专题09 数列求和 专题训练——2026届高考数学一轮复习

专题09数列求和 等去效列求和公式 等差（比）数列求和 等比数列求和公式 根据参数木司取值分类 分类讨论法求和 结合其他方法综合使用 一分段时论法 含绝对值的等差数列求和 一利用对称性简化计算 常见裂项形式： 草本思场 裂项相消法求和 数列求和常见题型 高阶裂项技巧 方法原理 倒序相加法求和 推广至函数型数列 适用范田 错位相减法求和 注京收敛条件 按规律分细 分组求和 多类型混合级列 划重点·冲难点 题型一等比等差数列求和 PD重点题型专练 1.(25-26高三上广东阶段练习)已知数列0，-2m+是等比数列，且4=2.4，=34 (I)求数列a 的通项公式； (2)求数列 的前”项和. 2.(25-26高三上江苏无锡·阶段练习)已知函数 倒-25cw+m-}片5 将函数f()先向右平移π个单位，再将横坐标变为原来的。（。>0)，纵坐标不变，得 到晒数g,将题数g的正零点按照从小到大的佩序排列，得到数列口，且4一名 求的值域； 2)求8( 的单调增区间； 3求数列a的前2n项和S,. 3.(25-26高三上广东佛山阶段练习)已知数列0，的前”项和为5，a=2,5=0-2. (①求数列0，的通项公式 2设么=a.1+log,a,求数列，的前”项和. 4.(25-26高三上河北衡水阶段练习)已知正项数列@满是4=1」 喏数列4是等比数列，前”项和为，且=7，求数列a的通项公式 2考0,4=4，求数列口的前21项和。 5。(25-26高三上江西南昌开学考试)已知正项数列a满足4，·0=4」 (①诺a,是等比数列，求a的通项公式： (2诺4=1，求数列0，的前2n项的和。 题型二含绝对值的等差数列 一>重点题型专练 1,(2025高三全国专题练习)在△1BC A,B,C 中，内角 所对应的边分别是6C,已知 3nB 2"cos n为偶数， 、t签比数列.若1nC3’数{4}烟是 a1+1,n为奇数，其前项 n 和为，果5“的值。 2.(25-26高三上黑龙江吉林阶段练习)记S为数列0的前”项和，已知 Sn-an=(n-1(n-6) (①求“，并求a的通项公式 4 2求a,的前m项和乙. 3.(25-26高三上天津宝坻阶段练习)已知等比数列4，的前”项和为S,4=1,且 S,,S成等差数列，数列4，的前”项和为D,且D,=+3训 ④求，的通项公式 n,n为偶数 2设。0，n为奇数是数列6，的前n项和，求： ③没，=2a,e是c的前”项的积，求证：，<2e。 4,(2025云南曲靖模拟预测)已知Q是等差数列，b,是等比数列，且4=么=3， az+as =2b2 ads =b3 ①求a和b, 的通项公式； a, (2)求数列b,的前n项和S,; (3)求数列 1a-18 的前”项和」 5。(2025河北邯郸一模)已知等比数列0，的前n项和为S,若八，S,S成等差数列 (①)求等比数列a,的公比9； 2诺=l么，=lo,a,求数列a,的前”项和. 题型三倒序相加法求和 6 >重点题型专练 1,(242s高三下湖南益阳阶段练习)已知数列a,满足受+学++会=川neN, bn= 1 数列b,}满足a.+2 )求数列a 的通项公式； n (2)求数列an的前n项和Sn; ③)求数列的前99项的和的值 2.(2025高三全国·专题练习)定义在R上的函数 =42=f+n=23 0求 1,1 十…+ (2)是否存在常数M>0,对任意的n≥2，有S,S,S？ 7 1） 3.(2025商三全国专题练习)已知西教=5如(2，数列a,满足 0,n=1 y)+2 (①求数列，的通项公式 1 ②设a,+a+,记数列的前n项和为3，求证：S<1. 4.(2025天津河西三模)已知递增数列a的前n项和为S,且45，=a+4切，n∈N. (①求数列a,的通项公式 (2设，=a,C+a,C片+a,C++a,Cg （1)求数列b,的通项公式 8 12b,-2*3 五)求44 5.(2025天津二模)已知a,为等差数列，6，是公比为2的等比数列.4=1，且 a3-b=1,a4-b=b3-a6 )求数列a和6的通项公式： 1 ak- b, k为奇数， (2)若C三 1 bn+-k'k为偶数. a2n+l-k ①当为奇数，求9+616 ②求台 题型四分组求和法 D重点题型专练 Aant 1.(25-26高三上河北沧州阶段练习)在数列a,}中，4，=2， dn=2-d 11 (1)证明：数列a2为等比数列： (2)求数列a,的通项公式 b=n (3)设”a,求数列b}的前n项和S, 2。《25-26高三上北京顺义开学考试)已知5是等差数列0的前”项和，，=4=9， 数列b,是公比大于1的等比数列，且公=，么-6=12 ①求数列a,和，的通项公式 (2没，=a,+b,求c,的前”项和了. 10 专题09 数列求和 题型一 等比等差数列求和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列是等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知及等比数列的通项公式求基本量，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差等比的前n项和公式求和. 【详解】（1）由，得，， 因为是等比数列， 设的公比为，所以，得， 则，则； （2）记的前项和为，则 . 2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值域； (2)求的单调增区间； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）化简的表达式即可求得值域； （2）根据函数变换的概念求得的表达式后即可求解单调增区间； （3）根据n的奇偶性，求得的通项公式，再对分奇偶加起来即可． 【详解】（1） ， 的值域为． （2），时满足，其中， 解得，最小零点为时，， 依题意有，，， 单调递增区间满足，， 单调递增区间为，． （3）由（2）可知满足，依据三角函数特性可知，一个周期内有两个零点，所以最小的两点零点为、，周期， 也即的奇数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列，的偶数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列， 也即，所以， ． 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系即可作差得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由可得, 相减可得，故， 又，故， 因此对任意的，都有，故为等比数列，且公比为2， 故， （2）， ， 相减可得 故， 故 4．（25-26高三上·河北衡水·阶段练习）已知正项数列满足． (1)若数列是等比数列，前项和为，且，求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式即可求解公比，从而可求得通项； （2）利用递推关系可知数列为隔项成等比数列，再利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）设数列的公比为，则． 因为，由可得，解得或（舍）， 所以．即． （2）由题意得，所以． 由因，两式相除，可得． 从而隔项成等比数列，因， 数列的前项和为． 5．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知正项数列满足． (1)若是等比数列，求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求得，，进而求出通项公式； （2）由题目递推式得，则有，因此数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）因为数列是等比数列，设首项为，公比为， 所以，则，所以， 所以，，则，所以； （2）因为，，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列，则 ＝． 题型二含绝对值的等差数列 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角所对应的边分别是，已知成等比数列．若，数列满足其前项和为，求的值． 【答案】 【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出，再分奇偶求出，分组求和即可得解. 【详解】因为成等比数列，所以，即． 又，所以，即， 由知，所以． 当为偶数时，； 当为奇数时，， 所以 ． 2．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解； （2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以. （2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，.. 此时， 当时，，，.. 所以. 综上，. 3．（25-26高三上·天津宝坻·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 (1)求的通项公式 (2)设是数列的前项和，求； (3)设是的前项的积，求证：. 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由求出公比，进而得，利用即可求； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）要证，只需证，即，令，即证即可. 【详解】（1）由题意有，所以，即， 所以，所以公比， 所以， 由，所以，即， 当时，由有， 所以，当时，， 所以； （2）由（1）有， 所以； （3）由题意有， 所以，所以， 要证，只需证， 即证， 令，所以， 由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以， 即，所以. 4．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）由错位相减法可得结果； （3）分和两种情况求和计算结果. 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2）， 设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得：， 所以； （3）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，，则， 当时，， 则 ， 综上：. 5．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和并结合题意即可求解； （2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意若成等差数列， 则得，即， 则得，所以， 故. （2）由（1）可知，又，所以， 则， 所以， ， ， 由可得 ， 解得. 所以数列的前项和. 题型三 倒序相加法求和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用数列的前项和，求通项； （2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和. 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 2．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式； （2）应用裂项相消计算即可证明. 【详解】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 4．（2025·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将裂项为，即可求解. 5．（2025·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解； （2）①利用条件直接求解；②求出当为偶数时，然后利用倒序相加以及错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为的公比为， 由已知可得，得， ； （2）①为奇数，为偶数．      ； ②当为偶数，为奇数， 令， ， 即， ， 所以 所以 所以 所以. 题型四 分组求和法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)（） (3)（） 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果求解的通项公式，然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） （3）由（2）可知：（），可得：（） 设（1） （2） 由（1）（2）得： ， 解得：. （）. 2．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出等差数列公差、等比数列公比即可. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以. 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用计算得出数列为等差数列，再结合等差数列通项公式求解； （2）应用分组求和结合裂项相消及等差数列求和公式计算求解. 【详解】（1），当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； （2） 4．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. （2）由（1）可知， 则. 5．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系化简题设可得数列是首项为2，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）先求得，利用裂项相消法及分组求和法求和即可. 【详解】（1）令，则，即， 又①，②， ②-①得，则， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以． （2）由（1）知，数列是首项为2，公比为3的等比数列，且， 则， 则， 所以， 即． 题型五 错位相减法求和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知在数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助等差数列定义计算即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即； （2）， 则， 则， 故 ， 故. 2．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出. （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. （3）利用（1）的结果求出，进而求出，再利用分组求和法及裂项相法求和即得. 【详解】（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，， 在等比数列中，由，，得，而，则， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）得，， ， ， 两式相减得 ， 所以. （3）由（2）得，， 所以 . 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，且 ． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而得，化为，结合等差数列定义，即可求得答案； （2）求出的表达式，利用错位相减法求和，即得答案. 【详解】（1）当时，，即， 则，即得， 即，而当时，， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 故，则； （2）由题意得， 故， 则， 故 ， 则. 4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式变形为，结合等差数列的通项公式，即可求得答案； （2）写出的表达式，利用错位相减法求和，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以 （2）由（1）可知，所以， 所以，① ，② ，得， 即， 故. 5．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知与均为等差数列，且． (1)求与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）等差数列公差为，等差数列公差为，利用等差数列的通项公式化简，求得，即得答案； （2）代入，，求，利用错位相减法求出前项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，等差数列公差为， 因为， 所以， 即，即， 所以，解得， 所以，. （2）, 所以 ① ② 得 ， 所以 题型六 裂项相消法求和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）， 则 . 2．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值; （2）利用构造法证得为等差数列，从而得解； （3）利用（2）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证. 【详解】（1）由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. （2）由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； （3）证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 3．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求； (2)若数列满足，对任意，，恒有，.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）结合题意，利用赋值法与等比数列定义可得，则可得，再利用裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减得，所以， 两式相减得，所以数列是等差数列， 中，令得，又， 所以的公差，故； （2）因为对任意，，恒有， 令，得， 所以数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以， 则， 所以 . 4．（25-26高三上·云南德宏·开学考试）设数列的前n项和为．已知，． (1)求的值； (2)求证：为等差数列； (3)证明：对一切正整数n，有． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定递推公式，赋值计算即得. （2）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出，先验证的情况，当时，利用放缩法及裂项相减法即可推理得证. 【详解】（1）数列中，， 当时，，而，则， 当时，，所以. （2）由，得， 当时，， 两式相减得，即， 整理得，而， 故数列是首项为，公差为1的等差数列. （3）由（2）知，则， 当时，，原不等式成立； 当时，，原不等式成立； 当时，由，得， 因此 ， 所以对一切正整数，有. 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，数列的前项和. (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前n项和. （i）求； （ii）若对于，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ⅱ）. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程，即可得到数列的通项公式，利用与的关系即可求出的通项公式； （2）（i）根据题意可得，利用错位相减即可求出； （ii）根据题意可得，利用裂项相消即可求出，根据单调性求出的范围即可求出实数的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由于，且，，成等比数列， 所以，解得：，或（舍去）， 所以数列的通项公式为：， 由于数列的前项和， 当时，，解得：； 当时，①， ②， ①②可得：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 则数列的通项公式为：； （2）（i）由于 所以 则 （ⅱ）由于 则， 随着增大而增大，由于，， 当时，，当时，， 即，则 所以最小值为. 题型七 分类讨论法求和 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（23-24高三上·辽宁·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）， 故 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 2．（2019高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令求得；当时，由求解，再检验适合，即可得解； （2）采用分组求和的方式，分为偶数和为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别求和. 【详解】（1）因为数列的前项和，，所以； 当时，， 又适合上式，所以； （2）， 所以数列的前项和， 当为偶数时，， 当为奇数时， . 综上，. 3．（2025·广东清远·二模）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. （2）由（1）得，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求和即可 【详解】（1）证明： 数列满足，即， ， 即， 又， , 数列表示首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知， ， ， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得； 综上可得， 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若. (1)求数列的通项公式； (2)设， （ⅰ）试比较与的大小，并说明理由； （ⅱ）若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用的关系可求的通项公式； （1）（ⅰ）求出，结合不等式可判断大小； （iⅰ）利用分组求和的方法求出，结合不等式放缩可证结论. 【详解】（1）当时，由题意，； 当时，，两式相减可得， 所以，即， 因为，所以. （2）因为，所以； 当为奇数时，；当为偶数时，； 令，则，即为增函数，则当时，； （ⅰ）因为，所以； （iⅰ）当为奇数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 当为偶数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 综上，. 5．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【答案】(1)；5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接代入运算即可得，； （2）分类讨论n的奇偶性，结合题中递推公式运算求解即可； （3）根据（2）可得若n为奇数，则，分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以；. （2）因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则； 所以. （3）由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时； 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $