贵州省铜仁第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

铜仁市第一中学2025-2026学年高二上学期10月数学测试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则（　　） A．230 B．201 C．157 D．119 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰高的数学名著.书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（       ） A．22斛 B．36斛 C．42斛 D．88斛 7．某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为(　　) A． B． C． D． 8．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（    ） A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 二、多选题（本大题共3小题） 9．某学校随机抽取名学生数学周测成绩的频率分布直方图如  图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（    ）      A．众数为或 B．分位数为 C．平均数为 D．中位数为 10．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD的中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域(阴影部分)的面积为f(x)，则下列说法正确的是(　　) A．f()＝ B．f(x)在(，π)上单调递减 C．f(x)＋f(π－x)＝4 D．f(x)图象的对称轴方程是x＝ 11．（多选）已知平面向量，，，，，，且, ，则（ ） A. 与的夹角为 B. 的最大值为5 C. 的最小值为2 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题） 12．设是虚数单位，若是纯虚数，则实数 . 13．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ． 14．我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.    如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数. （1）的定义域是 ；（2）的最小值是 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点. （1）求证：; （2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 16．某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10分，猜错得分，参赛者初始积分为0分.若某轮比赛后总积分为0分或低于0分，则被淘汰，不能继续参加后面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是，记其参加了轮比赛后的总积分为. （1）求的概率； （2）求的概率； （3）求甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 17．设，已知函数，. （Ⅰ）当时，判断函数的奇偶性； （Ⅱ）当时，证明：； （Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 如图,已知给定线段的长为2,以为底边作顶角为的等腰三角形,取的腰的三等分点,靠近,以为底边向外部作顶角为 的等腰三角形, ,依次类推,取的腰的三等分点,靠近,以为底边向外部作顶角为 的等腰三角形,得到三角形列. （1） 用 表示出的外接圆半径; （2） 当 时,证明:的各顶点均在的外接圆上或其内部; （3） 若各顶点均在外接圆上或其内部,求 的取值范围. 19．对于函数，，若存在非零实数以及，使得，则称函数为“伴和函数”. (1)设，，判断是否存在非零实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)设，证明：函数，为“伴和函数”； (3)设，若函数，为“1伴和函数”，求实数的取值范围. 参考答案 1．【答案】B 【详解】由题意可得. 故选B. 2．【答案】B 【分析】根据不等式的解法求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】解：由集合，， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：B. 3．【答案】B 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选B. 4．【答案】C 【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到图象对应的函数解析式为， 再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为 . 故选C． 5．【答案】A 【详解】由， 得，又， 令，则， 令，即，又， 所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选A 6．【答案】A 【分析】 由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求总体积，再代换为斛即可. 【详解】 解：设圆锥的底面半径为，则，又取圆周率约为3 解得，故米堆的体积（立方尺）． 因为1斛米的体积约为1.6立方尺，故总体积为（斛） 故选：A 7．【答案】　B 【详解】　由题意，此人从小区A前往小区H的所有最短路径包含的样本点有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6个．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点有A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝ ＝ ，即他经过市中心O的概率为 . 8．【答案】A 【分析】根据题意结合正弦定理和余弦定理分析判断. 【详解】对于选项：当测出， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 在中，可得，由余弦定理即可求得间的距离； 对于选项：结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法求得间的距离， 且中仅能得出边BM，所以无法求得间的距离，故B错误； 对于选项C：中仅确定，条件不足，无法求出，更无法求得间的距离，故C错误； 对于选项，结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法求得间的距离， 且中仅能得出边，所以无法求得间的距离，故D错误； 故选：. 9．【答案】BC 【详解】A选项：由频率分布直方图可知众数为，A选项错误； B选项：由频率分布直方图可得，所以分位数为，B选项正确； C选项：由频率分布直方图可知平均数为，C选项正确； D选项：由频率分布直方图可得，，所以中位数， 所以，解得，D选项错误； 故选：BC. 10．【答案】AC　 【详解】对于A选项，当0<tan x≤2时，设OP交AB于点E， tan x＝tan ∠AOE＝＝|AE|， 所以f(x)＝|OA|·|AE|＝tan x， 因为0<tan ≤2，所以f()＝tan ＝，A选项正确； 对于B选项，当x∈(，π)时，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域(阴影部分)的面积显然逐渐增加，即函数f(x)在(，π)上单调递增，B选项错误； 对于C选项，取BC的中点G，连接OG， 设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F， 则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π－x， 将射线OF绕O点按逆时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f(x)， 因为S＋f(π－x)＝4，所以f(x)＋f(π－x)＝4，C选项正确； 对于D选项，由C选项可知， f(x)＋f(π－x)＝4，则f()＋f()＝4， 所以 f()＝4－f()＝≠f()，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，D选项错误． 故选AC. 11．【答案】ACD 【解析】对于A，由于，,，所以,， 则,，由于, ，故与的夹角为 ，故A正确. 对于B，设，，，则，， 不妨设， ，由于，即， 故为等腰三角形，则 ，故. 