第十二章 全等三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学华东师大版2024八年级上册

第十二章 全等三角形·拔尖卷 【华东师大版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（    ）个    A．3 B．4 C．6 D．9 4．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（3分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 7．（3分）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等腰直角中，，点M为上一点，连接，以D为直角顶点作等腰直角，连接，交于点Q，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25七年级下·广东佛山·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，那么 度． 12．（3分）（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 13．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 14．（3分）（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ； （2）当时， 15．（3分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ． 16．（3分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（6分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知在中，，交于点，，，且平分． (1)求证：； (2)求的度数． 19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 20．（8分）（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 21．（10分）（24-25八年级上·全国·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 22．（10分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 23．（12分）（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题处理】 （1）如图1，为等腰三角形，，为边上的一点，连接，以为边作，．过点作交于，若，求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，某家具厂制作等边三角形木质装饰框架，边上有一个预先开槽的固定节点（用于拼接），工人在边安装滑动定位块，并以为边加工等边三角形木片，最后连接加固．为计算木料长度，现需探究（定位块到端点的距离）、（固定节点到端点的距离）、（加固边）的数量关系，请你帮助工匠找出，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（12分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 全等三角形·拔尖卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 2．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由全等三角形的判定方法：、、、、，逐一选项分析即可． 【详解】解：A、由能判定，本选项不符合题意； B、和分别是、的对角，不能判定，本选项符合题意； C、由能判定，本选项不符合题意； D、由能判定，本选项不符合题意； 故选B． 3．（3分）如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（    ）个    A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，据此进行作图即可得到答案． 【详解】解：根据题意可以作出的三角形如下图所示：    △BAE ≌△ABC     △DCB ≌△ABC     △CFA ≌△ABC △ABG ≌△ABC      △IBC ≌△ABC     △AHC ≌△ABC 故选C． 【点睛】此题结合了三角形全等的判定作图，是一道较难的数学综合性操作题，需要认真研究才能得出正确答案，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等． 4．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解． 【详解】解：如图所示，延长至，使，连接， 的周长为2，即， ∵正方形的边长是1， ∴，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ∴， 在与中，，，， ∴， ． 故选：B． 6．（3分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 7．（3分）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 8．（3分）（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等腰直角中，，点M为上一点，连接，以D为直角顶点作等腰直角，连接，交于点Q，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在上截取，得，得出，再证得，得出，由，，得出，得出是等边三角形，则，由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：在上截取，如图所示： ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 9．（3分）（24-25七年级下·广东佛山·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（3分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由和等边是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；根据等边三角形的判定得是等边三角形，结论②正确；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论④正确． 【详解】解：∵和是正三角形， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ∴结论①正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ， ， 又，，， ， ，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵在的内部， ∴点在的平分线上， ∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线性质定理的逆定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，那么 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键． 根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：75 ． 12．（3分）（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【答案】或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 14．（3分）（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ； （2）当时， 【答案】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 15．（3分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法． 延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（3分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是等腰直角三角形，结合三线合一得，，则都是等腰直角三角形，再通过证明，则，再通过证明，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为边的中点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴，，， ∵分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形的面积 即四边形的面积为 故答案为： 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据等腰三角形性质得，，，，进而可得，得到，即可求证； （）根据线段垂直平分线性质得，，得到，进而由三角形外角性质得，即可得为等边三角形，得到，即可得，求出即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知在中，，交于点，，，且平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，且平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得，即可求证； （2）根据线段垂直平分线的性质可得四边形的周长为，即，因为长度已知，则可求解题目． 【详解】（1）证明：， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ， ； （2）四边形的周长为， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 20．（8分）（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 21．（10分）（24-25八年级上·全国·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 22．（10分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23．（12分）（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题处理】 （1）如图1，为等腰三角形，，为边上的一点，连接，以为边作，．过点作交于，若，求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，某家具厂制作等边三角形木质装饰框架，边上有一个预先开槽的固定节点（用于拼接），工人在边安装滑动定位块，并以为边加工等边三角形木片，最后连接加固．为计算木料长度，现需探究（定位块到端点的距离）、（固定节点到端点的距离）、（加固边）的数量关系，请你帮助工匠找出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，由得到，利用三角形外角的性质得到，得出，推出，再利用全等三角形的判定证明即可； （2）在上截取，连接，先证明是等边三角形，得出，，结合是等边三角形得到，，进而得到，利用全等三角形的判定证出，再利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． 24．（12分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $