b＝2. 答案　2 7.解析　由题意结合余弦定理可得BC＝8，进而可得AC，再由余弦定理可得cos∠MAC. 由题意作出图形，如图， 在△ABM中，由余弦定理得 AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B， 即12＝4＋BM2－2BM×2×， 解得BM＝4(负值舍去)， 所以BC＝2BM＝2CM＝8， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝4＋64－2×2×8×＝52， 所以AC＝2； 在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝. 答案　2　 8.解析　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝， ∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 9.解析　(1)由＝得a＝c， 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B， 即c2＋c2－25＝2·c·c·， 得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4. (2)因为cos B＝，所以sin B＝＝， 由正弦定理得＝，即＝， 得sin A＝. (3)因为a<b，所以A<B，则cos A>0， 由sin A＝，得cos A＝， 则cos 2A＝2cos2A－1＝， sin 2A＝2sin Acos A＝. 故cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝. 10.解析　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2， 设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 11.解析　(1)D为BC中点，S△ABC＝， 则S△ACD＝， 过A作AE⊥BC，垂足为E. 在△ADE中，DE＝，AE＝， S△ACD＝·CD＝，∴CD＝2， ∴BD＝2，BE＝，tan B＝＝＝. (2)＝(＋)， 2＝(c2＋b2＋2bccos ∠BAC)， 即1＝(8＋2bccos ∠BAC)， ∴bccos ∠BAC＝－2，① S△ABC＝bcsin ∠BAC＝， ∴bcsin ∠BAC＝2，② 由①②解得tan ∠BAC＝－， ∴∠BAC＝，∴bc＝4， 又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. 12.解析　(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2， ∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝， 又a2－b2＋c2＝2accos B， 所以accos B＝1， 由sin B＝得cos B＝，∴ac＝＝， 故S△ABC＝acsin B＝××＝. (2)由正弦定理得：＝·＝＝＝，故b＝sin B＝. 13.[思路点拨]　(1)由正弦定理可得出2c＝3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b，c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B，再利用三角形的面积公式可求得结果； (2)分析可知，角C为钝角，由cos C<0结合三角形三边关系可求得整数a的值. 解析　(1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6， cos C＝＝，所以，C为锐角，则sin C＝＝， 因此，S△ABC＝absin C＝×4×5×＝； (2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cos C＝＝＝<0， 解得－1<a<3，则0<a<3， 由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1， ∵a∈Z，故a＝2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题 1.(多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A·cos Bsin C＝，则(　　) A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝ C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3 2.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 二、填空题 3.(2024·上海卷·春)在△ABC中，BC＝2，A＝，B＝，则AB＝________. 4.(2023·全国甲卷·理)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 5.(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________. 6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c面积为.B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 7.(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________，cos∠MAC＝________. 三、解答题 8.(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 9.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝. (1)求a的值； (2)求sin A的值； (3)求cos(B－2A)的值. 10.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高. 11.(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 12.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 13.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $