直线和圆的方程易错题练习四-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线和圆的方程易错题练习四 班级 学号 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l的斜率为,在x轴上的截距为,则直线l的方程为 (　B　) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x+ D.y=-x+2 【解析】 ∵直线l在x轴上的截距为,∴点在直线l上, 又直线l的斜率为,∴根据点斜式方程得y=,即y=x-2. 2．两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是 (　A　) A. B. C. D. 【解析】 两条直线化为截距式分别为+=1,+=1,假定l1的位置,判断a,b的正负,确定l2的位置,知A符合. 3．已知直线l:mx+y+1-2m=0(m∈R)和圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,则“m=0”是“圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1”的 (　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 圆C:x2+y2-2x+4y+1=0的方程可化为+(y+2)2=4,其圆心坐标为,半径r=2. 当m=0时,直线l:y=-1,圆心到直线的距离d=1=r-1,此时圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1,故充分性成立; 当圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1时,圆心到直线的距离d==r-1=1,解得m=0,故必要性成立. 所以“m=0”是“圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1”的充要条件. 4．点(0,1)到直线y=k(x+1)的最大距离为 (　C　) A.0 B.1 C. D. 【解析】 由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,最大距离d=|AP|==. 5．已知圆C过点,,,过点且斜率为k的直线l与圆C交于P,Q两点,若≥2,则k的最小值为 (　C　) A.- B.-3 C.- D.- 【解析】 设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,易知圆心在点(5,2),(1,2)所连线段的垂直平分线上,则-=3,解得D=-6, 所以x2+y2-6x+Ey+F=0. 将,代入可得,解得 所以圆C的方程x2+y2-6x-4y+9=0,则圆心C的坐标为,半径为2. 设直线l:y=kx+3,则圆心到直线y=kx+3的距离d==, 又2≥2,则d2≤1,即≤1,整理得8k2+6k≤0,解得-≤k≤0,所以k的最小值为-. 6．著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)间的距离,结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为 (　B　) A.5 B. C. D.2+ 【解析】 ∵f(x)=+=+, 则f(x)可看作x轴上一点P(x,0)到点A(-5,-2)与点B(-3,3)的距离之和,即+, 则可知当A,P,B三点共线时,+取得最小值, 即===. 7．一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 (　D　) A.-或 B.-或 C.-或 D.-或- 【解析】 点(-2,-3)关于y轴对称的点的坐标为(2,-3).由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆相切,圆心坐标为(-3,2),所以=1,整理得12k2+25k+12=0, 解得k=-或k=-. 8．[2025·广州二中检测] 已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为 (　A　) A.5 B.10 C.15 D.20 【解析】 如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则|OP|2+|OQ|2=|OM|2=3, ∴|AC|2+|BD|2=4(4-|OP|2)+4(4-|OQ|2)=20.又|AC|2+|BD|2≥2|AC|·|BD|,则|AC|·|BD|≤10, ∴=|AC|·|BD|≤×10=5,当且仅当|AC|=|BD|=时,等号成立,∴四边形ABCD面积的最大值为5. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能 (　CD　) A.为 B.为a C.为- D.不存在 【解析】 当a≠0时,由l1⊥l2,得k1·k2=a·k2=-1,所以k2=-.当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y轴平行或重合,k2不存在. 10．已知直线l过点(0,4),且与直线x-y+4=0及x轴围成等腰三角形,则直线l的方程可能为 (　AD　) A.x+y-4=0 B.x-y+4=0 C.x-y+3=0 D.x-3y+12=0 【解析】 设为点A,易知点A在直线x-y+4=0上,直线x-y+4=0与x轴的交点B. 当直线l的斜率不存在时,因为直线l过点,所以直线l的方程为x=0,与x轴的交点为O,此时=4,=,=,所以△AOB不是等腰三角形,故直线l的斜率存在. 设B关于y轴的对称点为C,则C, 当直线l过A,C两点时,=,△ABC是等腰三角形, 同时直线AB的斜率为,倾斜角为,所以△ABC是等边三角形, 所以=,此时直线l的方程为+=1,化简得x+y-4=0. 设直线l与x轴相交于点D,如图所示. 若=,则∠ADB=,所以直线AD,即直线l的斜率为, 此时方程为y=x+4,整理得x-3y+12=0. 所以直线l的方程可能为x+y-4=0或x-3y+12=0.故选AD. 11．已知圆M:+=1,圆N:+=1,则下列是圆M和圆N公切线的直线方程的为 (　ACD　) A.y=0 B.3x-4y=0 C.x-2y+=0 D.x-2y-=0 【解析】 圆M的圆心为M(2,1),半径r1=1.圆N的圆心为N(-2,-1),半径r2=1.圆心距d=2>2,两圆外离,故有四条公切线.又两圆关于原点O对称,则有两条切线过原点O,设切线方程为y=kx,则圆心到直线的距离为=1,解得k=0或k=,对应方程分别为y=0,4x-3y=0.另两条切线与直线MN平行,而lMN:y=x,设切线方程为y=x+b,则=1,解得b=±,切线方程为x-2y+=0,x-2y-=0.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知二次函数y=x2+4x-5的图象与两坐标轴交于A,B,C三点,则△ABC的外接圆的半径为 　.  【解析】 在y=x2+4x-5中,令y=0得x2+4x-5=0,得x=-5或x=1;令x=0,得y=-5. 不妨设A(-5,0),B(1,0),C(0,-5), 根据圆的性质可设圆心M(-2,b),由|MA|=|MC|得=,解得b=-2,所以M(-2,-2),所以△ABC的外接圆的半径为|MA|==. 13．如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为　x+4y-14=0　.  【解析】 过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略). ∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA, ∴AM=OC=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3, ∴点H的坐标为(2,3),同理得到F(-2,4), ∴直线FH的方程为=,化为一般式方程为x+4y-14=0. 14．如图,公路MN和PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=160 m,假设拖拉机行驶时,周 围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为　24　s.  【解析】 过A作AB⊥MN,交MN于B,如图. 由于∠QPN=30°,=160 m,所以=80 m. 以A为圆心,半径为100 m作圆A,交MN于C,D两点, 所以=2=2×=2×60=120 (m). 又拖拉机的速度为18 km/h=5 m/s,所以学校受影响的时间为=24 (s). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时, (1)直线l与x轴平行? (2)直线l与y轴平行? (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1). (4)直线的倾斜角为45°? (5)直线的倾斜角为锐角? 解: (1)若直线l与x轴平行,则直线l的斜率k==0,∴m=1. (2)若直线l与y轴平行,则直线l的斜率不存在, ∴m=-1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1),故k=,即=,解得m=. (4)由题意可知,直线l的斜率k=1,即=1,解得m=0. (5)由题意可知,直线l的斜率k>0,即>0,解得-1<m<1. 16．求下列各圆的标准方程: (1)过点A(1,-2),B(-1,4)且周长最小. (2)圆心在直线5x-3y=8上且与坐标轴相切. 解:(1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,即圆心为线段AB的中点(0,1),半径r=|AB|=.故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵圆心在直线5x-3y=8上,∴5a-3b=8.① ∵圆与坐标轴相切,∴|a|=|b|=r.② 由①②,得或 ∴所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1. 17．已知过原点O的直线l:y=4x和点P(6,4),动点Q(m,n)(m>0)在直线l上,且直线QP与x轴的正半轴交于点R. (1)若△QOR为直角三角形,求点Q的坐标. (2)当△QOR的面积取得最小值时,求点Q的坐标. 解:∵点Q在直线y=4x上,∴n=4m. (1)①当∠QRO=90°时,直线QR的方程为x=6, ∴点Q的坐标为(6,24); ②当∠RQO=90°时,由kl·kQR=-1,得kQR=-.由kQR=kQP===-,解得m=,∴点Q的坐标为.综上,点Q的坐标为(6,24)或. (2)由题意知n>4,∴m>1,∴kQR=kQP=, ∴直线QR的方程为y-4=(x-6),令y=0,得xR=, ∴S△QOR=xRyQ=··4m=. ∵=+=m+1+=+4≥4(当且仅当m=2时取等号),∴当S△QOR取得最小值时,m=2,n=8,∴点Q的坐标为(2,8). 18．已知直线l过定点A(2,-1),圆C:x2+y2-8x-6y+21=0. (1)若l与圆C相切,求l的方程. (2)若l与圆C交于M,N两点,求△CMN面积的最大值,并求此时直线l的方程. 解:(1)由题得圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=4,则圆心坐标为(4,3),半径r=2. ①当直线l的斜率不存在时,直线x=2,符合题意. ②当直线l的斜率存在时,设直线l:y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. 因为直线l与圆C相切, 所以圆心(4,3)到直线l的距离等于半径2, 即=2,解得k=, 所以直线l的方程为x-y--1=0, 即3x-4y-10=0. 综上,l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)由(1)知,若直线l与圆C交于两点,则斜率必定存在,设直线l的方程为kx-y-2k-1=0,k>, 所以圆心到直线l的距离d=, 所以△CMN的面积S=·d·2==, 所以当d=时,S取得最大值2. 由d==,解得k=1或k=7, 所以直线l的方程为x-y-3=0或7x-y-15=0. 19．已知圆C:+=1,点A,O为原点. (1)若a=1,求圆C过点A的切线方程. (2)若直线l:x-y+1=0与圆C交于M,N两点,且·=,求a的值. (3)若圆C上存在点P,满足=2,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,圆C:+=1的圆心C(1,1),半径r=1, 而点C(1,1)到直线x=3的距离为2,因此圆C过点A的切线斜率存在,设方程为y=k(x-3), 则=1,解得k=0或k=-, 所以所求切线方程为y=0或4x+3y-12=0. (2)由消去y整理得x2-x+a2-a=0, Δ=1-4a2+4a>0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=1,x1x2=a2-a. 由·=,得x1x2+y1y2=, 则x1x2+(x1+1)(x2+1)=, 整理得2x1x2+x1+x2+1-=0,则2(a2-a)+=0,即=0,解得a=,满足Δ>0, 所以a=. (3)设点P(x,y),由=2,得=2, 整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4, 因此点P的轨迹是以点D(4,0)为圆心,2为半径的圆. 依题意,圆C与圆D有公共点, 则1≤|CD|≤3,则1≤≤3, 整理得≤(a-3)2+1≤,解得3-≤a≤3+, 所以a的取值范围是3-≤a≤3+. 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线和圆的方程易错题练习四 班级 学号 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l的斜率为,在x轴上的截距为,则直线l的方程为 ( ) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x+ D.y=-x+2 2．两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是 ( ) A. . B. C.. D. 3．已知直线l:mx+y+1-2m=0(m∈R)和圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,则“m=0”是“圆C上恰有三个不同的点到直线l的距离为1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．点(0,1)到直线y=k(x+1)的最大距离为 ( ) A.0 B.1 C. . 5．已知圆C过点,,,过点且斜率为k的直线l与圆C交于P,Q两点,若≥2,则k的最小值为 ( ) A.- B.-3 C.- D.- 6．著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)间的距离,结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为 ( ) A.5 B. C. D.2+ 7．一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A.-或 B.-或 C.-或 D.-或- 8．已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能 ( ) A.为 B.为a C.为- D.不存在 10．已知直线l过点(0,4),且与直线x-y+4=0及x轴围成等腰三角形,则直线l的方程可能为 ( ) A.x+y-4=0 B.x-y+4=0 C.x-y+3=0 D.x-3y+12=0 11．已知圆M:+=1,圆N:+=1,则下列是圆M和圆N公切线的直线方程的为 ( ) A.y=0 B.3x-4y=0 C.x-2y+=0 D.x-2y-=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知二次函数y=x2+4x-5的图象与两坐标轴交于A,B,C三点,则△ABC的外接圆的半径为 . 13．如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为 . 14．如图,公路MN和PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=160 m,假设拖拉机行驶时,周 围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(13分)已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时, (1)直线l与x轴平行? (2)直线l与y轴平行? (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1). (4)直线的倾斜角为45°? (5)直线的倾斜角为锐角? 16．(15分)7求下列各圆的标准方程: (1)过点A(1,-2),B(-1,4)且周长最小. (2)圆心在直线5x-3y=8上且与坐标轴相切. 17．(15分)已知过原点O的直线l:y=4x和点P(6,4),动点Q(m,n)(m>0)在直线l上,且直线QP与x轴的正半轴交于点R. (1)若△QOR为直角三角形,求点Q的坐标. (2)当△QOR的面积取得最小值时,求点Q的坐标. 18．(17分)已知直线l过定点A(2,-1),圆C:x2+y2-8x-6y+21=0. (1)若l与圆C相切,求l的方程. (2)若l与圆C交于M,N两点,求△CMN面积的最大值,并求此时直线l的方程. 19．(17分)已知圆C:+=1,点A,O为原点. (1)若a=1,求圆C过点A的切线方程. (2)若直线l:x-y+1=0与圆C交于M,N两点,且·=,求a的值. (3)若圆C上存在点P,满足=2,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $