微专题01 最高项系数引起的分类讨论专项训练-河北省永年区第二中学2025-2026学年高一上学期期中数学备考

永年二中高一数学上学期期中考试备考微专题（01） 内容：最高项系数引起的分类讨论 典例讲解 一、一次项系数引起的分类讨论 1．已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得.当时，，满足；当时，因为， 所以或，解得或.故选：C. 2．已知集合，若，则a的取值是（    ） A． B． C．或 D．或或0 【答案】D 【详解】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值. 【分析】当时，，满足；当时，，要使，则或，解得或，综上所述，的取值为或或0.故选：D. 3．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得，故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得，故； 综上所述：．故选：A． 3．已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，设，画出图象，数形结合思考即可； 【详解】当时，因为，所以， 由一次函数图象可得对任意时不成立； 当时，设， 画出大致图象可得，，又a，b是整数，所以或， 所以的取值的集合为，故选：A. 4．已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为 . 【答案】 【分析】先由题设得到，接着分和求出B结合分析求解即可. 【详解】因为，所以，当时，满足；当时，则或，解得或，综上所述，a的所有取值构成的集合为.故答案为：. 二、二次项系数引起的分类讨论 1．已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】C 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根.当,可得，满足题意； 当时，,解得.故的取值是0或1.故选:C. 2．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值. 【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得，，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此，所以a的取值是.故选：D 3．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得，命题的否定：.∵命题是假命题，∴命题的否定是真命题.当时，，符合题意，当时，，解得， 综上所述，的范围是.故选：A. 4．若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答. 【详解】依题意，，成立，当时，成立，即， 当时，，解得，因此得，所以的范围是.故选：A 5．（多选）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】分和两种情况，结合题设条件，得，即可求解. 【详解】因为对，恒成立，当时，，满足题意； 当时，有，解得，综上，，所以A，B和C正确，D错误，故选：ABC. 6．（多选题）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【详解】由集合至多有2个子集，所以或集合中只有1个元素. 若，则方程无解，所以，故D成立； 若集合只有1个元素，则或，所以或，故B，C成立. 综上，可得B，C，D成立.故选：BCD 7．若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分与两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】由题意，方程解集至多有两个子集，即解集中元素个数， 当时，方程为一次方程，解得，解集有1个元素，符合条件； 当时，方程为二次方程，则判别式，解得；综上，a的取值范围为 8．写出一个使关于的方程有实数根的充分不必要条件 ． 【答案】 【分析】利用方程有实根的充要条件求解充分不必要条件即可. 【详解】由方程有实数根得，当时，；当也有实数根，所以充要条件为．充分不必要条件只需要是的真子集即可． 跟踪练习 一、多选题 1．已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，根据求得的可能取值. 【详解】依题意，.对于集合，若，则，满足.若，则，由于，所以或，解得或，所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 2．若函数的定义域为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶次根式被开方数大于等于0,要使定义域为,则对任意的实数,都有成立,然后对分类讨论，即可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为,则在上恒成立 ，当时，成立.当时， ，得，综上实数的范围是：，故选：A. 3．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意有：当时，，满足题意，当时，，所以，由，所以或，解得或，所以数取值集合为，所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C. 4．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原命题与它的否定的真值相反性质将命题转化为真命题，再分类考虑即得. 【详解】由命题是假命题可知：命题是真命题， 即有：①当时，不等式恒成立；②当时，须使解得： 综上所述,可知的范围是故选：D. 5．已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值. 【详解】当时，，满足.当时，，要使，则需或，解得或，综上所述，的所有可能的取值组成的集合为.故选：C 二、多选题 1．已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，.当时满足题意；当时，有，解得.综上有，故选：ABC 2．设，．若，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出集合，再根据集合包含关系求解． 【详解】由题意，若，则，若，则，因为，所以或，即或．故选：BCD． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立；当时，则，解得. 综上所述，．故选：BCD 4．已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得：，即时，恒成立，符合题意；时，的定义域是，只需，解得：，综上所述：.故选：BCD 3、 填空题 1．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 . 【答案】0或 【分析】由方程只有一个解或两个相等的实根求解可得． 【详解】当时,，得，符合题意；当时，，得. 故或.故答案为：或． 2．关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 . 【答案】或 【分析】根据方程根的情况，讨论和两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解. 【详解】若方程有且仅有一个负实数根，则当时，，符合题意. 当时，方程有实数根，则，解得， 当时，方程有且仅有一个负实数根， 当且时，若方程有且仅有一个负实数根，则，即. 所以当或时，关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“或”. 3．设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 【答案】或 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，利用解一元二次不等式结合题意验证，即可求得答案. 【详解】若，则原不等式为，即，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故. 设，其图象为抛物线，由题意可知此抛物线开口向下才能满足条件，故.因为0为其中一个解，所以，即，所以，又，故或. 若，则不等式为，解得，因为为整数，所以，符合题意；若，则不等式为，解得3，因为为整数，所以，符合题意，所以的取值是 或， 4．若关于x的不等式的解集为，则的一个取值为 . 【答案】1（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】根据一元二次不等式解集为，对二次项系数进行分类讨论，利用判别式即可得的取值. 【详解】依题意当时，不等式的解集为，不合题意； 当时，由不等式对应的二次函数图象开口向下可知其解集不可能为，不合题意； 当时，若不等式的解集为需满足，解得或（舍） 综上可知，.所以可得的一个取值为1. 5．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据全称命题和特称命题的关系，将原命题等价转化成不等式的有解问题进行求解. 【详解】由题意，存在实数使得不等式成立， 所以不等式的解集非空， ①当时，，得，符合题意， ②当时，不等式对应的二次函数开口向下， 故的解集显然非空，符合题意， ③当时，因为不等式的解集非空，所以，即，解得或，所以或，综上或， 6．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 【答案】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得，当时，，符合题意， 当时，方程的根为和，显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意，所以实数的所有取值组成的集合是. 7．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，分类讨论a的取值范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足；②当时，， 由，得，解得，故； ③当时，，由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是， 8．已知关于的不等式的解集为，若对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有，的所有取值所组成的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【详解】根据题意，得出解集，其中，当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件；时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，综上，. 9．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为 ． 【答案】/ 【分析】考虑，和三种情况，得到前两种不合要求，分析出为方程的正实根，故，求出. 【详解】①，要想，即，故，解得，不满足，舍去； ②，，，要想，需满足在恒成立， 但的图象为抛物线，它的开口向上，故矛盾，舍去； ③，当时，，；当时，，， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解，，而，故此方程有且仅有一个正实根，故为方程的正实根，故，故， 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学上学期期中考试备考微专题（01） 内容：最高项系数引起的分类讨论 典例讲解 一、一次项系数引起的分类讨论 1．已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则a的取值是（    ） A． B． C．或 D．或或0 3．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为 . 二、二次项系数引起的分类讨论 1．已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 2．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 3．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 6．（多选）已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为 . 8．写出一个使关于的方程有实数根的充分不必要条件 ． 跟踪练习 一、单选题 1．若函数的定义域为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 3．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 1．已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 2．设，．若，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 4．已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 3、 填空题 1．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则 . 2．关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为 . 3．设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 4．若关于x的不等式的解集为，则的一个取值为 . 5．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是 . 6．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 7．已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 8．已知关于的不等式的解集为，若对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有，的所有取值所组成的集合为 . 9．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $