河南省郑州外国语学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

郑州外国语学校2025-2026学年高三上期调研3考试试卷 数学 (120分钟150分) 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2≥2}，B={xm(-x2+8x-14)≥0}，则A∩B=（) A.{x|4≤≤5} B.{x|3<x<4} C.{x|3≤≤4 D.{x|2≤x≤4} 2.设p:②a,9:x2+3x-10>0,且p是g成立的充分不必要条件，则a的取值范围是（) A.(0,2) B.(2,+o) C.[2,+∞) D.(2,5] 3.若cosa+cosA=克cos(e-创=-京其中a,Be0,网，则sma+smB=() 4. B.6 c 4.若关于x的不等式x2-4ar+3a2<0(a<0)解集为{xx<x<x2},则下列结论错误的是() A++名<0的解集为a-<a<0 4 B.名+名+名的最小值为-月 C.名+名+及的最大值为4日 xX 3 D.,+名+a的最小值为4因 Xx2 5.已知函数f(x)= r,,a>0且a+)在R上单调递减，则a的取值范围为(） log x,x>1 A.(0, B.5) c D.) 6.已知函数f(倒=(m- 一)的图象关于原点对称，则实数m=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.已知X>0,y>0,Xxyr=√e,灯=e,则Xvyx=( A.e B.√e C.1 D. 8.已知函数d)=sin(@x+p@>0,lp水在区间孕上单调递减，且f学)=f()=-f(令， 将函数y=∫(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图 第1页，共4页 象，若函数y=g()在区间[-1，)上单调递增，则1的最大值为( ) A合 B.名 c牙 二.多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。 9。下列选项正确的是( ) A.2cos2150-1= B. 2 tan210°= 2 C.sin30°sin2.5°sin67.50= D. tan48°+tan72° 4 1-tan48°tan72° 10.若a>b>1,0<c<1,则() A.ca>co B.ab>ba C.alog。b<bloge a D.alog。a<blog,b 11.函数f)=m2+(b≠0)的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数f似的图象 的是() C 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(2x-√的展开式中，x的系数为· 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,bcosA=1+cosB,则边b的 取值范围为， 第2页，共4页 14.设函数f(x)=(ar-me(ax-lnx)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数a使得f(x)<0恒 成立，则实数m的取值范围是· 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c+a)cosB+bcosA=0, 点M是AC上的动点. (1)若BM是∠ABC的角平分线，a=4,c=5,求BM的长度； (2)若b=4,点M满足MC=3AM,BM=1,求△BMC的面积。 16.(15分)如图，已知四楼台ABCD-AB,CD,的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平 面ABB,A⊥平面ABCD,AA=BB=V5,点M是线段BB,的中点，N为线段CD上一点. (1)若CN=1,证明：MN//平面ADDA: (2)在线段CD上是否存在点N,使平面ADD,A与平面MWB夹角的余弦值为Y3c?若存在，指 10 出点N的位置；若不存在，说明理由， B M A B N 17.15分)已知椭圆E若+号=08>0的左、右焦点分为FK10,50,5)是 Q3×3 椭圆上的一点。 (1)求椭圆E的方程； (2)过右焦点F的直线1与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交直线1于点P,交 直线x=-2于点2，求P2的最小值. I AB 第3页，共4页 18.(17分)某次投篮游戏，规定每名同学投篮n次（≥2，n∈N),投篮位置有A,B两处，第一 次在A处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进， 则下一次投篮位置不变.在A处每次投进得2分，否则得0分；在B处每次投进得3分，否则得 0分。已知甲在，B两处每次投进的摄率分别为】，且每次投篮相互数立。记甲第 k(k≤n,k∈N)次在A处投篮的概率为a4,第k次投篮后累计得分为X, (1)求X,的分布列及数学期望； (2)求{a}的通项公式： (8)运明：5比)>号0分· 参考公式：若X,Y是离散型随机变量，则E(X+门=E(X)+E(). 19.(17分)已知函数∫闲=×+2co5x,g)=cosx+sinx-2x-2,其中e=2.71828是自然对数 e 的底数。 (1)求f(x)的最值： (2)若函数y=g(x)-a在区间(-2π，2π)上有2个零点，求实数a的取值范围： (3)若meR，讨论函数y=g(x)+mf(x)的单调性. 第4页，共4页郑州外国语学校2025-2026学年高三上期调研3考试教师版 数学 一。选择题（共8小题） CBADC ABB 二。多选题（共3小题） ABD BD BD 三，填空题（共3小题） 80 1,2) (点，+o) 四.解答题（共5小题） 15.【解答】解：(1)因为(2c+c0sB+bc0sA=0, 由正弦定理可得(2sinC+sinA)cosB+sin B cosA=0, 所以2 sin Ccos B+sin Acos B+sin B cosA=0, 所以2 sinC cos B+sin(A+B)=0,在△ABc中，sin(A+B)=sinC>0,可得cosB=-1 又0<B<π，B= 2π；(3分) 若BM是∠ABC的角平分线，∠ABM=∠CBM=,又SAc=SAw+S.cM, 所以上acsin,∠ABC=1 c x BM sin∠ABM+1 axBMsin∠CBM,又a=4,c=5, 所以4×5x 5xM当4x,解得8M-9:(7分) 2 91 (3)因为MC=3AM,所以AM=AC=(BC-BA, 所以BM=BA+AM=BA+(BC-BA)=上BC+3BA, A 4 4 所以BM2=1BC2+3BCB+9BA, 16 8 16 所以1r=2+.∠c+e2,所以16-a-3c+9c, 3 由余弦定理可得b=a2+c2-2 ac cos.∠ABC,又b=4,所以16=d2+c2+ac,(10分) a=方，可得a=号，所以Sc如8-5-8y5 、深得c=4,2=8 2727 所以SBaw= 5,所以△的面积为 7.(13分) 第1页，共6页 16。【解答】解：(1)证明：取线段AA的中点P,连接PM,PD, 因为MP为梯形ABB,A,的中位线，所以MP=AB+A8=3, 2 又因为CN=1，所以DN=3, 因为DNI1AB,PM1IAB,且MP=DN=3,所以PMIIDN,PM=DN, 所以四边形NDP为平行四边形， 所以MNIIPD,，又因为N4平面ADDA,PDc平面ADD,A, 所以MN11平面ADD,A。(4分) (2)在平面AB,BA中，作AO⊥AB于O, 因为平面ABB,A1⊥平面ABCD，且平面ABB,A个平面ABCD=AB, 所以AO⊥平面ABCD, 在正方形ABCD中，过o作AD的平行线交CD于点O,则O9⊥OB, 分别以OQ，OB,OA的方向为x轴、y轴、二轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA B B 因为四边形ABB,A为等腰梯形，AB=2,AB=4,所以AO=1, 又因为A4=BB,=V5,所以A,O=2, 则A0,-1,0),A(0,0,2),D(4,-1,0),B,(0,2,2),B(0,3,0), 设N(4，a,0)(-1≤a≤3)，AA=(0,1,2),所以AD=(4,0,0), 设平面ADDA的法向量为=（化，片，2）， 刘h上AA,所以2.4D=o’则十2=0. ⊥AD 14x=0 令==1，所以=(0，-2,1)，(8分) 又因为M为2a的中点，所以M03:所以BM=0,W=4,a-3.0, 第2页，共6页 设平面aaw的法向量为%=(k,片，2），则区18 所以」m,·BM=0 1 则 2+z2=0 21 n2⊥BN n2·BN=0 4x2+(a-3)y2=0 令x2=3-a，所以n2=(3-a,4,2)，(12分） 又因为平面ADA4与平面2夹角的余弦值为y50 10 所以1上30，整理得 V30 %1|n210 5xV3-a2+20 109 所以a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,又因为-1≤a≤3，所以a=1, 所以存在，点N为CD的中点，(15分) 17.【解答】解：（1)设椭圆E的半焦距为c,则依题意有c=1, 因为点5)在满损学芳-a6:0上 所以是+是=1，又=心-b=1,与上试联立可得-3,6=2， x2,y2 所以椭圆ε的方程为3+2 =1。(4分) (2)当直线1的斜率为0时，线段AB的垂直平分线为x=0,与x=-2不相交，不符合题意， 故直线！的斜率不为0，设其方程为x=y+1, x=y+1 联立 +-1?消去x得(2m+3)2+4四-4=0， 32 △=(4m)2-4×(2m2+3)×(-4)=48m2+48>0, 设A(x,y),B(x2，),则y1+y2= 4m. 2m2+334y= -4,(6分) 2m2+3 则|AB=V1+m|y-为上V1+m2VG+y)2-4y, 16m2 16 =V1+m V3m2+3_4V3(m2+1) V(2m2+3)2+ =4V1+2 2m2+3 2m2+3 2m”,8分 依题意有点P是线段AB的中点， 所以y,=2= 2m 3 2 2m+3’x,=m,+1=2m+3' 由P9⊥1可得，直线P2的斜率为-m, 所以PO+m1x。-,上+m-2-,3与上+m. 42+9 2m2+3 2m2+3,(11分) 第3页，共6页 m2+9 所以P +m 2m2+3-V3.4m2+9 (12分) AB 4W3(02+1) 12V1+m2 22+3 令1+m2=t,则t>1,所以m2=t-1, |AB|12t12 当且收音子：号时取等号，时=宁所是的是小信为年，（5分y 18.【解答】解：(1)设“甲第1次在A处投进”为事件A,“甲第1次在B处投进”为事件B, i=1,2,依题意，X,的可能取值为0,2,3,4. Px=0-=P4B)=0-3x-33,Px=2)=4④-；x0-3- 21 5 25 Px=-a)-a3分5nm=0=44)8,4分 339 所以X,的概率分布为： X: 0 2 3 p 1 6 9 5 25 5 25 B)=×0+6×2+1×3+9x4=(6分). 25 25 25 (2)当2≤k≤n时，甲第k次在A处投篮分两种情形： 3 ①第k-1次在A处投篮且投进，这种情形概率为41×亏 ②第k-1次在B处投篮且未投进，这种情形概率为1-4)×Q1-},(8分) 所以a-争是以号为首项，六为公比的等比数列，《10分) 第4页，共6页 所a-号白，即a-+，k=1,2a1分) (3)证明：因为第k次在A处投篮的概率为a，在B处投篮的概率为1-ak, 记第k次得分点，则点的可能取值为0,2,3，(12分) P5=2)=30,P5.=3)-0-a), 3 p5=0=a-3a,+0-20-a)=;。 210 所以)2430--号高号后合，分剂 3 1 2 因为X, E(X,) 421-分 3-15 4.44× 1、1 327+27×合，(16分) 10 因为分白>0，所以)小0 4 .(17分) 19。【解答】解：（1)因为函数fx)=x2+2cosx,所以导函数f"(x)=2x-2sinx, 设h(x)=f'(x),所以导函数h'(x)=2-2 COSx 因为cosx∈[-1,1]，所以2-2cosx≥0，所以导函数(x)≥0，(2分) 因此函数h(x)即f"(x)为R上的增函数，又因为h(0)=2×0-2sin0=0, 因此当x∈(-o,0)时，h(x)<0，即f'(x)<0, 所以函数f(x)在x∈（←∽，0）上为单调递减函数： 当xE(0,+∞)时，h(x)>0,即f"()>0, 所以函数f(x)在x∈(0，+∞)上为单调递增函数， 因此f(x)在x=0处取得最小值，且当x→士∞时f(x)→+0， 因此函数f(x)无最大值，最小值为f(0)=02+2cos0=2。(4分) （2)因为函数g()=c0sx+simx-2x-2, 所以导函数g)=←sinx+cosx-2e-(cosx+sinx-2x-2)e_2x-2sinx (e)2 根据第一问知当x∈(2π，0)时，g(x)<0，因此函数g(x)在x∈（←2π，0）上为单调递减函数： 当x∈(0,2x)时，g()>0，所以函数g(x)在x∈(0,2)上为单调递增函数， 第5页，共6页 所以g(w)在x=0处取得最小值为g(0)=cos0+sim0-2×0-2=-1.(6分) e0 因为函数y=g(x)-a在(-2π，2π)上有2个解， 又 因 为 g(-2x)=cos(-2m)+sim(-2π)-2x(-2z)-2=4r-1 e 2m g(2x)=cos(2m）+sim2r）-2x2m）=2=-4-1<g(-2m), e2元 因此ae(1,.(10分) (3)因为函数y=g)+mf)=cosx+si血x-2x-2+m'+2c0s), e 所以导函数y=2-2s+m(2x-2sin)=(2x-2s血x哈+网， ex 根据第一问知h(x)=2x-2sinx在R上单调递增，且h(O)=0. 因此当m>0时，二+m>0, 那么当x>0时，y'>0,函数y单调递增：当x<0时，y'<0,函数y单调递减，(12分) 当m<0时，令是+m=0,解得x=(-m网. 若m=-1时，则x=-1nl=0. 当x≠0时，导函数y'<0，因此y在(-0，+o)上单调递减。 若-1<m<0时，x=-ln(-m)>0, 当x∈(0,0叭U(-ln(-m,+m)时，y<0, 因此y在(-n,0)和(-ln(m),+w)上单调递减： 当xe(0,-n(←m)时，导函数y'>0,函数y单调递增。（14分) 若m<-1时，x=-ln(-m<0,当x∈(-0，-n(-m)八J(0，,+0)时，y'<0, 故函数y在(0，-ln(-m)和(0，+w)上单调递减： 当x∈(-1(-m,0)时，y'>0,函数y单调递增。（16分) 综上，当心0时，函数在(-n,0)上单调递减：在(0，+w)上单调递增： m=-1时，函数在（一0，+0）上单调递减： -1<m<0时，函数在(-n,0)和(-ln(-m),+o)上单调递减，在(0，-ln(-m)上单调递增； m<-1时，函数在(0，-l(-m)和(0，+o)上单调递减，在(-n(-m),0)上单调递增。（17分) 第6页，共6页