山东省淄博市张店区实验中学2025-2026学年九年级上学期10月阶段测试数学试卷

2025.10.27初四上数学阶段测试-张店区实验 一．选择题（共10小题） 1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（　　） A．y B．y C．y D．y 2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　） A． B． C． D．3 3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 4．对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象与x轴有两个交点 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．当x＝2时，y有最大值﹣3 5．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3 6．已知二次函数y（x）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC，其顶点均在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2 9．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　） A． B．2 C．4 D．8 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 11．△ABC中，若（sinA）2+|cosB|＝0，则∠C＝　 　 ． 12．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上，则函数值y1，y2，y3的从大到小的关系是　 　 ． 13．如图，已知点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　 　 ． 14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　 　 ． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）；（2）． 17．一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示． （1）试确定V与ρ之间的函数表达式； （2）当ρ＝2.5kg/m3时，求V的值． 18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°． ①求BD和AD的长； ②求tanC的值． 19．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH． （1）求sinB的值；（2）如果CD，求BE的值． 21．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午10点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，中午12点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？ 22．如图，已知二次函数y1＝﹣x2x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE． （1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式． （2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值． 2025.10.27初四上数学阶段测试-张店区实验 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D D B B A D C 一．选择题（共10小题） 1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【解答】解：设反比例函数的解析式为y（k≠0），函数的图象经过点（3，﹣2）， ∴﹣2，得k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y． 故选：B． 2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1， ∴sinA， 故选：A． 3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 【解答】解：∵sin30°＝cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选：C． 4．对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象与x轴有两个交点 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．当x＝2时，y有最大值﹣3 【解答】解：∵yx2+x﹣4（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）， ∵a0， 当x＝2时，y有最大值﹣3，当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线与x轴没有公共点． 故选：D． 5．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3 【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y，得y1＝﹣3﹣m，y2， ∵y1＞y2， ∴﹣3﹣m， 解得m＜﹣3， 故选：D． 6．已知二次函数y（x）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵a0， ∴抛物线开口向上，所以①正确； ∵y（x）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x，顶点坐标为（，1），所以②③错误； 当x时，y随x的增大而减小，所以④正确； 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B． 7．如图，在一个8×8的正方形网格中有一个△ABC，其顶点均在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵CD，BD2，BC5， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，∠BDC＝90°， ∴cos∠ACB； 故选：B． 8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2 【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线C1的顶点为（1，2）， ∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）， ∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称， ∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2）， ∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2， 故选：A． 9．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　） A． B．2 C．4 D．8 【解答】解：设B（a，b）， 由平移知，E（a+6，b），C（6，0）， ∵F是CE的中点， ∴F（a+6，b）， ∵B、F点在双曲线y上， ∴k＝ab（a+6）， ∴a＝4， ∵B（4，）， ∴OB ∵OB＝6， ∴， ∵k＞0， ∴k 故选：D． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①由抛物线开口方向向下知，a＜0． 由抛物线对称轴位于y轴右侧知，a、b异号，即ab＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 则abc＜0． 故错误； ②由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0． 故错误； ③由对称轴x1知b＝﹣2a，则a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，即a+b＞0． 故正确； ④如图所示，当x＞1时，y随x的增大而减小， 故错误； ⑤如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣1，0）． 所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，即3a+c＝0， 故正确； ⑥∵3a+c＝0． ∴c＝﹣3a． ∴c﹣4b＝﹣3a﹣4b＝﹣3a+8a＝5a＜0． 故正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．△ABC中，若（sinA）2+|cosB|＝0，则∠C＝　120°　 ． 【解答】解：∵（sinA）2+|cosB|＝0， ∴sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 故答案为：120°． 12．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y的图象上，则函数值y1，y2，y3的从大到小的关系是y1＞y3＞y2 ． 【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大， ∴y1＞0，y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故答案为y1＞y3＞y2． 13．如图，已知点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　4　 ． 【解答】解：设点A的坐标为（xA，yA），AB⊥y轴， 由题意可知：， ∴yA•xA＝4， 又点A在反比例函数图象上， 故有k＝xA•yA＝4． 故答案为：4． 14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　﹣1＜x＜3　 ． 【解答】解：由图象可知： 抛物线的对称轴为：x＝1， 抛物线与x轴的一个交点为：（3，0）， 则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1， 由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3， 即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　　 ． 【解答】解：将点（3，1），（6，﹣5），代入二次函数表达式得：，解得：， 当a＞0时，则函数对称轴在x＝6的右侧，即x6，即6，解得：a， 同理当a＜0时，则函数对称轴在x＝3的左侧，即x3，即3，解得：a， 故答案为：a且a≠0． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）；（2）． 【解答】解：（1）原式＝1； （2）原式（）． 17．一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示． （1）试确定V与ρ之间的函数表达式； （2）当ρ＝2.5kg/m3时，求V的值． 【解答】解：（1）设V与ρ之间的函数表达式为：V，把（1.5，4）代入得： k＝6， 故V与ρ之间的函数表达式为：； （2）当ρ＝2.5kg/m3时，V2.4（m3）． 18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°． ①求BD和AD的长； ②求tanC的值． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°， ∴BDAB＝3， ∴ADBD＝3； （2）CD＝AC﹣AD＝532， 在Rt△BCD中，tan∠C． 19．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A，B两点的坐标； （2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴A（﹣1，0），B（2，0）； （2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2， 解得m1＝0，m2＝1， ∴m的值为0或1． 20．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH． （1）求sinB的值； （2）如果CD，求BE的值． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠BCD， ∵AE⊥CD， ∴∠CAH+∠ACH＝90°， 又∠ACB＝90° ∴∠BCD+∠ACH＝90° ∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH， ∵AH＝2CH， ∴由勾股定理得ACCH， ∴CH：AC＝1：， ∴sinB； （2）∵sinB， ∴AC：AB＝1：， ∴AC＝2． ∵∠CAH＝∠B， ∴sin∠CAH＝sinB， 设CE＝x（x＞0），则AEx，则x2+22＝（x）2， ∴CE＝x＝1，AC＝2， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝2CD＝2， ∴BC＝4， ∴BE＝BC﹣CE＝3． 21．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午10点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，中午12点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？ 【解答】解：过P作PD⊥AB于点D． ∵∠PBD＝90°﹣60°＝30° 且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15° ∴∠PAB＝∠APB ∴BP＝AB＝15×2＝30（海里） ∵在直角△BPD中，∠PBD＝∠PAB+∠APB＝30° ∴PDBP＝15海里＜25海里 故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行． 22．如图，已知二次函数y1＝﹣x2x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）将A点坐标代入y1，得 ﹣16+13+c＝0． 解得c＝3， 二次函数y1的解析式为y＝﹣x2x+3， B点坐标为（0，3）； （2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4， ∴x＜0或x＞4时，y1＜y2； （3）直线AB的解析式为yx+3， AB的中点为（2，） AB的垂直平分线为yx 当x＝0时，y，P1（0，）， 当y＝0时，x，P2（，0）， 综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE． （1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式． （2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值． 【解答】解：（1）∵B（6，4），点F是AB的中点， ∴点F的坐标为（6，2）， ∵反比例函数y（k＞0）的图象过点F， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数解析式为y， 把y＝4代入y得，4， 解得x＝3， ∴E（3，4）， 设直线AE的解析式为y＝ax+b， ∴ 解得， ∴直线AE的解析式：； （2）设，则， ∴S•（6）k2k（k﹣12）2+3， ∴当k＝12时，S最大，最大值是3． 声明：试题 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $