25.2用列举法求概率（第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十五章 概率初步 第一课时 25.2用列举法求概率 学 习 目 标 1 2 3 会用直接列举法和列表法求简单事件的概率；能利用概率知识解决涉及两个因素的事件的概率问题； 经历试验、列表、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论、特殊到一般的思想，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力； 通过数学活动，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 知识回顾 1.概率的概念及基本性质 2.必然事件A的概率: _______ 不可能事件B的概率: _______ 随机事件C的概率:____________ 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= _____ . 0≤ ≤1 P(A)=1 P(B)=0 0＜P(C)＜1 复 习 导入新课 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢. 怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的结果呢？ 你觉得这个游戏公平吗？ 4 新知探究 探究点1 列举法求概率 议一议 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们怎样求？ 思 考 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 典例分析 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 【分析】 “掷两枚硬币”所有结果如下： 正正 正反 反正 反反 ① ② ① ② ① ② ① ② 这4种结果出现的可能性相等，符合求概率的两个要素 典例分析 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 【分析】 正正 正反 反正 反反 “同时抛掷两枚硬币”和“先后两次抛掷一枚硬币”的试验所有可能的结果都可以取“正正，正反，反正，反反”4种。 ① ② ① ② ① ② ① ② 第一掷 第二掷 所有可能出现的结果 典例分析 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 正正 正反 反正 反反 解：抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是:正正，正反，反正，反反. 所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等. ① ② ① ② ① ② ① ② (1)所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种，即“正正”， ∴ . 典例分析 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 正正 正反 反正 反反 解：抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是:正正，正反，反正，反反. 所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等. ① ② ① ② ① ② ① ② (2)两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种，即“反反”，∴. 典例分析 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 正正 正反 反正 反反 解：抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是:正正，正反，反正，反反. 所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等. ① ② ① ② ① ② ① ② (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共有2种， 即“反正”“正反”， . 这种列举法我们称为直接列举法， 即把事件可能出现的结果一一列出. 直接列举法比较适用于最多涉及两个实验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少等可能性事件. 归纳 新知探究 探究点1 列举法求概率 注意 新知探究 探究点2 列表法求概率 议一议 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生实验结果比较复杂时，通常采用列表法。 通过列表法，如当一次试验要涉及两个因素或分两步进行，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果常用列表法。 思 考 能通过什么的方法来帮助我们使实验的结果不不重不漏，而且容易找出指定事件包含的试验结果呢？ 典例分析 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 采用列表法，可以两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，进行列表。 解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，列表如下: 由列表可知： 同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等。 【分析】 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 典例分析 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，列表如下: (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即: (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)， ∴ . 典例分析 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，列表如下: (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种，即： (3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)， ∴ 典例分析 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，列表如下: (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种， ∴ . 典例分析 如果把问题中“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗?为什么? 思 考 只需把原来表格中横行、纵列所代表的第一枚、第二枚，改成第一次、第二次，每一次掷得的可能性仍然都是6种，因此掷两次后的所有可能结果仍为36种，没有变化。 没有变化。 第1次 第2次 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况,即n 列表法中表格构造特点 新知探究 探究点2 列表法求概率 归一归 示 例 第一个因素包含2种情况； 第二个因素包含3种情况； 那么所有情况n=2×3=6. 试验的涉及两个因素或分两步时,当每步或每个因素产生的结果可能性比较多,直接列举法就不合适了，为了不重不漏地展示所有可能的结果，列表法就是比较好的方式了，结果清晰、明了。 新知巩固 教材P138练习 1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个。求下列事件的概率: (1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球; (2)两次都摸到相同颜色的小球; (3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球. 第1次 第2次 红 绿 红 (红,红) (绿,红) 绿 (红,绿) (绿,绿) 解:一红一绿两个球，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，结果有四种情况，列表如下 （1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球（记为事件A）结果有1种， ∴P(A)= （2）两次都摸到相同颜色的小球（记为事件B）结果有2种， ∴P(B)= （3）两次摸到的球中一个绿球、一个红球（记为事件C）结果有2种， ∴P(C)= 2.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少? 新知巩固 教材P138练习 第1次 第2次 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 解:有6张看上去无差别的卡片,随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张结果有36种，列表如下 第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字（记为事件A）结果有14种， ∴P(A)= 拓展提升 1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)m= %，这次共抽取了 名学生进行调查，并补全条形图； (2)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 拓展提升 1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)m= %，这次共抽取了 名学生进行调查，并补全条形图； 解: （1） 跳绳的人数有4人， 占的百分比为 ， ； 兵乒球 （人) ． 50 拓展提升 1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况 (2)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ （2）列表如下： ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女的概率：   男1 男2 男3 女 男1   男2，男1 男3，男1 女，男1 男2 男1，男2   男3，男2 女，男2 男3 男1，男3 男2，男3   女，男3 女 男1，女 男2，女 男3，女   真题感知 1．（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． 　　 B． 　　　 C． 　　　　D． B 解：列表如下：   美 丽 山 河 美   （美,丽） （美,山） （美,河） 丽 （丽,美）   （丽,山） （丽,河） 山 （山,美） （山,丽）   （山,河） 河 （河,美） （河,丽） （河,山）   共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有： （丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为 P=． 真题感知 2．（2025•广西）从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为　　 ．   3 4 5 3   7 8 4 7   9 5 8 9   由表知，共有6种等可能结果，其中选出的两个数字之和是偶数的有2种结果， 所以选出的两个数字之和是偶数的概率: P， 解：列表如下： 真题感知 3．（2025•黑龙江）如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为　　 ． 解：列表如下：   K1 K2 K3 K1   （K1，K2） （K1，K3） K2 （K2，K1）   （K2，K3） K3 （K3，K1） （K3，K2）   共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡L1、L2同时发光的结果有：（K1，K3），（K3，K1），共2种， ∴能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率 P． 课堂小结 01 02 如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们可以用列举法和列表法来求。 当一个事件涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法. 运用列表法求概率的步骤如下： ①列表； ②通过表格确定公式中m、n的值； ③利用P(A)= 计算事件的概率. 课后练习 教材P139 习题25.2 1.把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率： （1）抽出的牌是黑桃 6； 解：P（抽出的牌是黑桃 6）= . （2）抽出的牌是黑桃 10； 解：P（抽出的牌是黑桃 10）= （3）抽出的牌带有人像； 解：P（抽出的牌带有人像）=. （4）抽出的牌上的数小于 5； 解：P（抽出的牌上的数小于 5）= .(注：A 算数 1.) （5）抽出的牌的花色是黑桃. 解：P（抽出的牌的花色是黑桃）= 1. 课后练习 2.有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有 1~12 这十二个整数. 投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率： （1）向上一面的数字是 2 或 3； 解：投掷一个正 12 面体一次，向上一面的数字共有 12 种等可能的结果，是 2 或 3 的有两种结果， ∴P（向上一面的数字是 2 或 3）= = . （2）向上一面的数字是 2 的倍数或 3 的倍数. 解：向上一面的数字是 2 的倍数或 3 的倍数共有 8 种情况， 即 2，3，4，6，8，9，10，12， ∴ P（向上一面的数字是 2 的倍数或 3 的倍数）= = . 教材P140 习题25.2 课后练习 3.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4. 随机取出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于 4. 解：列表如下： 第1次 第2次 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 教材P140 习题25.2 （1）由表知共有 16 种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号相同的共有 4 种，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）， ∴ P（两次取出的小球的标号相同）= = . 课后练习 3.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4. 随机取出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于 4. 解：列表如下： 第1次 第2次 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 教材P140 习题25.2 （2）两次取出的小球标号的和等于 4 的共有 3 种结果，（3，1），（1，3），（2，2）， ∴ P（两次取出的小球标号的和等于 4）= . 课后练习 9.盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别. （1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，写出表示 x 和 y 关系的表达式. （2）往盒中再放进 10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为 ，求 x 和 y 的值. 解： （1）由题意得 = ， ∴ 8x = 3x + 3y． 整理得 y = x（x 为正整数，且是 3 的倍数）. （2）由题意得 = ， ∴ 2x + 20 = x + y + 10，即 y = x + 10. 由（1）得 y = x（x 为正整数，且是 3 的倍数）， 联立两式解得 x = 15，y = 25. 教材P141 习题25.2 感谢聆听! $