期中复习卷（二）（考查范围：第24章～第25章） 2025-2026学年沪教版数学九年级上册

沪教版九年级数学期中复习卷（二） 考查范围：（第24章～第25章） 1． 选择题 1.（ ） （A）3:8； （B）8:5； （C）5:8； （D）8:3． 2.下列说法中，正确的是（ ） （A）两个等腰三角形一定相似； （B）两个直角三角形一定相似； （C）含角的两个等腰三角形一定相似； （D）含角的两个等腰三角形一定相似． 3.下列命题正确的是 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝3，那么下列条件中能够推得DE//BC的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 5．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（　　） A．2 B． C． D． 6.如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积（+1）：2，其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2． 填空题 7. 如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm． 8. 已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是______厘米． 9．计算：3（-2）﹣2（-3）＝_____． 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是_____． （第12题） （第11题） （第10题） 11.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为 12.如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________． 13．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________. （第18题） （第15题） （第14题） （第13题） 14.如图，////，，DF=10，那么DE=____________ 15.如图，梯形ABCD，AD//BC，AC、BD交于点E，，则_________ 16．已知在中，，，那么的正弦值等于 ▲ ． 17.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于__________． 18.如图，已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点B1处，点C落在点C1处，且BB1⊥AC．联结B1C和C1C，那么△B1C1C面积等于______． 三．简答题 19. 20.已知，平行四边形中，点在边上，且，与交于点； （1）如果，，那么请用、来表示； （2）在原图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21．如图，已知梯形ABCD中，EF∥AD∥BC，点、分别在腰、上， 且AE = 3，EB = 5. （1）求的值； （2）当AD = 4，BC = 12时，求EF的长. 22.某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度．如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为30°．已知D处距地面高度为12m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数，参考数据：tan42°＝0.90，tan48°＝1.11，≈1.73） 23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB． 24．在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为． （1）当时，求线段的长； （2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 25.如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 一．选择题 1.（ ） （A）3:8； （B）8:5； （C）5:8； （D）8:3． 解析：根据比例的合比性质 8:5 2.下列说法中，正确的是（ D ） （A）两个等腰三角形一定相似； （B）两个直角三角形一定相似； （C）含角的两个等腰三角形一定相似； （D）含角的两个等腰三角形一定相似． 解析：A选项 两个等腰三角形不一定相似故A不符合题意 B选项两个直角三角形不一定相似故B不符合题意 C选项含45°角的两个等腰三角形不一定相似，C选项不符合题意 D.含105°角的两个等腰三角形一定相似，并且这个角一定是顶角故选D 3.下列命题正确的是 （ D ） （A）； （B）； （C）； （D）． 解析：A选项两向量的模相等方向不一定相同 B选项两向量的方向可能不相同 C选项 D符合题意 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝3，那么下列条件中能够推得DE//BC的是（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）． 解析：根据平行线分线段成比例定理的逆定理 故选D 5．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（C　） A．2 B． C． D． 解析： 6.如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积（+1）：2，其中正确的结论有（　A　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵△BEC为等边三角形 ∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30° ∴在△ABE和△DCE中， AB＝DC ∠ABE＝∠ECD BE＝EC ∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴∠AEB＝∠DEC＝＝75° ∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150° 故①正确 由①知AE＝ED ∴∠EAD＝∠EDA＝15° ∴∠EDF＝45°﹣15°＝30° ∴∠EDF＝∠ABE 由①知∠AEB＝∠DEC， ∴△DEF～△BAE 故②正确 过点F作FM⊥DC交于M，如图 设DM＝x，则FM＝x，DF＝x ∵∠FCD＝30° ∴MC＝x 则在Rt△DBC中，BD＝ ∴BF＝BD﹣DF＝ 则 ∵tan∠ECD＝tan30°＝ ∴tan∠ECD＝ 故③正确 如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得 由③知MC＝，MC＝FG ∴FG＝ ∵BC＝DC＝x ∴BH＝ ∵∠EBC＝60° ∴EH＝ ∴＝＝＝＝ 故④正确 故选：A． 二．填空题 7.如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm． 解析： 8.已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是______厘米． 解析：根据题意得 9． 计算：3（-2）﹣2（-3）＝_____． 3（-2）﹣2（-3）＝ 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是_____． （第10题） 【解析】 延长BG交AC于H． ∵G是△ABC的重心， ∴AH＝AC＝×4＝2， ∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝， ∴， ∴AB＝6， 由勾股定理得：BH＝＝2， ∵∵G是△ABC的重心， ∴BG＝2GH， ∴BG＝＝； 故答案为：． 11.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为 解析 解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH//BC， ∴△AEH∽△ABC， ∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴ 设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x， ∴ 解得：x=， 则EH=3x=． 12.如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________． 解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G, ∵AG∥BC ∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE． ∴ ,． ∵． ∴． ∵点是的中点． ∴BE=EC． ∴． ∴． 即:=2：5． 故答案为：2：5 13． 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为__________. 解析 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC-BD=AB-3； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； ∴， 即； 解得AB=9． （第18题） 14． 如图，////，，DF=10，那么DE=____________ 解析∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=4．故答案为4． 15.梯形ABCD，AD//BC，AC、BD交于点E，，则_________ 解：设△AED，ED边上的高为h，则△AEB，EB边上的高也为h，∴，又∵AD//BC，∴，∴，∴，又易知，∴=27. 16.已知在中，，，那么的正弦值等于 ▲ ． 解析： 17.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于__________． 解析：设等腰三角形的底边长为a,则 |5-al=3,解得a=2或a=8.当a=2时,这个等腰三角形底角的余弦值为五分之一;当a=8时,这个等腰三角形底角的余弦值为五分之四 18. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点B1处，点C落在点C1处，且BB1⊥AC．联结B1C和C1C，那么△B1C1C面积等于______． 解析： 19. 解： 原式= = =1+ 20.已知，平行四边形中，点在边上，且，与交于点； （1）如果，，那么请用、来表示； （2）在原图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 解析： （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB，∴，又∵，∴，∵DE=3EC ， ∴DC=4EC，又∵AB=CD ，∴AB=4EC，∵CD∥AB，∴，∴，∴ ，∴ ； （2）如图所示，. 21．如图，已知梯形ABCD中，EF∥AD∥BC，点、分别在腰、上， 且AE = 3，EB = 5. （1）求的值； （2）当AD = 4，BC = 12时，求EF的长. 解析：（1）∵EF∥AD∥BC，∴. 又∵AE = 3，EB = 5，∴. （2）（方法1）联结，交于. 在△ABC中，∵∥BC, ∴. 将，，代入，得，∴. 在△ACD中，同理可求. ∴. 22.某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度．如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为30°．已知D处距地面高度为12m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数，参考数据：tan42°＝0.90，tan48°＝1.11，≈1.73） 解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E． 依题意得：∠ADE＝42°，∠CBD＝30°，CD＝12m． 可得四边形DCBE是矩形． ∴BE＝DC，DE＝CB． ∵在直角△CBD中，tan∠CBD＝， ∴DE＝CB＝． ∵在直角△ADE中，tan∠ADE＝． ∴AE＝DE•tan42°． ∴AE＝•tan42°≈＝18.68（米）． ∴AB＝AE+BE＝31（米）． 答：楼AB的高度约为31米． 点作的平行线.参阅方法1评分. 23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB． 解析： （1）∵CG2=GE•GD，∴． 又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC，∴∠GDC=∠GCE． ∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠ACF=∠ABD． （2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴． 又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC，∴，∴FE•CG=EG•CB． 24．在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为． （1）当时，求线段的长； （2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 解析： 解:(1)过点C作,交AD的延长线于点E, ∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC. ∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°， ∵AD//BC， ∴∠BAE+∠ABC=180°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠BAE=90°， ∴四边形ABCE为矩形， ∴CE=AB，AE=BC, ∠AEC=90° 又∵AB=3， ∴CE=AB=3 ∵AD=AP=2 ∴∠APD=∠ADP=45° ∵，∠AEC=90° ∴∠CDE=∠ECD=45° ∴DE=CE=3 ∴BC=AD+DE=4+6=5,PB=AB-AP=1 ∴； (2)在中,由, 根据勾股定理得:, ∵∠ADP+∠BEDC=90°，∠DCE+∠BDC=90°， ∴.∠ADP=∠DCE， 又∵∠BAD=∠DEC=90°， ∴△APD∽△DCE ∵CE=3，AD=2， ∴ ∴CD= 在中,, ∴； 25.如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 解析： （1）∵在直角中，，，， ∴； （2）过点作,垂足为， ∵, ∴, ∴， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 化简，得， 解得：(负值舍去), ∴； （3）由（2）得， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 当和相似时，有两种情况： ①, ∴, 即，解得， ∴； ②, ∴, 即，解得， ∴， 综上： 当和相似时，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $