专题3 导数及其应用 考点7 导数的几何意义-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

专题三　导数及其应用 考点7 1.解析　f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 2.解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 答案　C 3.解析　法一　对于y＝ex＋x＋a， 其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5， 可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 故答案为4. 法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则解得a＝4. 故答案为4. 答案　4 4.解析　令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 答案　ln 2 5.解析　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0. 可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0·(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0·(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 6.解析　当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，点(x2，ln(－x2))(x2<0)上的切线为y－ln(－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln(－x2)－1＝0，解得x＝－e，此时切线方程为y＝－. 答案　y＝　y＝－ 7.解析　先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可. 由题，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上. 求导得：y′＝＝， 所以y′|x＝－1＝5. 故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案　5x－y＋2＝0 8.解析　结合导数的几何意义可得x1＋x2＝0，结合直线方程及两点间距离公式可得|AM|＝·|x1|，|BN|＝·|x2|，化简即可得解. 由题意，f(x)＝＝， 则f′(x)＝， 所以点A和点B，kAM＝－ex1，kBN＝ex2，所以－ex1·ex2＝－1，x1＋x2＝0， 所以AM：y－1＋ex1＝－ex1(x－x1)，M， 所以|AM|＝＝·， 同理＝·， 所以＝＝＝＝ex1∈(0,1). 故答案为(0,1). 答案　(0,1) 9.解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，则f′(1)＝e－1. f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0). 解法一(导数法)　令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－2a－<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0； 当a>1时，g(a)<0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 解法二(图象法)　由1－ln a－a2 <0(a>0)，得ln a>－a2＋1(a>0).如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 由图易知当a>1时，ln a>－a2＋1， 即1－ln a－a2<0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 10.解析　(1)当a＝－1时， f＝ln， 则f′＝－×ln＋×， 据此可得f＝0，f′＝－ln 2， 所以函数在处的切线方程为 y－0＝－ln 2，即x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f′＝·ln＋×， 满足题意时f′≥0在区间上恒成立. 令ln＋≥0， 则－ln＋≥0， 令g＝ax2＋x－ln，原问题等价于g≥0在区间上恒成立， 则g′＝2ax－ln， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln>0， 故g′<0，g在区间上单调递减， 此时g<g＝0，不合题意； 令h＝g′＝2ax－ln， 则h′＝2a－， 当a≥，即2a≥1时，由于<1， 所以h′>0，h在区间上单调递增， 即g′在区间上单调递增， 所以g′>g′＝0，g在区间上单调递增，g>g＝0，满足题意. 当0<a<时，由h′＝2a－＝0，可得x＝－1， 当x∈时，h′<0，h在区间上单调递减，即g′单调递减， 注意到g′＝0，故当x∈时， g′<g′＝0，g单调递减， 由于g＝0，故当x∈时，g<g＝0，不合题意. 综上可知，实数a的取值范围是. 11.解析　(1)∵f′(x)＝3x2－1， ∴f′(－1)＝2，且f(－1)＝0， 故y＝f(x)在点(－1,0)处的切线为y＝2(x＋1)， 又y＝2(x＋1)与y＝g(x)相切，将直线y＝2(x＋1)代入g(x)＝x2＋a得x2－2x＋a－2＝0， 由Δ＝4－4(a－2)＝0得a＝3. (2)∵f′(x)＝3x2－1，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)， 即y＝(3x－1)x－2x； 由g(x)＝x2＋a得g′(x)＝2x， 设y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线为y－(x＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x＋a， ∴ ∴a＝x－2x＝(9x－8x－6x＋1). 令h(x1)＝9x－8x－6x＋1，则h′(x1)＝36x－24x－12x1＝12x1(x1－1)(3x1＋1)，当x1<－或0<x1<1时，h′(x1)<0，此时函数y＝h(x1)单调递减； 当－<x1<0或x1>1时，h′(x1)>0，此时函数y＝h(x1)单调递增； 又h＝，h(0)＝1，h(1)＝－4， ∴h(x1)min＝h(1)＝－4， ∴a≥＝－1，故a≥－1. 12.解析　(1)由题，f′(x)＝ex·ln(1＋x)＋ex·＝ex， 故f′(0)＝e0·＝1， f(0)＝e0ln(1＋0)＝0， 因此，曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝x. (2)由(1)，g(x)＝f′(x)＝exln(1＋x)＋＞0，x∈[0，＋∞)， 则g′(x)＝ex·， 设h(x)＝ln(1＋x)＋－，x∈[0，＋∞)， 则h′(x)＝－＋＝＞0， 故h(x)在[0，＋∞)上递增， 故h(x)≥h(0)＝1＞0， 因此g′(x)＞0对任意x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增； 另解：g′(x)＝ex·ln(1＋x)＋－＝ex· ＝ex·， 由于x∈[0，＋∞)，故ln(1＋x)≥0，＞0，≥0， 因此，g′(x)＞0对任意x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增. (3)证明　m(s)＝f(s＋t)－f(s)－f(t)＝es＋tln(1＋s＋t)－esln(1＋s)－etln(1＋t)， 则m′(s)＝es＋t－es＝g(s＋t)－g(s)， 由(2)知g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 故s＞0，t＞0时，m′(s)＝g(s＋t)－g(s)＞g(t)－g(0)＞g(0)－g(0)＝0， 因此，m(s)在(0，＋∞)上递增， 故m(s)＞m(0)＝f(0＋t)－f(0)－f(t)＝－f(0)＝0， 因此，对任意的s，t∈(0，＋∞)，有f(s＋t)＞f(s)＋f(t). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考点7 题 班级： 导数的几何意义 姓名： 组 学号： 一、选择题 1.(2024全国甲卷·理)设函数fx)=ex+2sinx1十x2,则曲线y=x)在点(0,1)处的切线与两坐标 轴所围成的三角形的面积为()】 A.16 B.13 C.12 D.23 2.(2023全国甲卷文)曲线y=exx+1在点\a\vs4\al\co1(1,\f(e2)处的切线方程为() A.y=e4x B.y-e2x C.y=e4x+e4 D.y=e2x+3e4 二、填空题 3.(2025全国一卷)若直线y=2x十5是曲线y=e十x+a的一条切线，则a= 4.(2024新课标1卷)若曲线y=ex+x在点(0，l)处的切线也是曲线y=lnc十1)十a的切线.则a 5.(2022新高考1卷)若曲线y=(c十a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 6.(2022新高考川卷)曲线y=nlx过坐标原点的两条切线的方程为 7.(2021全国甲卷)曲线y=2x-1x+2在点rc)(avs4al\co1(-1,-3)处的切线方程为 8.(2021新高考川卷)已知函数fx)=\avs4\al\co1(ex-1),x<0,x>0.函数fx)的图象在点A \rc\)(\a\vs4\al\col(x1, f\b\Ic\(\rc\)(\a\vs4\al\col(x1))) 点 B rc)(avs4al\co1(x2,fb1lc(rc)(avs4 al\co1(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M,N两点，则AMBN取值范围是 三、解答题 9.(2024新课标I川卷)已知函数fx)=e-a-a3 (1)当a=1时，求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程； (2)若x)有极小值，且极小值小于0，求α的取值范围. 10.(2023·全国乙卷·文)已知函数frc)(avs4\al\co1(x)=\avs4\al\co1(f(1x)+a) In\rc\)(\a\vs4\al\col(1+x). (I)当a=-1时，求曲线y=rc)(a\vs4\al\co1(x)在点rc)(avs4\al\col(1,f b11c(rc)(avs4\al\co1(1))处的切线方程 (2)若函数rc)(avs4\al\col(x)在\rc)(avs4\al\col(0,+∞)单调递增，求a的取值范 围 独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 11.(2022全国甲卷)已知函数fc)=x3-x,gc)=x2十a,曲线y=fx)在点(1，x1)处的切线也是曲 线y=g(x)的切线 (1)若1=-1，求a; (2)求a的取值范围. 12.(2022北京卷)已知函数x)=en(1+x) (1)求曲线y=fx)在点(0.O)处的切线方程； (2)设gx)=f(x),讨论函数gx)在[0.+∞)上的单调性； (3)证明：对任意的s,t∈(0，+∞)，有s十0>s)+f) ·独家授权侵权必究·