第4章 一元一次方程 提分练习-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

七年级上册 《 练习19根据方程的解求参数 【方法提示】先根据一元一次方程求解，然后根据解的情况求参数的值. 1若关于x的-元-次方程x-2。-兮的解是整数，且m也是整数，则所有满足条件 6 的m的值的和为 () A.-5 B.-16 C.-24 D.18 2已知a,b为定值，若无论及为何值，关于x的方程=1-2的解总是1，则a6 3 。 3.对于最简方程ax=b(a,b为常数)，当a≠0时，方程有唯一的解x一名当a=0且-0时， 方程无解；当a=b=0时，方程有无数个解. 根据上述结论，解决下列问题： 当k、m为何值时，关于x的方程kx十m=(2k一1)x十4： (1)有唯一解. (2)有无数个解. (3)无解 《19 提分练习 练习20绝对值方程问题 【方法提示】根据绝对值的几何意义来解一元一次方程.能够对含有绝对值的代数式进行正确 化简. 1.关于x的方程|x-2|一1=1有 个整数解. 2.已知m、n为有理数，若关于x的方程|x十m一n=2.7仅有三个不相等的解，则n的值 为 3.【阅读理解】 在解形如3x一2=|x一2+4这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分 x<2和x≥2两种情况讨论： 当x<2时，原方程可化为一3(x一2)=一(x一2)十4，解得x=0,符合x<2. 当x≥2时，原方程可化为3(x一2)=(x一2)十4，解得x=4,符合x≥2. 所以原方程的解为x=0或x=4. 【解题回顾】 本题中，2为(x一2)的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x<2和x≥2两部分，所以 分x<2和x≥2两种情况讨论， 【尝试应用】 (1)仿照上面的方法解方程：|x一3|十8=3x一3. 【迁移拓展】 (2)运用分类讨论去绝对值符号的方法解方程：x一3一3x十2=x一9. 20》 七年级上册 练习21用一元一次方程解决问题—一月历问题 【方法提示】根据月历表中的每个数都是整数且上下相邻两数相差7，左右相邻两数相差1，找 准等量关系，正确列出一元一次方程 1.如图是2026年2月份的月历，小明与小亮发现月历上数字之间存在一定的数量关系，于 是，二人用如右图所示的框框出四个数a、b、c、d,并得到3个结论：①a十d=c十b;②d= a十9；③c-b=d-a一2，其中正确的结论有 () 日一二三四五六 1234567 891011121314 15161718192021 22232425262728 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图是2025年4月的月历，用如图所示的“凹”字形框在月历中任意框中五个数，设“凹”字 形框框出的五个数分别a1、a2、a、a3、a4. aa 日一二三四五六 12345 az a as 6789101i12 13141516171819 b2 b b3 20212223242526 27282930 (1)a1= (用含a的代数式表示，下一空同)，g= ia4一a2= (2)在移动“凹”字形框的过程中，小明说框出的五个数字之和可能为106，小敏说框出的五 个数字之和可能为90，他们的说法对吗？请说明理由 (3)若另一个“凹”字形框框出的五个数分别为b1、b2、b、b3、b4,且b=2a十1，则符合条件的 b的值为 3.如图，将1、2、3、…40这40个数按照下表进行排列，现用一个“Z字框”（图中阴影部分）框出 表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为x (1)请用含x的代数式表示框中的4个数的和. (2)框中的4个数的和可以是132吗？若可以，请求出最小的数 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 《21I 提分练习 练习22用一元一次方程解决问题一盈亏问题 【方法提示】找出问题中的等量关系，列出一元一次方程解决问题. 1.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几 何？”其大意是：现在有一群人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差 3钱，问合伙人数、羊价分别是多少？这个问题中的羊价为 () A.145钱 B.150钱 C.155钱 D.160钱 2.《九章算术》中记载：“城有二姝，小艺与迎迎.小艺行八十步，迎迎行六十步.今迎迎先行百 步，小艺追之，问几何步及之？”（步：古代长度单位，1步约合今1.5）大意：在相同的时间 里，小艺走80步，迎迎可走60步.现在让迎迎先走100步，小艺开始追迎迎，问：小艺需走 多少步才能够追上迎迎？ (1)在相同的时间里： ①若小艺走了160步，则迎迎走了 步； ②若小艺走了a步，则迎迎走了 步 (2)求小艺追上迎迎时所走的步数， 3.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金 几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每 头牛、每只羊分别值多少两银子？” 根据以上译文，解决下列问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子. (2)某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不 同的购买方案？请列出所有可能的方案 22》 七年级上册 《 练习23用一元一次方程解决问题一配套问题 【方法提示】产品配套问题的相等关系要抓住成套产品的两个部件之间固有的倍数关系， 1.某企业有A、B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工αt原材料，加工 时间为(4a+1)h;B生产线共加工bt原材料，加工时间为(2b十3)h.第一天，该企业将5t 原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则 分配到A生产线的原材料与分配到B生产线的原材料的质量的比为 .第二天开 工前，该企业按第一天的分配结果分配了5t原材料后，又给A生产线分配了mt原材料， 给B生产线分配了t原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材 料，且加工时间相同，则兴的值为 2.小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒 身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒.为了充分利用材料，要 求做成的盒身和盒盖正好配套， (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答) (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题(2)，小敏和小强分别设计了自己的解决方案. 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖： 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做 盒身，一部分做盒盖 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行， 请说明理由. 3.某工厂接到20天内生产出1200台GH型电子产品的总任务.已知每台GH型产品是由 4个G型装置和3个H型装置配套组成的.该工厂现有80名工人，每名工人每天能加工 6个G型装置或3个H型装置，现将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种 装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部组成GH型产品 (1)按照这样的生产方式，工厂每天能生产出多少套GH型电子产品？ (2)为加快生产，工厂又补充了40名新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且 每人每天只能加工4个G型装置，则补充新工人后每天能生产出多少套产品？补充新 工人后20天内能完成总任务吗？ 《23 提分练习 练习24用一元一次方程解决问题一行程问题 【方法提示】对于火车过桥问题，一般根据速度=路程÷时间，结合火车的速度不变，列出一元 一次方程从而求解 1.已知某铁路桥长1500m.现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥 共用90s,整列火车完全在桥上的时间是60s.则这列火车长为 () A.100m B.200m C.300m D.400m 2.在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182m,每秒行驶18m,另一列火车每秒 行驶17m,已知两列火车错车而过用了10s,另一列火车长 () A.164m B.168m C.172m D.176m 3.【阅读】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.通过研究数 轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、B分别表示有理数α、b,则A、B两点之间 的距离AB=a:线段AB的中点P表示的数为士乡 【探究】如图，已知数轴上点A、B分别表示数一20、10，点M从点A出发，以3个单位长 度/s的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以2个单位长度/s的速度向点A运动.当 点M、N第一次相遇时，两点停止运动，设运动时间为ts,线段MN的中点为P. (1)线段AB的中点表示的数为 (2)求点P表示的数（用含t的式子表示） (3)若点M、N第一次相遇后，继续以原来的速度和方向运动，点M到达点B后停留7s,随 后立即以原来的速度返回，点N到达点A后立即以原来的速度返回，两点再次相遇时， 停止运动.在整个运动过程中，当PA=PB时，求t的值。 A B -20 0 10 24》 七年级上册 练习25用一元一次方程解决问题一环形跑道问题 【方法提示】行程问题有相遇问题和追及问题.相遇问题是相向而行，相遇时的总路程=两运动 物体的路程和.追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追， 1.某人以6km/h的速度在400m的环形跑道上行走，他从A处出发，按顺时针方向走了 1min,再按逆时针方向走了3min,然后又按顺时针方向走5min,这时他想回到出发点 A处，最少需要的时间为 () A.3 min B.5 min C.2 min D.1 min 2.小明、小杰两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长420m,小杰每秒钟跑6m,小 明的速度是小杰的速度的1号倍，如果小明、小杰在跑道上同一地点同时反向出发.间： (1)经过多长时间两人首次相遇？ (2)第二次相遇时与出发点相距多远？ (3)若他们继续跑下去，他们有可能在出发点相遇吗？若有可能，说出一种可能的情况；若 不可能，请说明理由， 3.已知甲、乙两人在一个200的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条 直道和两条弯道的长度相等.甲平均每秒跑4m,乙平均每秒跑6，若甲、乙两人分别从 A、C两处同时相向出发（如图），则： (1)多长时间后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置. (2)首次相遇后，又经过多长时间他们再次相遇？ (3)他们第100次相遇时，在哪一条段跑道上？ D C A B 《25 提分练习 练习26用一元一次方程解决问题—利润问题 【方法提示】湘关公式：利润率-漂×100%，商品售价=商品进价×(1+利润率).利涧=售 价一进价，进价×(1十利润率)=标价×折扣. 1.某超市推出如下优惠方案：(1)购物款不超过200元，不享受优惠；(2)购物款超过200元但 不超过600元，一律享受9折优惠；(3)购物款超过600元，一律享受8折优惠. 小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元.如果小明的妈妈在该超市一次性购买这两次 所买的商品，那么她应付款 () A.522.80元 B.560.40元 C.510.40元 D.472.80元 2.春节期间，某商场为感谢新老顾客，决定对某产品实行优惠政策：购买该产品，另外赠送礼 品一份.经过与该产品的供应商协调，供应商同意将该产品供货价格降低5%，同时免费为 顾客提供礼品；而该产品的商场零售价保持不变.这样一来，该产品的单位利润率由原来的 x%提高到(x十6)%，则x的值是 3.某商店对A、B两种商品在进价的基础上提高50%作为标价出售.春节期间，该商店对A、B 两种商品开展促销活动，活动方案如下： 商品 A B 标价/（元/件） 150 225 春节期间每件商品出售的价格 按标价降价10% 按标价降价a% (1)商品B降价后的售价为 元.（用含a的代数式表示） (2)不考虑其他成本，在春节期间商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润 1000元，试求a的值 26》 七年级上册 练习27用一元一次方程解决问题一动点问题 【方法提示】先用字母表示有关线段，然后根据数量关系列出一元一次方程. 1.如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为一10，OB=2OA,点M以1个单位长度/s 的速度从点A向右运动，同时，点N以3个单位长度/s的速度从点B向左运动.当点M、N 到原点O的距离相等时，它们运动的时间是 () AO B -100 A.5s B.5s或4s C5s或9s D9、 2.点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+2十(b一10)2=0. (1)求线段AB的长 (2)线段CD在点A左侧沿数轴向右匀速运动，经过线段AB需要10s,经过点O的时间是 2s,求线段CD的长 (3)点E在数轴上对应的数为6，点F与点B重合.线段EF以2个单位长度/s的速度向左 运动，同时点P从点A左侧某处以3个单位长度/s的速度向右运动，G是线段BE的中 点，点P与点E相遇ts后与点G相遇.若在整个运动过程中，PE=FG恒成立，求 与t的值. 3.如图，直线l上有A、B两点，AB=18cm,O是线段AB上的一点，OA=2OB. (1)OA= cm,OB= cm. (2)若C是直线AB上一点，且满足AC=CO+CB,求CO的长， (3)若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为3c/s,点Q的速度为 1cm/s.设运动时间为ts,当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动.问：当t为何值 时，2OP-OQ=4? 《27边长分别为xy,则标注3的正方形边长为x+y标注4的正y)=55-2(x十)=5一2×号=55-9=46， 9 方形边长为x十y十y=x十2y;标注5的正方形边长为x十 2y十y=x+3y;标注6的正方形边长为x+3y十y-x=4y;标 注7的正方形边长为4y一x;标注10的正方形边长为4y x一x一(x十y)=3y一3x;标注8的正方形边长为4y一x十 3y-3x=7y-4x;标注9的正方形边长为x十y十x十2y (3y一3x)=5x.(2)100解析：当x=2时，标注9的正方形 练习19根据方程的解求参数 边长为5x=5×2=10,所以标注9的正方形面积为100. (3)因为标注6、7、8的正方形边长之和等于标注5、4、9的正 1C解析：解方程x-2。=兮，得x=4m根 6 方形边长之和，所以4y+4y一x+7y-4x=x+3y+x+2y十 据题意可知，千为整数，且m是整数，所以当m的值为0、 5x,整理，得y=1.2x,所以完美长方形的周长为2[(x+3y十 x+2y+5x)+(x+3y+4y)]=2(8x+12y)=44.8x.因为x、 -2、-3、-5、-6、一8时，n为整数，所以所有满足条件的 y均为正整数，所以当x=5,y=6时，完美长方形的周长最：m的值的和为0十（一2）十（一3）十（一5）十（一6）十（一8）= 小，即44.8x=44.8×5=224,所以这个完美长方形的最小周一24. 长为224. 2.0解析：把x=1代入方程寸=1-2+，得 3 6 练习18图形中的整式加减 a-1-2+k,整理，得(2+b)k=4-2a.因为无论为为何 6 1.A解析：因为四边形ABCD是长方形，所以AB= 3 CD,AD=BC.由题意知，C=BC十CD一b十AD-a+a一b+ 值，原方程的解总是1，所以2十b=0,4-2a=0,解得b=一2， a=2,所以a十b=2十(-2)=0. a+AB-a=2AD+2AB-26,C2=BC-6+CD+AD-a+ 3.因为kx+m=(2k一1)x+4,所以(1一k)x=4一m. a十a-b+AB-a=2AD+2AB-2b,所以C=C2,即C1- (1)因为方程有唯一解，所以1一≠0，所以k≠1，所以当k≠1 C2=0. 时，方程有唯一解.(2)因为方程有无数个解，所以1一=0， 2.40解析：设长方形②和③的宽为x、长为y,则长方 4一m=0,所以k=1,m=4,所以当k=1且m=4时，方程有 形①的周长为2x+2(10-y),长方形④的周长为2y+2(10 无数个解.(3)因为方程无解，所以1一=0,4一m≠0，所以 x),所以①与④两个小长方形的周长之和为2x十2(10一y)十 k=1,m≠4，所以当k=1且m≠4时，方程无解. 2y+2(10-x)=2.x+20-2y+2y+20-2x=40. 练习20绝对值方程问题 3.设1号正方形的边长为x,2号正方形的边长为y,则 3号正方形的边长为x十y,4号正方形的边长为2x十y,5号 1.3解析：根据题意，得|x一21一1=1或x一21-1= 长方形的长为3x十y、宽为y一x.由题图1中长方形的周长为 一1.若|x一2|-1=1，则|x-2|=2,即x-2=2或x-2= -2,解得x=4或x=0;若|x-21一1=一1，则|x-2=0,即 36,得叶3x十叶y叶x+y-,所以x+y=号将题图2标 x一2=0，解得x=2.综上所述，原方程有3个整数解. 上字母如图所示，因为图中大长方形的周长为55，所以AB十 2.2.7解析：因为|x十m一n=2.7,所以|x十m 2十）+2x十y+y-x=2,所以AB=空-3x-4由图27+n或1x+m=-27+元当z+m=2.7+n时，x 2.7+n-m或x=-2.7-n-m;当|x十m=-2.7+n时， 可知，阴影部分的周长等于四边形ABCD的周长，所以2(AB+ x=-2.7+n一m或x=2.7-n-m.因为方程川x十m-n= AD)=2(罗-3x一4y+十y叶2z+y十y)=2(罗-x27仅有三个不相等的解，所以-2.7十n=0或2.7+=0，解 46》 得n=2.7或n=-2.7.当n=2.7时，原方程为|x十m一2.7=4x十24=132，解得x=27,观察表格中的数据知，x=27符合 2.7,所以|x十m一2.7=2.7或|x十m一2.7=-2.7，解得题意.所以框中的4个数的和可以是132，最小的数是27. x1=5.4一m,x2=一5.4一m,x3=一m,符合题意；当n= 练习22用一元一次方程解决问题一 -2.7时，原方程为|川x十m十2.7|=2.7，解得x=-m,仅有 盈亏问题 1个解，不符合题意.综上所述，n的值为2.7. 1.B解析：设有x人合伙买羊，根据题意，得5x十45= 3.(1)分两种情况讨论：当x<3时，原方程可化为3一 7x十3，解得x=21,所以5x十45=5×21+45=150，所以这个 x+8=3(3-x),解得x=-1,符合x<3;当x≥3时，原方程 问题中的羊价为150钱. 可化为x一3+8=3(x-3),解得x=7,符合x≥3.综上所述， 2.(1)①120②子a(2)设小艺追上迎迎时所走的步 原方程的解为x=一1或x=7.(2)分三种情况讨论：当x< 一2时，原方程可化为3一x十3(x+2)=x-9,解得x=一18， 数为云根据题意，得600-斋，解得x=40.答：小艺追上 60 符合x一2；当一2≤x≤3时，原方程可化为3一x一3(x十2)=：迎迎时所走的步数是400步 x一9，解得x=号，符合-2<<3；当x>3时，原方程可化为 3.(1)设每头牛值x两银子，则每只羊值62严两银子。 x一3-3(x十2)=x一9，解得x=0,不符合x>3,舍去.综上 根据题意，得5x+2×162延-19，解得x=3,所以162巫- 5 5 所述，原方程的解为x=一18或。一号。 2.答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.(2)设某人买 练习21用一元一次方程解决问题- 了m头牛，则买了17,3m只羊.因为m、17,3m均为正整数， 2 2 月历问题 所以当m=1时，17230=7，当m=3时，17230=4：当m= 2 1.D解析：根据题意，得a+1=b,c+1=d,b+7=c, 所以a十d=(6-1)+(c+1D=6十6，故①正确；所以dc+5时，17230-1，所以有3种不同的购买方案方案1购买 2 1=(b+7)+1=[(a十1)+7]十1=a+9,故②正确；所以c一 1头牛，7只羊；方案2：购买3头牛，4只羊；方案3：购买5头 b=(d-1)-(a十l)=d-a-2,故③正确.综上所述，正确的 牛，1只羊 结论有3个 练习23用一元一次方程解决问题一 2.(1)a-8a十1-5解析：a1=a-8,a2=a-1, 配套问题 a3=a+1,a4=a-6,所以a4-a2=a-6-(a-1)=-5. 1.2:3号解析：设分配到A生产线的原材料有xt, (2)小明的说法对，小敏的说法不对.理由如下：由(a一8)十 则分配到B生产线的原材料有(5一x)t.根据题意，得4x十1= (a-1)+a十(a+1)+(a-6)=5a-14=106,解得a=24,符 2(5一x)十3，解得x=2,所以分配到B生产线的原材料有5 合题意；由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14= 2=3(t),所以分配到A生产线的原材料与分配到B生产线的 90,解得a=20.8(不符合题意，舍去).以小明的说法对，小 原材料的质量之比为2：3；由题意得，第二天开工时，给A生 敏的说法不对.(3)21、23、29解析：a的值可以为9、10、 产线分配了(2十m)t原材料，给B生产线分配了(3十n)t原材 11、14、15、16、17、18、21、22、23、24、25、28、29,所以2a+1的 料，因为加工时间相同，所以4(2十m)十1=2(3十)十3，整理 值可以为19、21、23、29、31、33、35、37、43、45、47、49、51、57、 59.因为6的值可以为9、10,1、14、15、16、17、18,21,2,23、得m=7,所以-号 n21 24、25、28、29,且b=2a+1,所以b的值可以为21、23、29. 2.(1)设x张白板纸做盒身，则有(14一x)张做盒盖，根 3.(1)设框中最小的数为x,则框中的4个数的和为x+:据题意，得2x×2=3(14一x),解得x=6,所以14一x=14 x十1+x十11十x十12=4x十24.(2)可以.根据题意，得6=8,2x=2×6=12.答：最多可做12个包装盒.(2)小敏的 《47 方案不行，设x张做盒身，根据题意，得2xX2=3(27-x),解P表示的数为10-2+10=10一，所以PA=(10-)- 2 得x=头，不符合题意；小强的方案可行，设余下的纸板y张做 (-20)=30-t,PB=10-(10-)=t,因为PA=PB,所以 盒身，根据题意，得2(2y+1)=3(26一y)+1,解得y=11,所以 2y十1=11×2+1=22+1=23，所以最多可做23个包装盒. 30-={,解得=9；③当15<≤17时，点M在点B处， 3.(1)设安排x名工人生产G型装置，则安排(80-x)名点N从点A向点B运动，如图3，因为点N表示的数为 工人生产H型装置.根据题意，得兴=3(80，，解得= 一20+2(t-15)=2t一50，点M表示的数为10，所以点P表示 3 的数为24-50+10=t-20,所以PA=(4-20)-（-20)=6, 32,所以=6X32=48.答：按照这样的生产方式，工厂每天 2 4 4 PB=10--20)=30-6,因为PA=号PB,所以=(30-0， 能生产出48套GH型电子产品.(2)设安排y名工人生产 H型装置，则安排(80-)名工人及40名新工人生产G型装解得一9，④当17<<号时，点M从点B向点A运动，点 5 置.根据题意，得6(80-十4X40-义，解得y=64,所以号= 4 N从点A向点B运动，如图4，因为点M表示的数为10 3(t-10-7)=一3t+61,点N表示的数为2t-50,所以点 y=64.所以补充新工人后每天能生产出64套产品.因为64× 20=1280>1200,所以补充新工人后20天内能完成总任务. P表示的数为一3十61(21一50)=一山，若两点相遇，则 2 2 练习24用一元一次方程解决问题一 有-+61=2-50，解得=号，所以PA=12-（一20)= 2 行程问题 1.C解析：设这列火车长为xm根据题意，得+1500 号，PB=10-2=岁，因为PA=PB,所以2 2 2 90 1500-工，解得x=300,所以这列火车长300m 至×艺，解得：=号综上所述，4的值为9或号或9或号。 2 60 P. B 2.B解析：设另一列火车的长为xm.根据题意，得 -20 0 10 (17+18)×10=182+x,解得x=168,即另一列火车长为168m 图1 3.(1)-5解析：一20,10=-5.(2)点M表示的数 4N P B(M) 2 -20 0 10 图2 为-20十3t,点N表示的数为10-21，则点P表示的数为 -20+3,+10-20=-5+2(3)点M从点A运动到 4 N B(M) 2 -20 0 10 图3 点B需要的时间为0=（？一20)=10(S),点N从点B运动到 3 P M B -20 0 10 点A需要的时间为10-)一20)=15(s).①当0≤≤10时，如 2 图4 练习25用一元一次方程解决问题一 图1，因为点P表示的数为-5十号，所以PA=(-5+) 环形跑道问题 (-20=15+2,PB=10-（-5+号)=15-，因为 1.D解析：6km/h=100m/min,设A为原点，按顺时 针方向走记为正，按逆时针方向走记为负，则他此时离出发点 PA=PB,所以15+2=(15-2)，解得=9：@当 的距离为[1+(-3)十5]×100=300(m).因为环形跑道长为 10<≤15时，点N继续向点A运动，点M在点B处，如图2,400m,所以回到原点的最短距离为400-300=100(m),所以 因为点N表示的数为10-2t,点M表示的数为10，所以点：需要的时间为100÷100=1(min). 48 2.(1)设xs后两人首次相遇，则有6z十6× 号x=420,的进价为1-5%)a元.根据题意，得a(1十x6)=1- 5%)a[1+(x+6)%],解得x=14. 解得x=30.答：经过30s两人首次相遇.(2)由(1)知，经过 3.(1)225(1-a%)(2)设A种商品的进价为m元，则 30s两人首次相遇，所以经过60s,两人第二次相遇，这时小 m(1十50%)=150，解得m=100;设B种商品的进价为n元，则 明-共跑了60×6×专=480(m),480-420=60(m).答：第 n(1+50%)=225,解得n=150.根据题意，得[150×(1-10%)- 二次相遇时与出发点相距60m.(3)有可能在出发点相遇. 100]×20+[225(1-a%)-150]×10=1000,解得a=20, 如当小杰跑6圈，小明跑8圈时他们会在出发点相遇，或在所以α的值是20. 420s时会在出发点相遇，或第14次相遇在出发点， 练习27用一元一次方程解决问题一 3.(1)设xs后两人首次相遇.根据题意，得4x十6x 动点问题 100,解得x=10,所以甲跑的路程为4×10=40(m),200÷4 1.C解析：因为点A表示的数为一10，所以OA=10. 40=10(m).答：10s后两人首次相遇，此时他们在直道AB 因为OB=2OA,所以OB=2OA=20,所以点B表示的数为 上，且到点B的距离为10m,(2)设又经过ys两人再次相20.设当点M,N到原点O的距离相等时，它们的运动时间为 遇.根据题意，得4y十6y=200,解得y=20.答：首次相遇后， xs,则点M表示的数为x一10，点N表示的数为20一3x.根 又经过20s两人再次相遇.(3)第1次相遇，总共用时10s; 据题意，得1x-101=20-3x,解得x=5或x=5,所以当 第2次相遇，总用时10十20×1，即30s;第3次相遇，总用时 点M、N到原点O的距离相等时，它们的运动时间为5s或 10+20×2,即50s;第100次相遇，总用时10+20×99，即 15 1990s,此时甲跑的圈数为1990×4÷200=39.8,200× 28 0.8=160(m),此时他们在弯道AD上. 2.(1)因为|a+2+(b一10)2=0，所以a+2=0,b一10= 练习26用一元一次方程解决问题— 0,所以a=-2,b=10,所以AB=10-（-2)=12.(2)设 利润问题 CD的长为1，则根据题意，得待=台，解得1=3所以线段 10 1.C解析：(1)第一次购物显然没有超过200元，即小 CD的长为3.(3)设点P开始的位置表示的数是m,运动 明的妈妈第一次购物的实质价值只能是168元.(2)第二次购 xs后点P与点E相遇，则相遇时点P表示的数是m十3x, 物付款423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不 同（折扣率不同）：①小明的妈妈第二次购物的实质价值超过 点E表示的数是6-2z,所以m+3x=6-2江，解得x=6写 200元但不足600元，这时候是按照9折付款的.设小明的妈：根据题意可知，运动(x十t)s后点P与点G相遇，此时点 妈第二次购物的实质价值为x元，则有xX0.9=423,解得 P表示的数是m十3(x十t),点E表示的数为6一2(x十t),所以 x一470：②小明的妈妈第二次购物的实质价值超过600元，这点G表示的数是10+6一，2(+D=8-x一6，所以m十3(z十 2 时候是按照8折付款的.设小明的妈妈第二次购物的实质价 值为x元，则有x×0.8=423,解得x=528.75(不符合题意， 0=8-x-,解得x=2-t-子m由题意，得6，”=2-1 5 舍去)，故小明的妈妈第二次购物的实质价值是470元.综上」 m因为在整个运动过程中，PE=kFG恒成立，设运动时间 所述，小明的妈妈两次购物的实质价值一共为168十470= 是ys,则点P表示的数是m十3y,点E表示的数是6一2y, 638(元)，超过了600元，故小明的妈妈在该超市一次性购买 这两次所买的商品可以按照8折付款，应付款638×0.8= 点F表示的数是10-2y,点G表示的数是10+9-2y=8-, 2 510.40(元) 所以6-2y(m+3)=k(10-2y-8+y)恒成立，即(k-5)y= 2.14解析：设原来该产品的进价为a元，则现在该产品：2k十一6恒成立（与y的取值无关），所以k一5=0，即k=5,此 《49 时2X5+m6=0,解得m=-4,把m=-4代入5写m-2-(8X2-)+(8X3-)+(8X4-4)++(8×10-4)= 8×(1+2+3+4+…+100)-100×4=40000,所以前100个 t一子m,得5=写型=2-t-子×(-40，解得=1.答：k的 5 几何体中只有2个面涂色的小正方体的个数的和为40000. 值是5，t的值是1. 练习29截几何体 3.(1)126解析：因为AB=18cm,OA=2OB,所以 1.正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面 OA+OB=3OB=AB=18cm,所以OB=18÷3=6(cm),所以 相交得六边形，最少与三个面相交得三角形.因此用一个平面 OA=2OB=2×6=12(cm).(2)设CO的长是xcm.根据题 去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形、长方形或正 意可知：①当点C在线段AO上时，12-x=x十6十x,解得 方形)、五边形、六边形，共4种情况，如图所示 x=2;②当点C在线段OB上时，12十x=x十6一x,解得x= -6(舍去)；③当点C在线段AB的延长线上时，12+x=x十 x-6,解得x=18.综上所述，C0的长为2cm或18cm. (3)当运动时间为ts时，点P表示的数为3t一12，点Q表示的 三角形 四边形 五边形 六边形 数为t+6.当3t12=t+6时，t=9,所以0≤t≤9.因为2OP 2.(1)分割方法有：①横割3次；②横割1次，竖割1次； 0Q=4,所以23t一12|-|t+6|=4.当0≤≤t4时，有2(12 ③竖割3次等.(2)一个圆柱体中用一个平面不能截出三角 3t)-(6十t)=4,解得t=2;当4≤t≤9时，有2(3t-12) 形；不能截出一个半圆；圆柱的高小于或等于底面圆的直径 (6十t)=4,解得t=6.8.综上所述，当t的值为2或6.8时， 时，能截出一个正方形 20P-OQ=4. 3.通过观察可以发现，在圆柱内部的圆由上至下由点逐 练习28涂色问题 渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点；从左往右由点逐渐变 1.D解析：设大正方体中含有n3个小正方体.根据分 成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点.所以这个几何体的内部构 析可知，每个顶点处的小正方体三面涂色，共8个，有一条边 造为：圆柱中间有一球状空洞， 在棱上的小正方体两面涂色，每个面的中间的只有一面涂色， 练习30正方体展开图 故在所有小正方体中，三面被涂成红色的有8个，即a=8,两 面被涂成红色的有12(n一2)个，即b=12(n一2)，一面被涂成 1.D解析：因为正方体的展开图原正方体“4”的相对面 红色的有6(n一2)2个，即c=6(n-2),所以在a、b、c三个数 上的数字为2，所以原正方体“4”的相邻面上的数字分别为1、 中，哪一个数最大与堆成大正方体的小正方体的个数有关 3、5、6,所以原正方体“4”的相邻面上的数字之和是1+3+5+ 2.8解析：由(n-2)3=216,解得n=8. 6=15: 3.(1)420解析：观察图形可知，第1个几何体中底层 2.如图所示（答案不唯一）. 的4个小正方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个 2 面涂色的小正方体共有5×4=20（个）.(2)观察图形可知， -10 10 > 第1个几何体中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；第 -2 2个几何体中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；第3个 几何体中，只有2个面涂色的小立方体共有20个…因此第 3.(1)3a解析：由题图可得，无盖的长方体盒子的高为 n个几何体中只有2个面涂色的小正方体的个数是4(2n一 a,底面的宽为3a-a=2a,所以底面的长为5a一2a=3a. 1)=8一4，则第100个几何体中只有2个面涂色的小正方体(2)因为①、②、③、④四个面上分别标有整式2(x十1)、x、 的个数是8×100一4=796.(3)根据题意，得(8×1一4)十一2、4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，所以2(x十 50》