第1-2章阶段重难点检测卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1-2章阶段重难点检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 3．已知关于x的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 4．如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程的两根互为倒数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 6．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出132条信息，求这个群有（    ）人． A．11人 B．12人 C．13人 D．14人 8．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是方程的解，则式子的值为 ． 12．已知是方程的两个根，则的值为 ． 13．一件原价为元的衣服经过两次降价后的价格为元，若设每次降价的百分率都是，则为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 15．物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了 ． 16．如图，四边形的点，，都在上，，分别与相切于B，D两点，，则的度数为 ． 三、解答题 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．某超市经销一种优质蔬菜，进货价为30元/千克． (1)当售价为40元/千克时，经过连续两次降价后售价为25.6元/千克，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． (2)经市场调查发现，当蔬菜售价为38元/千克时，每天可售出400千克，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，那么每千克应涨价多少元？ 19．如图是上的一段弧，在平面直角坐标系中，、、． (1)请你利用网格线，用无刻度的直尺在图中画出圆心M的位置； (2)点M的坐标为________；的半径为________； (3)点与的位置关系是点D在________． 20．（1）已知：中，，，第三边长是的一个实数根，求：的面积 （2）阅读材料： 我们知道：任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且． 据此，我们可以得到下面的推理： ， 而，， 故的最小值是2． 试根据以上方法：判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 21．如图，为直径，为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为，求的长． 22．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 23．综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24．已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点． (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线 分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以点为圆心， 为半径画圆． ①当点与点重合时，求证：直线与相切； ②设与直线相交于两点，连结．问：是否存在这样的点，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-2章阶段重难点检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D B B C D D 1．B 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开方，得． 故选：B 2．A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 3．B 【分析】根据根与系数的关系求出，，再求代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知，根据根与系数的关系， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系的问题，熟练掌握是解决本题的关键． 4．C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 5．D 【分析】根据已知和根与系数的关系得出，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值． 【详解】解：∵方程的两根互为倒数， ∴， ∵当时，方程的判别式， 方程有两个实数根，符合题意． ∴的值为. 故选：D. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，是关于x的一元二次方程（为常数）的两个实数根，则，． 6．B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息，根据共发出132条短信列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个微信群的人数为人． 故选：B． 8．C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 9．D 【分析】本题考查新定义运算和一元二次方程根的判别式．先理解题目给出的新定义运算，根据新定义运算将展开得到一个一元二次方程，再根据一元二次根的判别式得到一个一元一次不等式，解不等式即可求出结果，此时需要考虑． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质以及圆的性质，解题的关键是利用轴对称性质确定点的运动轨迹，再根据几何关系求出最小时点的坐标． 根据轴对称性质确定点的轨迹，再结合几何知识求出最小时点的坐标． 【详解】解：因为四边形是正方形，，所以， 因为点关于的对称点为，所以， 即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 要求最小，如图，根据点到圆上一点的距离，当在连线上时，最小， ， ， 过作交于，又， ， ， ， 点的坐标， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及求代数式的值，整体代入思想是解题的关键．把代入方程得到的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】将代入方程得， 则． 故答案为：． 12．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率都是，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据原价为元的衣服经过两次降价后的价格为元，可列方程：，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， 两边同时开平方得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 为． 14．． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查切线性质及圆周角定理，先根据切线得到，再结合四边形内角和得到，最后根据同弧所对圆周角等于圆心角一半即可得到答案； 【详解】解：∵，分别与相切于B，D两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）根据因式分解法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18．(1) (2)4元或8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每千克应涨价4元或8元． 19．(1)见解析 (2)， (3)内 【分析】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点M． （2）根据图形即可得出点M的坐标． （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求， （2）解：由图可知，点M的坐标为． 连接， 由勾股定理得，即的半径为， 故答案为：，． （3）解：∵，， ∴， ∴点在内， 故答案为：内． 20．（1）96；（2）有最小值，为8． 【分析】（1）解一元二次方程得，，分类讨论：当时，得是直角三角形，利用三角形的面积公式求解即可；当时，不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）利用配方法得，进而判断即可求解． 【详解】解：（1）， 解得，， 当时，，即， ∴是直角三角形， ； 当时，， ∴不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）存在最小值，最小值为8，理由如下： ∵， ∴， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查解一元二次方程、三角形的三边关系、勾股定理逆定理、配方法的应用、非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 22．(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的判定与性质，圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、，则，所以，由，得，由是的直径，，求得，则，即可证明为的切线； （2）由，，得，由勾股定理得，求得，则的半径为3． 【详解】（1）解：证明：连接、，则， ， ， ， 是的直径，是的中点， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线 （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 23．(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 24．(1) (2)①证明过程见详解；②存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）过点作轴于点，连接，由等腰三角形的定义，圆的切线的性质，垂径定理即可求解； （2）①根据题意得到，，过点作于点，可得，结合切线的判定即可求解； ②根据题意得到直线，即直线的解析式为，根据是等腰直角三角形，得到，，，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点，连接， ∵点是切线，过点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为， ∴的直径为； （2）解：①证明：直线分别交轴和轴于点和点， 令时，，令时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵以点为圆心，为半径画圆，点与点重合， ∴即为的半径，且点为半径外端点，， ∴直线与相切； ②存在，理由如下， 已知， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线，即直线的解析式为， 已知设与直线相交于两点，当点与点重合时，直线与相切， ∴点的横坐标大于，即点在点的上方， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， 如图所示，当点在位置时， ∴， ∴，， ∵点在直线的图象上，点在直线的图象上， ∴设， ∴，， ∴， 已知以点为圆心，为半径画圆， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当点在位置时，设两直线的交点为，故点作轴，交所在直线于点，交所在直线于点， ∴， 解得，， ∴，则，， ∵， ∴轴，轴，， ∴，则，且， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，，则， ∴， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴根据对称的性质得到； 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，圆的切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称图形的性质等知识的综合，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $