3.1函数的概念及其表示讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念及其表示（原卷版） 一、思维导图 二、知识梳理 1．函数的概念 （1）函数的定义 设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，． 关键限定：①定义域、值域（）均为非空数集；②对应关系的“任意性”（中所有都有对应）和“唯一性”（一个仅对应一个，“一对多”不成立，“多对一”成立）． （2）函数的三要素 函数的本质由定义域、对应关系、值域三个要素决定，三者缺一不可： ①定义域：自变量的取值范围（集合），是函数的“输入范围”，需满足数学限制（如分母不为、偶次根式被开方数非负）和实际问题意义（如时间、长度为非负数）； ②对应关系：将映射到的规则（如、），是函数的“核心机制”，可用符号表示； ③值域：函数值的取值范围（集合），是函数的“输出范围”，由定义域和对应关系唯一确定（即定义域和对应关系相同，值域必相同）． 2．函数的表示方法 函数的表示需直观反映“输入-输出”关系，常用三种方法，各有适用场景： （1）解析法（公式法） 定义：用数学表达式（解析式）表示对应关系，如、； 特点：精确、便于计算和推导（如求函数值、分析单调性）； 注意：①解析式需明确定义域（若未注明，默认使解析式有意义的的集合）；②分段函数是特殊的解析法（用多个解析式表示一个函数）． （2）列表法 定义：用表格列出自变量与对应函数值的对应关系，如一次函数的列表： … … 特点：直观、便于查找离散数据的函数值； 适用场景：自变量为离散值（如整数、特定点）或实际问题（如工资表、时刻表）． （3）图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标、函数值为纵坐标，描出所有对应的点，形成的图形即为函数图象； 特点：直观、便于分析函数的整体性质（如单调性、最值、对称性）； 作图步骤：①确定定义域；②选取有代表性的值（如端点、零点、对称轴处）计算值；③描点、连线（连续函数用平滑曲线，离散函数用孤立点）． （4）分段函数 定义：在定义域的不同子集上，对应关系用不同解析式表示的函数，如； 核心特征：①定义域是各子集的并集；②图象由多段“局部图象”组成；③本质是一个函数（非多个函数），需满足“任意对应唯一”． 3．函数定义域的求解 定义域是函数的“基础范围”，求解需遵循“数学限制+实际意义”双重原则，常见类型及限制条件如下： （1）基本类型的定义域限制 函数类型 限制条件 示例 分式型（） 分母 ： 偶次根式型（） 被开方数 ： 奇次根式型（） 无限制（实数集） ： 实际问题型 符合实际意义（如时间） 路程函数： （2）复合函数的定义域（初步） 若函数由两个函数复合而成（如，为外层函数，为内层函数），则定义域需满足：①内层函数的定义域；②外层函数的定义域（需在的定义域内）． 4．函数相等的判断 两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同（值域由前两者唯一确定，无需单独判断），判断步骤如下： 第一步：判断定义域是否相同（若定义域不同，直接不相等）； 第二步：判断对应关系是否相同（对任意，两函数的函数值计算规则一致，与字母符号无关）． 三、题型精讲 题型一、函数概念的辨析 【例1】下列图象中，不能作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二、判断两个函数是否为同一函数 【例2】下列选项中，表示的是同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】（多选题）下列函数为同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三、简单函数的定义域 【例3】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】函数的定义域为　 　． 题型四、抽象函数的定义域 【例4】已知函数的定义域是，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练4】若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 题型五、由定义域求解函数或参数 【例5】 “函数的定义域为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练5】若函数的定义域为，则实数的取值范围是　 　． 题型六、函数的值域 【例6】当时，函数的值域为　 　． 【跟踪训练6】函数的值域为　 　． 题型七、函数表示方法的选择与转换 【例7】2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势． 下列说法错误的是（　　） A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2，最高气温为12 C．根据图象，这一天12时所对应的温度为10 D．根据图象，这一天21时所对应的温度为6 【跟踪训练7】对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（　　） A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5时电量为0 C．该手机在0∼3内电量下降的速度比3∼5内下降的速度更快 D．该手机在5∼6进行了充电操作 题型八、求函数解析式 【例8】已知，则（　　） A． B． C．（） D．（） 【跟踪训练8】若函数满足，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 四、对点精练 1．（多选题）已知是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（　　） A． B． C． D． 2．下列表示是同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为　 　． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 7．我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数满足，且，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 函数的概念及其表示（解析版） 一、思维导图 二、知识梳理 1．函数的概念 （1）函数的定义 设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，． 关键限定：①定义域、值域（）均为非空数集；②对应关系的“任意性”（中所有都有对应）和“唯一性”（一个仅对应一个，“一对多”不成立，“多对一”成立）． （2）函数的三要素 函数的本质由定义域、对应关系、值域三个要素决定，三者缺一不可： ①定义域：自变量的取值范围（集合），是函数的“输入范围”，需满足数学限制（如分母不为、偶次根式被开方数非负）和实际问题意义（如时间、长度为非负数）； ②对应关系：将映射到的规则（如、），是函数的“核心机制”，可用符号表示； ③值域：函数值的取值范围（集合），是函数的“输出范围”，由定义域和对应关系唯一确定（即定义域和对应关系相同，值域必相同）． 2．函数的表示方法 函数的表示需直观反映“输入-输出”关系，常用三种方法，各有适用场景： （1）解析法（公式法） 定义：用数学表达式（解析式）表示对应关系，如、； 特点：精确、便于计算和推导（如求函数值、分析单调性）； 注意：①解析式需明确定义域（若未注明，默认使解析式有意义的的集合）；②分段函数是特殊的解析法（用多个解析式表示一个函数）． （2）列表法 定义：用表格列出自变量与对应函数值的对应关系，如一次函数的列表： … … 特点：直观、便于查找离散数据的函数值； 适用场景：自变量为离散值（如整数、特定点）或实际问题（如工资表、时刻表）． （3）图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标、函数值为纵坐标，描出所有对应的点，形成的图形即为函数图象； 特点：直观、便于分析函数的整体性质（如单调性、最值、对称性）； 作图步骤：①确定定义域；②选取有代表性的值（如端点、零点、对称轴处）计算值；③描点、连线（连续函数用平滑曲线，离散函数用孤立点）． （4）分段函数 定义：在定义域的不同子集上，对应关系用不同解析式表示的函数，如； 核心特征：①定义域是各子集的并集；②图象由多段“局部图象”组成；③本质是一个函数（非多个函数），需满足“任意对应唯一”． 3．函数定义域的求解 定义域是函数的“基础范围”，求解需遵循“数学限制+实际意义”双重原则，常见类型及限制条件如下： （1）基本类型的定义域限制 函数类型 限制条件 示例 分式型（） 分母 ： 偶次根式型（） 被开方数 ： 奇次根式型（） 无限制（实数集） ： 实际问题型 符合实际意义（如时间） 路程函数： （2）复合函数的定义域（初步） 若函数由两个函数复合而成（如，为外层函数，为内层函数），则定义域需满足：①内层函数的定义域；②外层函数的定义域（需在的定义域内）． 4．函数相等的判断 两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应关系相同（值域由前两者唯一确定，无需单独判断），判断步骤如下： 第一步：判断定义域是否相同（若定义域不同，直接不相等）； 第二步：判断对应关系是否相同（对任意，两函数的函数值计算规则一致，与字母符号无关）． 三、题型精讲 题型一、函数概念的辨析 【例1】下列图象中，不能作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，任意一个，有唯一确定的对应，所以C选项不能作为函数图象．故选C． 【跟踪训练1】（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【解析】对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确；对于B，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数，故B错误；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝1，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确．故选AD． 题型二、判断两个函数是否为同一函数 【例2】下列选项中，表示的是同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，它们定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，函数与的对应关系不同，它们不是同一函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，它们定义域不同，它们不是同一函数，故C错误；对于D，显然，因为函数是两个非空数集之间的对应关系，所以与用什么字母表示自变量，用什么字母表示因变量没有关系，所以函数与是同一函数，故D正确．故选D． 【跟踪训练2】（多选题）下列函数为同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BCD 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，，，两函数为同一函数，故B正确；对于C，中，令，解得，中，令，解得，所以两函数定义域相同，又，所以两函数为同一函数，故C正确；对于D，当时，，当时，，所以，所以两函数为同一函数，故D正确．故选BCD． 题型三、简单函数的定义域 【例3】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使原函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为．故选D． 【跟踪训练3】函数的定义域为　 　． 【答案】 【解析】要使函数有意义，须满足，解得，所以函数的定义域为． 题型四、抽象函数的定义域 【例4】已知函数的定义域是，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域是，所以，则中，，解得，所以的定义域为．故选C． 【跟踪训练4】若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域是，所以，解得，所以函数的定义域是．故选C． 题型五、由定义域求解函数或参数 【例5】 “函数的定义域为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，①当时，恒成立；②当时，只需，解得，所以．记集合，，因为，所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件．故选A． 【跟踪训练5】若函数的定义域为，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，当时，的图象开口向下，不满足题意；当时，恒成立，满足题意；当时，，解得．综上所述，实数的取值范围是． 题型六、函数的值域 【例6】当时，函数的值域为　 　． 【答案】 【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，函数的值域为． 【跟踪训练6】函数的值域为　 　． 【答案】 【解析】令，则，所以（），所以当时，函数取到最大值，即函数的最大值为，所以函数的值域为． 题型七、函数表示方法的选择与转换 【例7】2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势． 下列说法错误的是（　　） A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2，最高气温为12 C．根据图象，这一天12时所对应的温度为10 D．根据图象，这一天21时所对应的温度为6 【答案】C 【解析】根据折线图可得，11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低，故A正确；11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为2，最高气温为12℃，故B正确；根据图象，这一天11时所对应的温度为8，14时所对应的温度为12，所以12时所对应的温度大约为9.33，故C错误；根据图象，这一天20时所对应的温度为7，23时所对应的温度为4，所以21时所对应的温度大约为6，故D正确．故选C． 【跟踪训练7】对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（　　） A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5时电量为0 C．该手机在0∼3内电量下降的速度比3∼5内下降的速度更快 D．该手机在5∼6进行了充电操作 【答案】ACD 【解析】对于A，充电结束时，由图象可知，电量是85%，故A正确；对于B，由图象可知，5时刻，电量剩余为30%，故B错误；C选项，由图象可知，0∼3内电量下降的速度平均为/，3∼5内下降的速度平均为/，前者更快，故C正确；对于D，由于5∼6期间电量上涨，可知进行了充电操作，故D正确．故选ACD． 题型八、求函数解析式 【例8】已知，则（　　） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【解析】设，当时，，当时，，所以，由，得，，所以（）．故选D． 【跟踪训练8】若函数满足，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以，所以．故选C． 四、对点精练 1．（多选题）已知是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为是集合到集合的函数，集合，所以，解得或，所以或或．故选BCD． 2．下列表示是同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故B错误；对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，故C正确；对于D，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故D错误．故选C． 3．函数的定义域为　 　． 【答案】 【解析】由，解得，所以函数的定义域为． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，函数有意义，等价于，解得，所以函数的定义域为．故选D． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，所以对任意恒成立，当时，显然成立；当时，有，解得．综上所述，实数的取值范围是．故选C． 6．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以函数的值域是．故选C． 7．我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义可得离家的距离由时间的变化函数先增再不变再减，再不变，最后再递增，只有D符合．故选D． 8．已知二次函数满足，且，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是二次函数，所以设（），则，由，得，化简得，所以，解得，由，得，所以．故选A． 第1页 共 21页 学科网（北京）股份有限公司 $