第22章二次函数第19课时二次函数与图形周长最值问题 - 2025-2026学年人教版九年级上册数学暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第19课时二次函数与图形周长最值问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 问题背景：线段最值问题 此类问题通常有两类: 1、设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值。 2、在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型，此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对点与另一个定点的线段即为所求的最小值。 本课时问题核心：周长最值问题 此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其共所求图形周长最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段的最值间题，其方法同上面问题背景中的线段最值问题。 类型一、三角形周长最小的问题 例题1.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)解：∵点A（-1，0）在抛物线y＝x2＋bx-3上，∴b＝-2．∴抛物线解析式为y＝x2-2x-3．∵抛物线y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，∴顶点D的坐标为（1，-4）．  (2)对于y＝x2-2x-3，当x＝0时，y＝-3，∴C（0，-3）．当y＝0时，x2-2x-3＝0，解得x1＝-1，x2＝3．∴B（3，0）．由抛物线的性质可知，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交抛物线的对称轴于点M，此时AM＋CM＝BC为最小值，故此时△ACM的周长最小．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线BC的解析式为y＝x-3．当x＝1时，y＝-2，故点M（1，-2）．  类型二、四边形周长最大的问题 例题2.如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上点在点的左侧，点、在抛物线上，，当时，． 求抛物线所对应的函数表达式； 当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】解：设抛物线解析式为， 当时，， ， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点和点关于直线对称， ， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值是．  【解析】设交点式，再确定，然后把点坐标代入求出即可； 由于，则，所以，再利用点和点关于直线对称得到，所以矩形的周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，抛物线经过、、三点，若抛物线的对称轴上存在点使得四边形的周长最小，则四边形周长的最小值为  ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，轴对称最短路线问题． A、关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为所求的点，此时，四边形的周长最小值为：；根据勾股定理求得，即可求得． 【解答】 解：、关于对称轴对称，如图，连接，与对称轴的交点即为所求的点，此时， 四边形的周长最小值为：， 、、， ，，， ． 故选：． 2.如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点点是该抛物线的对称轴上一个动点，则周长的最小值为  ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数的性质、轴对称最短路线问题以及两点间距离公式，属于常考题根据的周长为，可得当最小时，的周长最小，然后连接，交于点，点即所求的点，再得出，根据两点间距离公式分别求出和的长可得答案． 【解答】 解：的周长为， 是定值， 当最小时，的周长最小， 点、点关于抛物线的对称轴对称， 连接，交于点，点即所求的点， ， ， ，，， ，， 周长的最小值是． 故选C． 二、填空题： 3.已知抛物线与轴交于，两点，顶点为，则的周长为          ． 【答案】  【解析】解：抛物线与轴交于、两点，顶点为， ，，． ， 周长为： 故答案是： 根据抛物线的性质得到，，，利用两点间的距离公式可以求得的三边长度，利用三角形的周长公式进行解答． 本题考查的是二次函数和轴的交点问题，求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 4.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数与一次函数的综合、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决． 【解答】 解：， 解得，或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ，得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 将代入直线中，得， 直线与轴的夹角是， 点到直线的距离是：， 的面积是：， 故答案为：． 5.如图，抛物线与轴交于点，点在点的左边，交轴于点，点为抛物线对称轴上一点．则的周长最小值是          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 连接，交对称轴于点，连接，，如图所示，则周长的最小值，再求出，，，根据勾股定理求出，，即可得出答案． 【解答】 解：如图，连接，交对称轴于点，连接，，如图所示： 由线段垂直平分线性质，得， 周长， 抛物线中，令，解得或；令，解得， ，，， ，，， 在中，有    ， 在中，有  ， 的周长的最小值为：  ， 故答案为  ． 6.已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点 作轴于点，以为对角线作正方形则抛物线的顶点坐标是______，正方形周长的最小值是______． 【答案】    【解析】解：， 抛物线的顶点坐标为； 四边形是正方形， ， 点在抛物线上运动， 当时，有最小值， 即的最小值是， 正方形周长的最小值为． 故答案为：，． 由配方法可求出抛物线的顶点坐标，根据，由的最小值可求出答案． 本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． 求这条抛物线的函数表达式； 在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 【答案】解：函数过点，，且对称轴为， 则：， 解得：， ； 答：存在，理由如下： 因为点、关于直线对称，连接交直线于点， 设直线为，代入和 得：，解得：， 直线为：， 将代入中，，   【解析】本题考查了抛物线和轴交点的坐标以及用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，正确找到点的位置是解题关键． 由点，在抛物线上以及抛物线的对称轴为即可求出其解析式； 因为点、关于直线对称，连接交直线于点，则此时的周长最小，设直线为，代入和则直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出的值，则点的坐标可求出． 8.如图，为二次函数的图象，已知该图象经过点． 求该二次函数的解析式； 设该二次函数的图象与轴的交点为，顶点为，点为轴上一点，求周长的最小值． 【答案】(1)解：∵二次函数的最小值为1，a＞0， ∴①． 将点（2，3）代入y＝ax2＋bx＋3， 得4a＋2b＋3＝3②， 联立①②，解得a＝2，b＝－4， ∴该二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3；   (2)由题意，得A（0，3），B（1，1），如解图，作点A关于x轴的对称点A′， ∴A′（0，－3），连接A′B交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， ∴AP＝A′P， ∵AB为定值， ∴要使得△ABP周长最小，使得PA＋PB的值最小即可． 过点B作BD⊥y轴于点D， ∴点D坐标为（0，1）， ∴AD＝2，A′D＝4，BD＝1，∠ADB＝∠A′DB＝90°， ∴，， ∴△ABP周长的最小值为． 9.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】解：点在抛物线上， ， 抛物线解析式， 抛物线， 顶点的坐标． 对于， 当时，， ， 当时，，解得：，， ， 由抛物线的性质可知：点和是对称点， 连接交函数的对称轴于点，此时为最小值，而的长度是常数，故此时的周长最小， 设直线的表达式为， 则，解得， 故直线的表达式为， 当时，，故点．  【解析】把的坐标代入函数的解析式，即可求得的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标； 直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，的长就是最小值． 本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，是本题解题的关键． 10.如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，点是抛物线对称轴上的一个动点． 求此抛物线的解析式； 当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】解：设， 在抛物线上，， 解得． ；  中， 令，则 解得，， ，． 是定值， 求的周长最小就转化为求的最小值， 由抛物线的对称性，知点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ，当点，，三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点，此时的值最小． 设直线的解析式为， ， ， 故． 当 时，． ．  【解析】用待定系数法求出抛物线解析式； 先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点的位置，再确定出直线的解析式即可． 此题主要考查了待定系数法，直线交点的确定，用待定系数法求直线的解析式是解本题的关键，确定点的位置是解本题的难点． 11.如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点． 求函数图象的顶点坐标及点的坐标； 二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由． 【答案】解：， 二次函数图象的顶点坐标为．  令，得， 解得：，，  点的坐标为；  存在．连接，如图所示． 点在二次函数的对称轴上， ，， 的周长． 当点、、三点共线时，最小， 是定值， 当点、、三点共线时，的周长最小． 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求二次一次函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；利用两点之间线段最短确定点的位置． 用配方法把函数化为顶点式，可得顶点坐标，令，得到方程两根，即可得到点坐标； 根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点的位置，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点的坐标． 12.如图，抛物线与轴交于点，顶点为． 求抛物线对应的函数解析式． 抛物线的对称轴上是否存在一点，使的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 在轴上有一点，使得的周长取最小值，求出点的坐标． 【答案】解：设抛物线为， 顶点为， ， 将代入得， 解得， 抛物线的解析式为：， 即 ； 抛物线的对称轴上存在一点，使的面积为，理由如下： 由可知抛物线对称轴是直线， 过作直线，垂足为，则， 设点， ， 解得，； 点坐标为或； 设点关于轴对称的点为，则， 的长是定值，当的值最小时，的周长取最小值， 而，当为直线与轴的交点时，取最小值，即取最小值， 当为直线与轴的交点时，的周长取最小值， 设直线的解析式为：， 把和代入， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令代入， ， 点的坐标为．  【解析】此题主要考查了求抛物线解析式以及利用轴对称求最短路线，正确得出点位置是解题关键． 直接利用顶点式求出二次函数解析式得出答案； 利用，进而得出点纵坐标，即可得出答案； 利用轴对称求最短路线的方法得出点位置进而得出答案． 13.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，，顶点为． 求抛物线对应的函数解析式． 连接，在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1)∵OA＝OC＝3，∴A（－3，0），C（0，－3）．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（－3，0），C（0，－3），∴将A（－3，0），C（0，－3）代入，得解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2＋2x－3  (2)∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1．∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（－3，0），∴易得B（1，0）．∴易得．∴点A，B关于抛物线的对称轴对称且点P在对称轴上，∴AP＝BP．∴PB＋PC＝PA＋PC．∴当P，A，C三点共线时，PA＋PC的值最小，即△BCP的周长最小．设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b1（k≠0）．∴解得∴直线AC对应的函数解析式为y＝－x－3．当x＝－1时，y＝－2，∴点P的坐标为（－1，－2）  14.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】解：如图，过点作轴于点，交抛物线于点，此时的周长最小． 因为点的坐标为，点的坐标为，所以，． 由题意，得，所以周长的最小值．   15.如图，抛物线的顶点为，且与轴右侧的交点为，直线与轴负半轴交于点，点关于轴对称的点为点． 若，求抛物线的解析式 在的条件下，在抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，求点的坐标 【答案】解：与轴负半轴交于点， ． 由已知可得，， ，解得， 抛物线的解析式为 由得抛物线的解析式为，且顶点为， ， 与轴的交点为和， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于直线对称， 如图，连接与对称轴的交点即为点，此时的周长最小． ， 的周长为． ，， ，， 可得直线解析式为， 的周长的最小值为， 点的横坐标为， 【解析】本题考查二次函数的性质，轴对称最短路线问题；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离是解题关键． 根据二次函数的对称性得出，从而求得的值，再求出函数解析式即可； 根据轴对称最短路线问题即可求得函数的解析式； 16.如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴交于点． 求、两点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最小，求出点的坐标； 【答案】解：， 令，则，令，则或， 故点、的坐标分别为：、； 由知，抛物线于轴的另外一个交点坐标为，函数的对称轴为：，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴与点，则点为所求， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得： 直线的表达式为：， 当时，，故点； 【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质以及轴对称最短等知识． ，令，则，令，则或，即可求解； 点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴与点，则点为所求，即可求解； 17.如图，抛物线过点，顶点坐标为，且与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式 在直线上是否存在一点，使的周长最小若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的顶点坐标为， 可设其解析式为， 将代入，得， 故抛物线的解析式为． 存在． 如图，连接， 由知， 令，得， 令，得或， ，．，，， ，，， ，． 延长至，使，连接，交直线于点，连接，， 则，关于直线对称，， ，此时的周长最小． 由，，易得 设直线的解析式为， 将，代入， 得解得 直线的解析式为． 同理可求得直线的解析式为． 由解得 在直线上存在一点，使的周长最小．   【解析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 先由抛物线的顶点坐标为，可设其解析式为，再将代入，得，解方程求出的值即可得到抛物线的解析式； 先由勾股定理的逆定理得出，连结并延长至，使，连结，交直线于点，由轴对称的性质可知此时的周长最小，由，，根据中点坐标公式求出，再运用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后解方程组，即可求出点的坐标． 18.如图，已知抛物线经过点，，三点，直线是抛物线的对称轴． 求抛物线的函数解析式； 设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】解：抛物线经过点，，三点， ，解得，， 即抛物线的函数解析式是； ， 该函数的对称轴是直线， 点关于直线对称的点为， 则过点和点的直线与直线的交点为，此时的周长最小， 设过点和点的直线解析式为， ，得 过点和点的直线解析式为， 当时，， 点的坐标为．  【解析】根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而可求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； 根据轴对称最短路线问题可以求得点的坐标． 本题考查待定系数法求二次函数解析式、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确用待定系数法求二次函数解析式的方法，利用轴对称和数形结合的思想解答． 19.如图，已知抛物线与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标 若一次函数的图象经过，两点，试写出一次函数的解析式 试在轴上求一点，使得的周长最小． 【答案】(1)a=1，点B的坐标为(1,-3)  (2)y=-x-2  (3)点P的坐标为(,0)  20.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． 求抛物线的解析式； 已知抛物线上点的横坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：，则，，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； 当时，，故点； 令，则或，故点，则函数的对称轴为：， 点关于对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点， 的周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 故点  【解析】，则，，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解； 点关于对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，即可求解． 本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 21.已知二次函数的图像经过点，点，点， 求该二次函数的解析式； 如图，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点，轴交于点，求周长的最大值； 【答案】解：设二次函数的解析式为， 将点代入二次函数解析式，得， ， 二次函数的解析式为； ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 直线的解析式为：， 设，则， 当时，，； 22.如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交抛物线于点若直线与轴交于点，点是对称轴上的动点，点是轴上的动点，当四边形的周长最小时，求出周长的最小值和点、的坐标． 【答案】解：在上， ， ， 直线的解析式为：， ， ， 点与点关于直线对称， 作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，连接、，此时四边形的周长最小， 四边形的周长最小值， 直线的解析式为：， 、， 即四边形的周长最小值为，点、．  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、轴对称最短路线问题以及勾股定理等知识点； 先根据二次函数解析式求出的值，然后求出直线的解析式，即可得到点与点关于直线对称，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，连接、，此时四边形的周长最小，利用勾股求出最小值，即可得到点、的坐标． 23.如图，抛物线过原点和点，矩形的边在线段上点在点的左边，点，在抛物线上．设，当时，． 求抛物线的函数表达式．    当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？    【答案】解：设抛物线解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点坐标代入解析式得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 由抛物线的对称性得， ， 当时，， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； 【解析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 由点和原点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得； 由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； 24.如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点． 求点，，的坐标； 点是线段上的动点，且过点作轴，交抛物线于点，交直线于点过点作交抛物线于点过点作轴于点，可得矩形试求矩形的周长关于的函数解析式； 【答案】解：在中，令得； 令得，解得或， ，，； ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，， 矩形的周长， 矩形的周长关于的函数解析式为； 25.某景区平面图如图所示，、、、、为边界上的点．已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，，，，抛物线顶点到的距离以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 求边界所在抛物线的解析式； 如图，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点、在边界上，点、在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长． 【答案】解：由题意得，，，且为抛物线的顶点， 则设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得， 所以边界所在抛物线的解析式是； 设点的坐标为，矩形的周长为， 则， 矩形的周长， 化简得， ， 当时，取最大值，此时点与点重合， 点坐标．   【解析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及求二次函数的最值；根据实际背景和图形确定函数模型是解答此题的关键； 设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，即可求解； 设点的坐标为，矩形的周长为，则，根据周长公式得到关于周长的解析式，利用二次函数求最值的方法即可求出矩形的最大周长，同时可确定点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第19课时二次函数与图形周长最值问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 问题背景：线段最值问题 此类问题通常有两类: 1、设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值。 2、在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型，此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对点与另一个定点的线段即为所求的最小值。 本课时问题核心：周长最值问题 此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其共所求图形周长最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段的最值间题，其方法同上面问题背景中的线段最值问题。 类型一、三角形周长最小的问题 例题1.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 类型二、四边形周长最大的问题 例题2.如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上点在点的左侧，点、在抛物线上，，当时，． 求抛物线所对应的函数表达式； 当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，抛物线经过、、三点，若抛物线的对称轴上存在点使得四边形的周长最小，则四边形周长的最小值为  ． A. B. C. D. 2.如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点点是该抛物线的对称轴上一个动点，则周长的最小值为  ． A. B. C. D. 二、填空题： 3.已知抛物线与轴交于，两点，顶点为，则的周长为          ． 4.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，          ． 5.如图，抛物线与轴交于点，点在点的左边，交轴于点，点为抛物线对称轴上一点．则的周长最小值是          ． 6.已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点 作轴于点，以为对角线作正方形则抛物线的顶点坐标是______，正方形周长的最小值是______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． 求这条抛物线的函数表达式； 在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 8.如图，为二次函数的图象，已知该图象经过点． 求该二次函数的解析式； 设该二次函数的图象与轴的交点为，顶点为，点为轴上一点，求周长的最小值． 9.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 10.如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，点是抛物线对称轴上的一个动点． 求此抛物线的解析式； 当的周长最小时，求点的坐标． 11.如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点． 求函数图象的顶点坐标及点的坐标； 二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由． 12.如图，抛物线与轴交于点，顶点为． 求抛物线对应的函数解析式． 抛物线的对称轴上是否存在一点，使的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 在轴上有一点，使得的周长取最小值，求出点的坐标． 13.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，，顶点为． 求抛物线对应的函数解析式． 连接，在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 14.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值． 15.如图，抛物线的顶点为，且与轴右侧的交点为，直线与轴负半轴交于点，点关于轴对称的点为点． 若，求抛物线的解析式 在的条件下，在抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，求点的坐标 16.如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴交于点． 求、两点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最小，求出点的坐标； 17.如图，抛物线过点，顶点坐标为，且与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式 在直线上是否存在一点，使的周长最小若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 18.如图，已知抛物线经过点，，三点，直线是抛物线的对称轴． 求抛物线的函数解析式； 设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 19.如图，已知抛物线与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标 若一次函数的图象经过，两点，试写出一次函数的解析式 试在轴上求一点，使得的周长最小． 20.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． 求抛物线的解析式； 已知抛物线上点的横坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21.已知二次函数的图像经过点，点，点， 求该二次函数的解析式； 如图，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点，轴交于点，求周长的最大值； 22.如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交抛物线于点若直线与轴交于点，点是对称轴上的动点，点是轴上的动点，当四边形的周长最小时，求出周长的最小值和点、的坐标． 23.如图，抛物线过原点和点，矩形的边在线段上点在点的左边，点，在抛物线上．设，当时，． 求抛物线的函数表达式．    当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？    24.如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点． 求点，，的坐标； 点是线段上的动点，且过点作轴，交抛物线于点，交直线于点过点作交抛物线于点过点作轴于点，可得矩形试求矩形的周长关于的函数解析式； 25.某景区平面图如图所示，、、、、为边界上的点．已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，，，，抛物线顶点到的距离以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 求边界所在抛物线的解析式； 如图，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点、在边界上，点、在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$