第14讲 函数的奇偶性讲义（知识清单+5题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第14讲 函数的奇偶性 知识清单 知识点01：函数的奇偶性 1 知识点02：判断函数的奇偶性 2 知识点03：函数奇偶性的应用 2 题型归纳 题型01 函数奇偶性的定义与判断 3 题型02 由奇偶性求参数 7 题型03 函数奇偶性的应用 9 题型04 由函数奇偶性解不等式 12 题型05 奇偶函数对称性的应用 17 强化训练 24 知识点01函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于原点对称 知识点02 判断函数的奇偶性 1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数又不是偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)函数奇偶性的运算性质： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上具有的结论如表所示： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2. 分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，并进行双向验证. 若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0)，即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征，也可以作出函数图象，结合对称性判断. 知识点03函数奇偶性的应用 1.用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2.函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3.利用函数奇偶性与单调性解不等式 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 题型01 函数奇偶性的定义与判断 【例1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 【例1-2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知，函数. (1)判断的奇偶性，请说明理由； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【详解】（1）因为定义域为， 当时，，所以， 所以为奇函数； 当时，，，则且， 所以既不是奇函数又不是偶函数； 综上可得：当时为奇函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. （2）因为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 因为在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 显然满足在上单调递增，所以符合题意； 综上可得的取值范围为. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知， 显然是由函数向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的， 而为奇函数，所以只需将逆向平移， 即向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得奇函数，即为奇函数. 故选：C 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】解：依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 【变式1-3】（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【详解】（1）证明：函数的定义域为， 令，得：，， 再令，则， 即， 所以函数在上是奇函数. （2）在上是单调递减函数， 证明如下： 任取，，且，则， 则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 题型02 由奇偶性求参数 【例2-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得. 故选：C. 【例2-2】（22-23高一上·江苏盐城·期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得：， 所以，则， 则. 故选：B. 【例2-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，，则，所以当时，， 所以. 故答案为： 【变式2-1】（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数是区间上的偶函数，若函数，则,,的大小关系为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得， 所以，， 函数开口向下，对称轴为，， 所以， 故选：B 【变式2-2】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】0 【详解】解：已知是定义在上的偶函数，所以 且，所以，则，结合，解得，所以. 故答案为：0. 【变式2-3】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】5 【详解】∵为奇函数， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：a=5 ∴a+b=5. 故答案为：5. 题型03 函数奇偶性的应用 【例3-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故选：C. 【例3-2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 当时，，当时，，结合 为定义在上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图象为向左平移6个单位得到的，， 则的图象在的上方， 则，解得.      综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】∵奇函数，∴，则，即， ∵为偶函数，∴， ∴，， ∴，，则， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当取等号， 所以当时，的取值范围是， 又因为函数为定义在上的奇函数， 所以当时，，则， 即当时，的取值范围是， 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】7 【详解】因为函数是在上奇函数得出 又因为,所以, 所以. 故答案为：7. 题型04 由函数奇偶性解不等式 【例4-1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，单调递增，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 因为，，，且，所以. 当时，单调递增，所以， 又因为，所以. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 【例4-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； （2）在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 【变式4-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意； 故不等式的解集为. 故答案为： 题型05 奇偶函数对称性的应用 【例5-1】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，即. 当时，， 当时，，， 所以. 因为， 所以或， 解得，，，， 所以. 故选：A 【例5-2】（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 【答案】AC 【详解】解：令，得， 所以，故A正确； 当时，， 当时，恒有， 令， 即对任意，时， ， 即函数为增函数，故B错误． 令，则， 又， 所以， 即 的图象关于点对称，故C正确； 当时，若取， 则， ， 即， 且当时， 单调递增，恒有， 显然， 不为偶函数，故D错误． 故选：AC. 【例5-3】（22-23高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减; (3)求函数在的值域. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 则，即， 整理得，即， 所以， 又因为，解得， 所以. （2）对，且， 则 ∵，则， ∴，即， 故在上单调递减. （3）∵函数为奇函数且在为减函数，则函数为在为减函数， ∴函数在为减函数，且， 故函数在的值域为. 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·江苏淮安·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以，所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项B，因为， 所以关于直线对称，结合函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于选项C，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项D，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 化简得， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意. 故选：ACD. 【变式5-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若定义在上的函数满足：存在且，使得任意，则称为“代阶函数”. (1)判断是否为“4代阶函数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由； (2)已知为“3代阶函数”，且的图象关于直线对称，证明：是偶函数； (3)设函数为“2代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 【详解】（1）是4代0阶函数， 因为， 此时，所以为4代0阶函数. （2）因为为“3代阶函数”， 所以任意，有，且. 因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以，所以是偶函数. （3）由题意得，存在常数满足， 即. 令，则①. 令，则②. 因为是奇函数，是偶函数， 所以， ①+②，整理得. 令，则，又因为，且， 所以，所以， 所以. 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏南京·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义和基本函数的单调性逐个分析判断 【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以A错误， 对于B，的定义域为，因为，所以此函数为奇函数， 因为在上为增函数，所以B正确， 对于C，在上为减函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以D错误， 故选：B 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，C,D错误； 又因为， 当时，，； 当时，； 当时，，，故A错误，B满足题意； 故选:B. 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，根据函数的奇偶性得到和，故ABC正确，D选项，可能无意义，D错误. 【详解】A选项，因为是在R上的奇函数，所以，且，AB正确； C选项，因为，所以，当时，等号成立，C正确； D选项，当时，，此时无意义，D错误. 故选：D 4．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性画出的大致图象，进而得到的大致图象，结合图象求得的取值范围. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 在上单调递减，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 的图象向右平移个单位长度，得到的图象，如下图所示， 由图可知满足的的取值范围是. 故选：D 7．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和偶函数性质，将不等式化为，再利用区间上的单调性得到，即解得结果. 【详解】依题意，不等式即， 又偶函数在区间单调递增，故不等式即，即， 解得. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得. 【详解】由表示不小于的最小整数，得，且，即， 对于A，由，得，即，A错误； 对于B，由，得，则或， 当时，；当时，，因此，B正确； 对于C，函数的定义域为，而，即， 因此函数不是上的奇函数，C错误； 对于D，令，则，，即， 因此，即，D正确. 故选：BD 9．（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 三、填空题 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意求出，则，令，结合即可求解. 【详解】因为, 所以， 则， 令，得，又， 所以. 故答案为：3. 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则 . 【答案】0 【分析】根据奇函数性质以及函数解析式计算可得结果. 【详解】由奇函数可得， 又，所以. 故答案为：0 12．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且函数为偶函数，当时，，则 . 【答案】/ 【分析】根据函数奇偶性分析可知的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 又函数为偶函数，则，可得， 则，可得，可知的一个周期为4， 则. 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶性可得到结果. 【详解】因为为奇函数，则，所以 则，即， ， 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可． 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或，所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 确定函数特性：首先通过观察函数的解析式，确定其对称性以及单调性.利用函数是偶函数的性质，可以简化后续的求解过程. 求解关键区间：结合函数的单调递增和递减的区间，将整个函数在不同区间的表现形式整理清楚，以便在后续的不等式求解中可以直接应用. 最终解集的确定：利用函数的单调性，将不等式的求解过程逐步细化.通过数轴分析，确定每个可能的解区间，最终得出完整的解集. 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值，并求函数的值域. 【答案】(1) (2)，值域为 【分析】（1）设，根据条件，利用奇函数的性质，即可求解； （2）利用二次函数的性质，分，，三种情况，即可求出，进而可求出的值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，设时，则，所以， 得到，所以当时，， 则的解析式为. （2）因为，又由（1）知时，， 又的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 此时 当，即时，， 当时，在区间上单调递减，此时， 综上，， 又因为时，，对称轴为，此时， 当时，， 当时，，对称轴为，此时， 综上所述，函数的值域. 16．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【详解】（1）为奇函数，. （2）设， ， ，，，， 在上是减函数. （3）当时，，，； 又为定义在上的奇函数，， . 17．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）将代入求值即可 （2）利用单调性得定义证明即可； （3）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1） （2）函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 18．（24-25高一上·江苏无锡·期末）对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由函数解析式，分别代入式子的左、右两边，运算验证两等式成立； （2）（ⅰ）利用“伴随函数”定义，利用等式赋值探索性质可得；（ⅱ）将看作整体，表示所求函数，利用基本不等式求最值可得. 【详解】（1）为的“伴随函数”. 理由如下：若，，对任意， 则有； ； 所以； 且有； ； 所以. 故为的“伴随函数”. （2）（ⅰ）若函数为的伴随函数，对任意， 则， 由，可知，且. 令，， 两式相加得， 故； 同理，两式相减可得，故，且. 再令，可得， 可得 . 由， 则； （ⅱ）若是值域为的偶函数，对任意，则， 则式可化为， 由，故对任意，，即为奇函数； 则式可化为， 则与同号， 假设，则， 又由可知，，， 则有，这与矛盾， 故，即，且； 且当，由可知，； 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 联立，又，可解得， 此时满足条件，故等号能取到. 且当时，，即. 故函数的值域为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是利用“伴随函数”的定义，由的任意性可进行赋值构造探索性质并应用；二是所求函数用两个整体式表达，利用基本不等式求最值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的奇偶性 知识清单 知识点01：函数的奇偶性 1 知识点02：判断函数的奇偶性 2 知识点03：函数奇偶性的应用 2 题型归纳 题型01 函数奇偶性的定义与判断 3 题型02 由奇偶性求参数 5 题型03 函数奇偶性的应用 5 题型04 由函数奇偶性解不等式 6 题型05 奇偶函数对称性的应用 7 强化训练 10 知识点01函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于原点对称 知识点02 判断函数的奇偶性 1.判断函数奇偶性的常见方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数又不是偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)函数奇偶性的运算性质： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上具有的结论如表所示： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 2. 分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化，并进行双向验证. 若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0)，即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征，也可以作出函数图象，结合对称性判断. 知识点03函数奇偶性的应用 1.用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2.函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3.利用函数奇偶性与单调性解不等式 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 题型01 函数奇偶性的定义与判断 【例1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【例1-2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知，函数. (1)判断的奇偶性，请说明理由； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【变式1-3】（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 题型02 由奇偶性求参数 【例2-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【例2-2】（22-23高一上·江苏盐城·期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 【例2-3】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【变式2-1】（22-23高一上·江苏连云港·期中）函数是区间上的偶函数，若函数，则,,的大小关系为（　　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【变式2-3】（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数是奇函数，且，则 . 题型03 函数奇偶性的应用 【例3-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于（ 　 ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 【变式3-1】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 题型04 由函数奇偶性解不等式 【例4-1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，单调递增，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【例4-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 【变式4-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为 . 题型05 奇偶函数对称性的应用 【例5-1】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 【例5-2】（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 【例5-3】（22-23高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且 (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减; (3)求函数在的值域. 【变式5-1】（多选）（23-24高一上·江苏淮安·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若定义在上的函数满足：存在且，使得任意，则称为“代阶函数”. (1)判断是否为“4代阶函数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由； (2)已知为“3代阶函数”，且的图象关于直线对称，证明：是偶函数； (3)设函数为“2代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏南京·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 9．（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 三、填空题 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，若，则 ． 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则 . 12．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且函数为偶函数，当时，，则 . 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值，并求函数的值域. 16．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 17．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 18．（24-25高一上·江苏无锡·期末）对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $