第22章 二次函数：特殊三角形存在性问题 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 等边三角形存在性问题 考点一 等腰三角形存在性问题 【知识点解析】 1.预备知识 距离、中点与斜率的表示：已知点 （1） （2）中点坐标 （3）所在直线的斜率；若直线，则；若直线，则. 2.等腰三角形存在性问题： （1）代数法：若为等腰三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. （2）几何法：通过圆规纸规作图，分别以已知两点做圆与垂直平分线. （3）几何性质法:等腰三角形底边上的中线、角平分线和高为同一直线.（三线合一） ①先表示出，，. ②分别先表示，，的中点为,,. ③分别表示、、、、、. ③分类讨论，令,,. 【例题分析】 例1．（2025·四川·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 例3．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）综合探究 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式及顶点坐标． (2)直线 与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q，若小于7，求m的取值范围． (3)在（2）的条件下，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2024·四川·二模）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 直角三角形存在性问题 【知识点解析】 1.直角三角形存在性问题： （1）代数法：若为直角三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. （2）几何法：构造三垂直模型，通过相似得到方程. （3）斜率法：若为直角三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. 【例题分析】 例1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 例3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 变式1．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 变式2．（24-25九年级下·四川德阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过原点，与轴交于另一点，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点，． (1)求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式； (2)求证：； (3)在对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标，并求出的面积；如果不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 考点三 等腰直角三角形存在性问题 【知识点解析】 等腰直角三角形存在性问题 方法一：先讨论直角三角形存在性问题，再检验等腰三角形问题. 方法二：利用等腰直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半进行求解. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在第一象限内，过点E作轴，交于点F，作轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点M在直线上，是否存在点E，使得是以点O为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 变式2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四 等边三角形存在性问题 【知识点解析】 1.等边三角形的判定 （1）三条边相等的三角形. （2）有一个内角为的等腰三角形. （3）三条角相等的三角形. 2.若已确定有一个内角为，则优先考虑用“有一个内角为的等腰三角形”进行求解.否则直接利用三边相等进行求解. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象顶点在原点，且点在二次函数的图象上，过点作轴的平行线交二次函数的图象于，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线（如图所示）． (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 例3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 变式1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 变式2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 变式3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，线段的垂直平分线分别交、、轴于点、、，连接、． (1)当点不在原点处时，求证：四边形为菱形； (2)设点坐标为，点在轴上运动时： ①求出与之间的函数关系式； ②在点运动的过程中，是否存在是等边三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 课后提升训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（点B在点C左侧）． (1)点A的坐标为______． (2)若点B关于x轴的对称点为，则当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值． 4．（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 5．（2025·陕西·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 等边三角形存在性问题 考点一 等腰三角形存在性问题 【知识点解析】 1.预备知识 距离、中点与斜率的表示：己知点Ax,y),B(x2,y2】 (1)AB=Vx-x)}2+(2-y月 (2)AB中点坐标（占+五，上+） 2 2 (3)AB所在直线的斜率k1B=片-上；若直线11，则k,=k,:若直线1上人，则kk,=-1. x1-x2 2.等腰三角形存在性问题： (1)代数法：若△ABC为等腰三角形 ①先表示出A(x,y),B(x2,y2)，A(x3,y3). ②分别先表示AB、AC、BC的长度. ③分类讨论，令AB=AC,AB=BC,AC=BC. (2)几何法：通过圆规纸规作图，分别以已知两点做圆与垂直平分线. (3)几何性质法：等腰三角形底边上的中线、角平分线和高为同一直线.（三线合一） ①先表示出A(x,乃)，B(x2,y2),A(x3, ②分别先表示AB,AC,BC的中点为M,N,P. ③分别表示kAB、kAC、kaC、kAP、kN、kcM· ③分类讨论，令AP⊥BC,BN⊥AC,CM⊥AB. 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 【例题分析】 例1.(2025四川模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,连 接AD,CD,AC,BC.D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作BC的平行线l, (1)求抛物线的函数解析式 (2)求△ADC面积的最大值，及此时点D的坐标. (③)若点D的横坐标为-2，则在直线I上是否存在点P,使△BCP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由. A B 【答案】(1)y=-x2-2x+3 (2)△4DC的面积取得最大值为 (3)存在，当△BCP是等腰三角形时，则点P 号号)-1或()0-刮品 55 【详解】(1)解：由题意可把点A(-3,0)和点B1,0)分别代入解析式得： 9a-3b+3=0 a=-1 a+b+3=0，解得： 1b=-2’ 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：对于y=-x2-2x+3,当x=0,y=3, C(0,3), 过点D作DH∥y轴交AC于点H, 设直线AC:y=kx+b, 2 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 -3k+b=0 b=3 k=1 解得： b=3' 直线AC:y=x+3, 设D(m,-m2-2m+3, .H(m,m+3, .DH=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m, me+m+DHx(ex 3 30, :当m=多时、△的面积取每最大值为，北时n》 3 (3)解：直线1上存在点P,使△BCP是等腰三角形，理由如下： :D的横坐标为-2， 纵坐标为：-(-2)2-2×-2)+3=3， .D(-2,3 :B(1,0),C(0,3), 设直线BC:y=kx+b, 则 k+b=0 b=3 k=-3 解得： 6=3’ 直线BC:y=-3x+3, :1∥BC, 设直线1：y=-3x+b2, 代入D(-2,3), 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 则6+b2=3,解得：b2=-3, 直线：y=-3x-3, 可设点P(n,-3n-3),则有： :点B1,0),C(0,3), ①当BP=CP时，则有： Vn-12+(-3n-3-02-n-02+(-3n-3-3)2, 解得：n=-13 101 .-3n-3=-3× 13 10 39 0, 139】 点P八10'10 ②当BP=BC时，则有：Vn-1)2+(-3n-3-02=10, 8 解得：%=亏=0， 点r)或P0-, ③当BC=CP时，则有：Vn-0+(-3n-3-3)2=V0, 解得：乃= 1 5,%=-1, 3n-33g》-3成-3-3=3--3=0， 点P9)或-101： 综上所述：当△BCP是等腰三角形时，则点P 例2.(24-25八年级下·上海阶段练习)如图，平面直角坐标系中，点A坐标(a,),点B坐标(b,b),其中实数 a、b(a<0<b)分别是方程x2-2x-3=0两根.抛物线经过A、B、0三点，线段AB交y轴于C,若P为线段OB上 一个动点（不与O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点(D在y轴右边)，连接OD、BD (1)求抛物线解析式： (2)求△B0D面积的最大值，并求出此时点D坐标； (3)当aOPC为等腰三角形时，直接写出点P坐标. 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 y E 1 【答案】(1)抛物线的表达式为y=- 2+2x: ②80D面积有放大值为名·此时点D[引》 4，-4月 【详解】(1)解：由x2-2x-3=0得x=3,x2=-1, 点A、B的坐标分别为(-1，-1)，(3，-3)， -1=m-n 设抛物线的表达式为y=mx2+x,将点A、B的坐标代入上式得 1-3=9m+3n' 1 m=- 解得 2 1 1 1 故抛物线的表达式为)=一2？+2： (2)解：设直线AB的表达式为y=kx+b, :点A、B的坐标分别为-1，-1)，(3，-3)， -k+b=-1 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得 3k+b=-3 1 k=- 解得： 2 b=- 3 2 直线6的表达式为y=分号 点c引 同理可得：直线OB的表达式为y=-x, 过点D作y轴的平行线交OB于点H, J 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 y O A E 设点0飞2+小则点1-小 △BOD面积=2XDHX, 1 -×3 x+x 22” 4 c0, 3 此时点引： 13 3 (3》解：由(2》得，直线B的表达式为y=2-2,点C0,-2, 直线OB的表达式为y=-x, :△OPC为等腰三角形， .0C=0P或0P=PC或0C=PC, 设P(x,-x, (i)当0C=0P时，2+-x2-9 解得x=3V2 =35（舍去 4 4 3W23W2 4，-49 (ii当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上， 6 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 词当oc=心时，由r(x-名 3 解得x=2,方=0（舍去)， 综上，P点坐标为 引引 4，-4 例3.(25-26九年级上湖北阶段练习)如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-1,0)和点 B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的二次函数表达式： (2)点P在抛物线对称轴上，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标； 3在抛物线上存在点Q,使得5.mc,直接写出Q的坐标一 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)P(1,-1 (3)点Q的坐标为1，-4)或(2，-3)或 3+,1+7威3-，上7 2’2 2,2 【详解】(1)解：由题意得：y=a(x+1)(x-3=ax2-2ar-3a, .-3=-3a, .a=1, y=x2-2x-3; (2)解：y=x2-2x-3=(x-12-4, 对称轴为直线x=1, 当x=0时，y=-3, 7 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 C(0,-3, 设P1,m, .PB2 PC2, (3-1)2+m2=1+(m+32, ∴.m=-1, P(1,-1; (3)解：过点Q作QF⊥x轴于点F,交BC于点E,如图所示， A B 当x=0时，y=-3, C(0,-3, Sa=号ABx0C=x4x3=6, 2 2 :B3,0),C(0,-3, :设直线BC的解析式为y=c-3, .0=3k-3, 解得k=1, ∴.直线BC的解析式为y=x-3, 设点0的坐标为m,m2-2m-3,则点E的坐标为m,m-3), ·:S。BcQ=25。ABC, .S.Ec0+S.EB0=3, 1 “2E0x0B=3,即m2-2m-3-m+3x3=6, 整理得m2-3m±2=0， 当m2-3m+2=0, 解得m=1或m=2, 当m=1时，m2-2m-3=-4, P 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 当m=2时，m2-2m-3=-3, 点Q的坐标为1，-4)或(2，-3)： 当m2-3m-2=0, 解得m=3+7或m=3-回 2 当m=3+7时，m2-2m-3-1+7 2 2 当m-3-7时，m-2m-3-1- 2 2 ·点Q的坐标为 3+71+7 2,2 3,1面 2’2 ∴点0的坐标为1，-4)或(2，-3)或 3+V171+V17 3-V171-V17 2， 2 2 2 变式1.(25-26九年级上：广东广州阶段练习)综合探究 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y三)x后得到的新抛物线经过42，-3)和80， (1)求平移后新抛物线的表达式及顶点坐标.。 (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q,若PQ小于7，求m的取值范围. (③)在(2)的条件下，是否存在以PQ为底边的等腰三角形PBQ？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由， 【答案】0y=-2x-1.2-列 (2)0<m<3 (3)1 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与线段，等腰三角形的性质，难度较低，熟练掌握以上内容是解题 关键， ()设平移后的衣达式为y=+x-1,代入42，-3到后即可得6=2，进面可得表达式和顶点坐标， （2)设Pmm-2m-小，Qmm则P0-m-m+2m+1=2m+1<7,解得m<3,故0<a<3: 2 (3》由题意F四为底边，故BQ=BP,根据等腰三角形三线合一的性质得出十=。，从而列方程即可求解. 2 【详解】1)解：设平移后的表达式为)=+x-1,代入42.-3引， 可得-3=。×4+2b-1,解得b=-2, 故平移后新抛物线的表达式为y=-2x-1=x-2-3, 0 二次函数：特殊三角形存在性问题讲义 对称轴为直线x=2,顶点坐标为2，-3)： 2解：设P-2m-小月 1 则P9=三m2-二m2+2m+1=2m+1<7, 2 解得m<3, 故0<m<3; （3)解：存在，理由如下： :P2为底边， .BO=BP, a2-2m-小emrm小0-. 1 yp+Q3,即2m2-2m-1+m 2 一=-1 2 整理可得m2-2m+1=0,解得m=1, 即m的值为1. 变式2.(2024四川二模)如图①，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x2-bx+c与y 轴交于点C(0,4),与x轴正半轴交于点D(4,0),设M是点C,D间抛物线上的一点（包括端点）.其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； (③)如图②，连接CD,抛物线上是否存在点Q,使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的 坐标，不存在，请说明理由。 B 图① 图② 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)2,理由见解析 10