专题06 含参数的一元一次方程（4重难点题型专练）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版2024）

专题06 含参数的一元一次方程 题型梳理 题型方法 题型一 解的关系问题 题型二 错解问题 题型三 整数解问题 题型四 解的个数问题 题型方法 【题型一】解的关系问题 【例1】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程和的解互为相反数，求m的值． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知的值与x的取值无关，求的值； （2）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【题型二】错解问题 【例2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）（1）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得； 去括号，得； 移项、合并同类项，得． 圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． （2）已知关于x的方程的解与方程的解相等，求m的值． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【变式2】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【题型三】整数解问题 【例3】（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）k为整数，当 时，方程有正整数解． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于，的整式，，若是常数，且的值与，无关． (1)求的值和的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【题型四】解的个数问题 【例4】（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）能使等式成立的的值有无数多个，则的值为 ． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江·期末）若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么 ． 【变式2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）（1）当取何值时，关于的方程和的解相同． （2）已知关于的方程无解，求的值． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 好题必刷 一、单选题 1．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 2．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 二、填空题 3．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 4．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）若关于的方程的解为整数，则非负整数的值为 ． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 三、解答题 6．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 7．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 8．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 9．已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 10．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 含参数的一元一次方程 题型梳理 题型方法 题型一 解的关系问题 题型二 错解问题 题型三 整数解问题 题型四 解的个数问题 题型方法 【题型一】解的关系问题 【例1】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键．分别求出两个方程的解，根据两方程的解互为相反数即可求出m的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． ∵方程和方程的解互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及相反数的定义，先分别求解出，的解，然后根据相反数的定义得出，解方程即可得出n的值． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵关于的方程与方程为“和谐方程”， ∴， 解得： 故答案为： 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程和的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的解与解一元一次方程，先求出方程的解，进而求出方程的解，代入可得关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程的解为， 将代入，得， 解得． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知的值与x的取值无关，求的值； （2）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，代数式的值与某字母的取值无关问题，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将原式化为，根据的值与x的取值无关，即含x的项的系数为0，即可求出a、b的值，代入求值即可； （2）先求出方程的解，根据题意即可得出关于x的方程的解，从而求出k的值． 【详解】解：（1） ， ∵的值与x的取值无关， ， ， ∴ ； （2）， 解得， ∵方程的解与关于x的方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得． 【题型二】错解问题 【例2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）（1）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得； 去括号，得； 移项、合并同类项，得． 圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． （2）已知关于x的方程的解与方程的解相等，求m的值． 【答案】（1）有错，过程见解析；（2）m=2 【分析】（1）直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． （2）先求出第二个方程的解，即可求出x=-1，把x=-1代入第一个方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：（1）圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得：3（x+1）-2（x-3）=6． 去括号，得3x+3-2x+6=6． 移项，合并同类项，得x=-3． （2）解方程得：y=-1， 即方程的解为x=-1， 把x=-1代入方程得：m-2m=-2， 解得：m=2． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正确理解方程的解的意义和掌握解方程的步骤是解题关键． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程需要注意的事项进行求解即可得出答案； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：小圣的解题过程从第一步开始出现错误．没有加括号， 故答案为：①； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）①． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 【题型三】整数解问题 【例3】（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）k为整数，当 时，方程有正整数解． 【答案】8或/或8 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，题目难度不大，比较典型．将方程变形，得出x与k的关系，利用已知条件分析k的取值． 【详解】解：∵， ∴， 当时，无解； 当时，，不合题意； 当时， ， ∵方程有正整数解． 故或， 当或时，或1． 故答案为：8或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的性质和解一元一次方程的能力． 分、和三种情况分别求解可得． 【详解】解：当时，，解得，不符合条件，舍去； 当时，， 解得，此范围恒成立， 符合条件的整数为、、、0； 当时，， 解得， 方程的所有整数解的和为：， 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于，的整式，，若是常数，且的值与，无关． (1)求的值和的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求出的值，根据的值与，无关，得到所有含的项的系数为0，进行求解即可． （2）根据关于的一元一次方程的解是正整数，求出的值，将的值，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵的值与，无关， ∴，即：； ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的一元一次方程的解是正整数，为整数， ∴或， 当时，；当时，； 综上：或． 【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题，以及解一元一次方程．熟练掌握整式的值与某个未知量无关，该未知量的系数为0，是解题的关键． 【题型四】解的个数问题 【例4】（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）能使等式成立的的值有无数多个，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据零乘以任何数等于零，即可求解． 【详解】解：∵能使等式成立的的值有无数多个， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握零乘以任何数等于零是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江·期末）若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么 ． 【答案】1.5 【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．高于一次的项系数是0，据此可得出且，再用表示，代入原方程，即可得出的值． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程，且有唯一解， 则且， 因为，， 把代入，得 ， 所以，， 解得． 故答案为：1.5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）（1）当取何值时，关于的方程和的解相同． （2）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）k=；（2）a=3 【分析】（1）根据解方程，可得方程的解，根据方程的解相同，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案． （2）方程整理后，由方程无解求出a的值即可． 【详解】解：（1）解，得：x=1， 把x=1代入，得： ， 解得：k=； （2）方程a（2x-1）=6x-4， 整理得：（2a-6）x=a-4， 由方程无解，得到2a-6=0，即a=3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于k的方程是解题关键． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 好题必刷 一、单选题 1．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 2．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，，不成立， ∴， ∴， ∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解， ∴是正整数，即是大于2的正整数， ∴时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，不符合题意； ∴符合条件的所有整数a之和为， 故选B． 二、填空题 3．（21-22七年级上·浙江台州·期末）若关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】15 【分析】分别求出两个方程的解，根据解互为相反数，则可求得m的值． 【详解】解方程，得； 解方程，得 由题意得： ∴m=15 故答案为：15 【点睛】本题考查了解一元一次方程、相反数的应用等知识，根据相反数列出方程是解题的关键． 4．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）若关于的方程的解为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】0，2 【分析】先用含m的代数式表示出x，再根据方程的解是整数，m是非负整数求解即可． 【详解】解：， 移项，得 mx+x=3， 合并同类项，得 (m+1)x=3， 系数化为1，得 x=， ∵方程的解是整数， ∴m+1=-3，-1，1，3， ∴m=-4，-2，0，2， ∵m是非负整数， ∴m=0，2， 故答案为： 0，2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由方程的解是整数确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵方程的解为整数， ∴或或， 解得：， 则符合条件的所有整数的值的和为． 故答案为：6． 三、解答题 6．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【详解】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 7．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 8．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 9．已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）把结果化简后，根据值为定值，确定出的值即可； （2）由方程有解和无解的条件得出的值，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ， ∵无论取任何数值，它的值是一个定值， ，即； （2）解：∵关于的方程无解，有无数解， ∴， ∴， ∴． 10．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)此方程无解 (2)①无解，；②只有一个解，；③有两个解， 【分析】此题考查含绝对值的一元一次方程，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． （1）分两种情况：，探讨得出答案即可； （2）由题意可知：①无解；②只有一个解；③有两个解，分别求得答案即可． 【详解】（1）解：， 当时，此方程不成立； 当时，原方程化为，解得：，不合题意， 所以此方程无解； （2）解：， ①方程无解，则，所以； ②方程只有一个解，则，所以； ③方程有两个解，则，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $