精品解析：吉林省联盟校考试2025-2026学年高二上学期10月期中数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第三章3.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形PABC中，（ ） A. B. C. D. 3. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 4. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知，，，与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列结论正确的有（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 是平面的一个法向量 C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（ ） A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B. 的取值范围为 C. 不可能为钝角 D. 当为等边三角形时，点P的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为___________． 13. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 14. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 16. 如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． （1）建立适当的坐标系并求点的坐标； （2）求证：． 17. 已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第三章3.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为， 故选：C． 2. 在空间四边形PABC中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法法则即可得到答案. 【详解】． 故选：A. 3. 点与椭圆的位置关系为（ ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系. 【详解】，可知点在椭圆内． 【分析】故选：B. 4. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由方程表示圆， 则， 解得. 所以实数m的取值范围为. 故选：D 5. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化成，然后利用两平行线距离公式求解即可. 【详解】由题意即为直线， 所以两平行直线之间的距离为． 故选：C 6. 已知，，，与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 7. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 8. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程 【详解】设，有， 由可知， 又由椭圆的定义有， 可得，解得， 可得， ，， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 10. 在正方体中，下列结论正确的有（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 是平面的一个法向量 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可. 【详解】如图， 由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面， 平面，所以ABD正确， 因为与所成的角为60°，所以C不正确， 故选：ABD 11. 在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（ ） A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B. 的取值范围为 C. 不可能为钝角 D. 当为等边三角形时，点P的坐标为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误. 【详解】 到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】直线在坐标轴上的截距相等有两种情况：横纵截距存在且都为0和横纵截距存在且都不为0，根据两种情况分别设直线方程为和（为直线在坐标轴上的截距），代入点坐标，求出和，即可得解. 【详解】直线在坐标轴上的截距相等有两种情况： ①横、纵截距存在且都为0，即直线过原点，设直线方程为， 因为直线过点，即，解得， 所以直线方程为，即； ②横、纵截距存在且都不为0，设直线在坐标轴上的截距均为， 则直线方程可设为，即. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为． 综上，过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为或． 故答案为：或 13. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案． 【详解】解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即． 故答案为：． 14. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量中点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】，则有， 即点到直线的距离为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距； （2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长. 【小问1详解】 由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； 【小问2详解】 设坐标原点为，，， 由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24. 16. 如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． （1）建立适当的坐标系并求点的坐标； （2）求证：． 【答案】（1）作图见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【小问1详解】 因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）易得， 因，故. 17. 已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论. （2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为2， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ∴圆和圆的圆心之间的距离为， 由，可知：圆和圆相交，得证. 【小问2详解】 由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为， 圆的圆心到直线AB的距离为， ∴. 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则，令，即， 设平面法向量为，则令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 19. 已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $