贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．海上丝绸之路的起点城市一泉州，有着丰厚的文化底蕴，作为国家级非遗的蟳埔女簪花围习俗，是福建博大精深的海洋文化“百花园”中的一朵香花．某机构随机调查了18位“簪花围”体验者对这一活动的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的下四分位数，则a的值不可能为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 3．椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．函数f(x)=sin的最小正周期为 (　　) A．4π B．2π C．π D． 二、单选题（本大题共3小题） 9．已知复数，，则（    ） A． B．的共轭复数为 C．复数对应的点位于第二象限 D．复数为纯虚数 10．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11．已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题） 12．是等比数列的前项和，已知，则 ． 13．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_________．(用数字作答) 14．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为 ． 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 (1)求角的大小； (2)若，，求边的值； (3)若，求的值. 16．（15分） 如图,点是以为直径的半圆上的动点,已知,且,平面 平面. （1） 证明:； （2） 若线段上存在一点满足,当三棱锥的体积取得最大值时,求平面与平面夹角的余弦值. 17．甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 18．（15分） 已知双曲线的离心率为,为坐标原点,过的右焦点的直线交的右支于,两点,当轴时,. （1） 求的方程. （2） 过作直线的垂线,垂足为. （ⅰ） 证明:直线过定点; （ⅱ） 求面积的最小值. 19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数m，n的值； (2)证明：当时，； (3)设a为实数，讨论函数的单调性. 参考答案 1．【答案】D 【详解】由题设，故，而， 所以. 故选D 2．【答案】D 【详解】因为，所以这组数据的下四分位数为从小到大排列的第个数， 依题意可得，所以不可能为. 故选：D 3．【答案】A 【详解】如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c,0)， 则＝(a，b)，＝(－c，b)． 因为∠B1PA2为向量与的夹角， 且∠B1PA2为钝角， 所以·<0，所以b2－ac<0． 又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0， 两边同时除以a2得1－e－e2<0， 解得e<或e>， 因为e∈(0,1)，所以<e<1． 4．【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系和正弦的二倍角公式可求解. 【详解】因为，，可得， 所以， 所以. 故选：D. 5．【答案】A 【分析】设出圆锥的母线和高，根据侧面积公式得到方程，求出母线，进而求出圆锥的高，利用圆锥体积公式求出答案. 【详解】圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为，高为， 则，解得，由勾股定理得， 故圆锥的体积为. 故选A. 6．【答案】A 【分析】 求得时对应的值，由此确定正确选项. 【详解】 时，或（）， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 7．【答案】B 【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为， 当，则在定义域上递减，则， 此时，若，即时，最小值为； 若，即时，无最小值； 当，则在定义域上为常数，而，故最小值为； 当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值. 综上，. 故选：B 8．【答案】C　 【详解】根据正弦型函数的周期公式可得T==π．故选C． 9．【答案】AD 【详解】因为，，则，，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，复数对应的点位于第四象限，故C错误； 为纯虚数，故D正确． 故选AD. 10．【答案】AB 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 11．【答案】BD 【分析】对A，根据令结合为奇函数推导即可；对B，根据结合为奇函数，再令推导即可；对C，求出判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得，进而判断即可. 【详解】对A，由，令可得，又为奇函数，故，，故A错误； 对B，由及可得， 又为奇函数，则，令则， 故.故B正确； 对C，由及可得，当时不成立，故C错误； 对D，由AB可得且周期为2，故，故，故D正确； 故选：BD 12．【答案】或 【详解】， ，即， 因为，所以， 解得或， 又， 所以，即， 所以或-3. 故答案为：或. 13．【答案】　210 【详解】　从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有 ＝210(种)分法． 14．【答案】 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求. 故答案为： 15．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得： ，即， 因为，所以，则； （2）由（1）知，又，， 由余弦定理得：，即， 解得，则； （3）由得：， 则， 所以， . 16．【答案】 （1） 【证明】第一步:取点连线 如图①,过点作,垂足为.…………1分 第二步:由面面垂直推出线面垂直,再推出线线垂直 因为平面 平面, 且平面 平面, 平面, 所以 平面.…………2分 又 平面,所以.…………3分 第三步:由圆的直径所对的圆周角为直角,得线线垂直 因为为直径,所以.…………4分 第四步:证明线面垂直 因为,, 平面, 所以 平面. 第五步:由线面垂直得线线垂直 因为 平面,所以.…………5分 第六步:证明线面垂直、线线垂直 又因为,且, 平面,, 所以 平面. 因为 平面,所以.…………6分 图① （2） 【解】第一步:寻找三棱锥体积最大时的条件 由（1）知, 平面, 所以.…………7分 当且仅当时,取得等号, 此时取得最大值.…………8分 第二步:建立空间直角坐标系 如图②,过点作,垂足为,易知为的中点，以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系. 图② 第三步:求点和向量的坐标 则,,,,，…………10分 所以,,…………12分 第四步:求平面的法向量 易知平面的一个法向量为, 设平面的法向量为, 则即 令,解得,, 所以.…………14分 第五步:根据公式求两个平面夹角的余弦值 则平面与平面夹角的余弦值为,.…………15分 17．【答案】(1) (2)分布列见解析，最大值为 【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； （2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. 18．【答案】 （1） 第一步:根据离心率求,,间的关系 因为的离心率为，所以（提示:当双曲线的离心率为时，该双曲线为等轴双曲线线），.…………1分 第二步:根据弦的长求,的值 因为当轴时，， 所以不妨令，代入中，得，所以（另解:也可以利用双曲线的通径公式求解，即过焦点且与轴垂直的弦叫双曲线的通径，其长为（焦点在轴上），则有，所以），…………3分 第三步:写出双曲线方程 则的方程为.…………4分 （2） （ⅰ） 第一步:设出直线的方程,并与双曲线方程联立 设,，则. 由题意知直线的倾斜角不为0，所以设，…………5分 与联立，得，…………6分 所以,， 所以,.…………7分 第二步:由点斜式写出直线的方程 因为，所以直线的方程为（关键:根据斜率公式，利用点的坐标表示出直线的方程）.…………8分 第三步:判断定点所在位置，结合根与系数的关系求定点坐标 由双曲线对称性得直线所过定点必在轴上， 故令，得，则.…………9分 因为，所以. 因为,，所以，所以，所以， 所以直线恒过定点.…………10分 （ⅱ）第一步:求出的面积的表达式 因为（关键:将分割为两个三角形，即与，从而利用弦长公式求解），…………11分 第二步:求的取值范围 由得，所以.…………12分 第三步:换元，构造函数，利用函数的单调性求面积的最小值 令， 所以.…………13分 令,，则， 所以在上单调递增，…………14分 所以，所以, 所以面积的最小值为.…………15分 19．【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)答案见详解 【详解】（1）由，知：； ，，，， ，，，. （2）证明：由（1）知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. （3）由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令，得， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $