试卷02 半期模拟测试（二）（一元二次方程+二次函数+旋转）-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

试卷02 半期模拟测试（二） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．是一次函数，故本选项不符合题意； B．是反比例函数，故本选项不符合题意； C．是二次函数，故本选项符合题意； D．是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a，b的值分别为（    ） A．4，5 B．4，3 C．2，5 D．2，3 【答案】D． 【解析】解：将一元二次方程化为的形式可得， 即，． 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：由题意可得． 故选：B． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．由抛物线开口方向可得，由直线与y轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； B．由抛物线开口方向可得，由直线与y轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； C．由抛物线开口方向可得，由直线与y轴交点可得，故本选项符合题意； D．由抛物线开口方向可得，由直线与y轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y． ①∴当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②； ③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A． 【解析】解：如图，连接， ∵矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ∴， ∵F为的中点， ∴，故①正确； ∵矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故③正确； 如图，延长交于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：A． 10．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数G的图象有2个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④ 【答案】D． 【解析】解：对于①，∵， 由，得， ∴函数G的图象与y轴的交点为， 由，得， 即， 因式分解，得， ∴或， 解得，， ∴函数G的图象与x轴的交点为，， ∴函数G的图象与坐标轴的交点为，，，故①正确； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误； 对于③， ∵函数G的图象与x轴的交点为，， ∴结合图象可知，函数图象的对称轴为， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； 对于④：∵函数图象的对称轴为，， ∴若在函数图象上，则也在函数图象上，故④正确； 对于⑤：如图，当直线过点B时，直线与函数G的图象恰好有三个交点， ∴， 解得：， 当直线过点A时，直线与函数G的图象恰好有一个交点， ∴， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ∴， 解得，， 结合图象可知，当直线与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围为或，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知关于x的一元二次方程有一个根为2，则 ． 【答案】． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 【答案】1． 【解析】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1． 13．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】1． 【解析】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1． 14．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】． 【解析】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】． 【解析】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，边长为1的正方形顶点，；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】解：设抛物线的解析式为：， ∵顶点是正方形上的一个动点， 当抛物线的顶点与点A重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点B重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点C重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点D重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， ∵顶点在正方形内部， ∴． 故答案为：． 17．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 【答案】14万元． 【解析】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元， 则 ； ∴当时，能获得的最大利润； 故最大利润为14万元． 故答案为：14万元． 18．如图，在中，，，，点D在边上，点E是边上的动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接、，则的最小值是 ． 【答案】3． 【解析】解：如图，过点E作于点M，取中点Q，连接、、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上运动， ∵， ∴当点F在上时，取得最小值，且最小值为线段的长， ∵， ∴取得最小值为3， 故答案为：3． 三、解答题（第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19．按要求解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2），． 【解析】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， 则， 解得：，． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2），，． 【解析】（1）解：如图，和即为所求； （2）由图可得，，， 设经旋转后点P的对应点为， ∴点的坐标为， ∴平移后点的坐标为． 21．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），使得点E落在边上，的延长线与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的长度是否相等，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析． 【解析】（1）证明：根据旋转得， ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：将矩形旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 22．定义新运算“”，对于实数a、b、m有．例如：． （1）若实数x满足，求x的值； （2）关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 23．已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）乒乓球竖直高度的最大值50cm ，；（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析． 【解析】（1）解：乒乓球竖直高度的最大值50cm 依题意，，， ∴y与x的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为. （2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 24．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1）四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 【解析】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或（舍）； 答：四、五这两个月的月平均增长百分率为25%； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）； 答：当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为点D，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）为直角三角形，理由见解析；（2），当时，四边形的面积为S最大，此时；（3）或或或或． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴， 其中：， ∴当时，四边形的面积为S最大，最大面积为9， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 26．已知，在中，，，E是边上一点． （1）如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； （2）如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．试探究线段，，之间的数量关系； （3）如图3，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）2；（2），证明见解析；（3）． 【解析】（1）解：如图1，过点F作直线于H，则， ∵将绕点E逆时针旋转至， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）解：如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q， ∵， ∴，，， ∵点N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵将绕点E顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，， ∵点Q是点P关于直线的对称点， ∴，平分，垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴当点，P，N三点共线时，有最小值，如图， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴， ∴当点K落在上时，有最小值， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， 如图，设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷02 半期模拟测试（二） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a，b的值分别为（    ） A．4，5 B．4，3 C．2，5 D．2，3 4．若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②； ③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 10．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数G的图象有2个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④ 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知关于x的一元二次方程有一个根为2，则 ． 12．若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 13．已知，是方程的两个根，则的值为 ． 14．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 15．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 16．如图，边长为1的正方形顶点，；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是 ． 17．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 18．如图，在中，，，，点D在边上，点E是边上的动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接、，则的最小值是 ． 三、解答题（第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19．按要求解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 21．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），使得点E落在边上，的延长线与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的长度是否相等，并说明理由． 22．定义新运算“”，对于实数a、b、m有．例如：． （1）若实数x满足，求x的值； （2）关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 23．已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 24．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为点D，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 26．已知，在中，，，E是边上一点． （1）如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； （2）如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．试探究线段，，之间的数量关系； （3）如图3，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 8 学科网（北京）股份有限公司 $