因为, ，所以, ， 则点C在以为弦，且使得 的两个优弧上，如图所示. 故C点所在优弧所在的圆的直径为，则其半径， 设该圆的方程为，将A，B坐标代入， 得 解得或 则两优弧所在圆的圆心分别为，，且两个圆心关于直线对称，设的中点为，则 ， 而到弦的距离， 故的最大值为，则的最大值为6， 即的最大值为6，故B错误. 对于C，即为，结合C点轨迹可知当C在圆上的那段优弧上运动时， 会取到最小值，由于， 故的最小值为，即的最小值为2，故C正确. 对于D，结合B项分析可知，, 当C在圆上的那段优弧上运动时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 所以 解得 即，所以， 当C在圆上的那段优弧上运动时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 所以 解得 即， 所以. 综上所述，的取值范围为，故D正确. 故选. 12．【答案】0 【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案. 【详解】由题意得，因为是纯虚数，则 ，即， 故答案为：0 13．【答案】 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 14．【答案】 【详解】如图，连接，    由题知，平行且等于，平行且等于， 所以，，故为平行四边形， 所以对角线，则是的中点， 同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点， 由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则， 显然，故，同理， 所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体，    综上，题设右图可将补成长方体，设长宽高分别为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为， 所以， 显然，，，则， 设，因为直线过椭圆焦点，所以， 联立，得，则， 所以，则，又，，， 所以， 则，即， 由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角， 所以只需角为锐角，即，则，可得， 由， 所以最大时，最小， 令，则， 由在上单调递增，故， 所以. 15．【答案】（1）见证明；(2)见解析 【分析】 （1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面； （2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明. 【详解】 （1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故 ∵面 ∴面 （2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 理由如下：由点分别为中点可得： ∵面 ∴面 由（1）可知，面 且 故面面 16．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）用1表示某轮猜中，用表示某轮猜错. 由，则前5轮猜灯谜的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，或1，1，1，，1或1，1，，1，1， 故的概率. （2）由，则前7轮猜谜语的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，，，或1，1，1，，1，，， 或1，1，，1，1，，或1，1，，1，，1，， 或1，1，1，，，1，， 故的概率. （3）甲在参加了轮比赛后被淘汰，其比赛情况用1，表示得到的数列， 第一项是1，最后一项是，中间项是由个1，个组成的数列， 观察中间项组成的新数列，记其前项和为，则对恒成立. 由个1，个组成的数列，共有个. 现在考虑，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数. 不妨设满足的的最小值为，则一定有，且为奇数， 这个数列的前项有个1和个， 将此数列的前项中的1改成，改成1，其他项不变， 这样就得到了由个1，个组成的数列； 反过来，由个1，个组成的数列， 因为其前项和为2，所以一定存在，使得其前项和大于0， 找到这样的的最小值，则前项和为1，且为奇数， 前项中有个和个1， 将其前项中的改成1，1改成，其他项不变， 则得到的数列是由个1，个组成的数列，且. 因此，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数， 等于由个1，个组成的数列的个数，为. 所以中间项符合条件的数列个数是. 因此，甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 17．【答案】（Ⅰ）为偶函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义可判断为偶函数. （Ⅱ）利用绝对值不等式可证. （Ⅲ）就、、分类讨论，注意利用（Ⅱ）的结论和绝对值不等式放缩后可求函数的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当时，，定义域为， 且对于任意的，有恒成立， 所以函数为偶函数. （Ⅱ）当时，因为， 所以， . 即对于任意的，恒成立. （Ⅲ）记的最大值为， 则恒成立. （ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知， 对于任意的，恒成立， 所以，. 由解得. （ⅱ）当时，因为， 所以，恒成立. （ⅲ）当时，因为， 所以，， 此时， 由，得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】本题含绝对值函数的奇偶性以及与绝对值函数相关的不等式的恒成立，还考查了放缩法，对于不等式的恒成立问题，注意利用绝对值不等式合理放缩，本题属于较难题. 18．【答案】 （1） 【解】第一步:根据已知，将基本关系找出来 设的外接圆半径为，则，············1分 .············2分 第二步:求出的外接圆半径 又 ，所以，············3分 所以的外接圆半径.············4分 （2） 【证明】第一步:设量 如图，设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，.············6分 第二步:确定与的关系 因为的中点也为，所以的垂直平分线与的垂直平分线重合.············7分 第三步:根据共线关系，推出结论 已知，，三点都在的垂直平分线上，则，············8分 则，所以.············9分 又， 所以的外接圆内切于的外接圆.············10分 所以的各顶点位于的外接圆上或其内部.············11分 第四步:利用结论，得出结果 这样反复进行，则的各顶点均在的外接圆上或其内部.············12分 （3） 【解】第一步:确定不等关系 由已知，得点位于的外接圆上或其内部， 所以.············13分 第二步:求出需要的线段 由（2）知， ，············14分 .············15分 第三步:根据不等关系求出角的范围 因为，即，解得，又 ,则 .············16分 第四步:根据角的范围和结论求出结果 所以当 时，可得. 由（2）知,,共线，故，即. 故,所以的各顶点位于的外接圆上或其内部，则的各顶点均在的外接圆上或其内部，所以 的取值范围为.············17分 19．【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）假设存在满足题意，即可得到，判断方程无解，即可得解； （2）依题意可得，令，，结合零点存在性定理说明即可； （3）依题意可得在上有解，换元、结合基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）若存在，使得在中存在，， 即关于的方程，整理得. 该方程判别式，从而无解. 因此不存在，使得函数为“伴和函数”. （2）考虑关于的方程， 即， 整理得. 记，， 对于函数，，，且其图像是连续曲线， 因此函数在区间有零点，从而在上存在零点. 不妨设其中的一个零点为，则满足，因此函数为“伴和函数”. （3）若函数，为“伴和函数”，则关于的方程在区间上有解. 方程即， 根据对数的运算性质，方程可以整理为， 也即. 令，，则，且， 于是上式可化为. 由均值不等式，等号成立当且仅当，即. 函数的值域为， 从而函数的值域为. 因此，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【关键点拨】对于新定义问题，关键是理解定义，本题实际即证明方程有解问题，以及由方程有解求参数的取值范围. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $