精品解析：四川省双流中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

四川省双流中学2025-2026学年度 高三上学期期中考试数学试题 测试时长：120分钟 满分：150分 一､单选题.（共40分） 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 4. 在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得， 又，所以，且，故. 故选：A. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆可变为， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点共有个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 7. 已知数列满足，且，则数列的前50项和为（ ） A. 24 B. 26 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解. 【详解】数列满足，， 可得，，，⋯， 所以，所以数列的前50项和为： ． 故选：C． 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 二､多选题.（共18分） 9. [多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据周期可计算出的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误． 【详解】由已知可得，所以． 因为，所以是对称中心，A正确． 因为，所以直线不是对称轴，B错误． 因为，所以不是对称中心，C错误． 因为，所以直线是对称轴，D正确， 故选AD． 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用组合数连乘式计算即可；对于B、C选项，利用组合数的性质计算；对于D选项，利用二项式定理即可求解所给式子. 【详解】对于A选项，，，所以，则A选项正确； 对于B选项， ，则B选项错误； 对于C选项，，则C选项正确； 对于D选项，，则D选项正确, 故选：ACD. 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误. 【详解】构造函数，其中，则， 因为对于任意的满足 当时，，则函数在上单调递增， 又函数是奇函数， 所以，所以在上为偶函数， 所以函数在上单调递减， ，则，即，即， 化简得，A选项错误； 同理可知，即，即， 化简得，B选项正确； ，且即，即， 化简得，C选项正确， ，且即，即， 化简得，D选项错误， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 三､填空题.（15分） 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 13. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 【答案】3 【解析】 【分析】 设球的半径为cm，由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径. 【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为cm，则： ，解得：， 故答案为：3 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四､解答题.（77分） 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 16. 如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在；的长度为. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可得，可知当时，最大，此时最大，由此可得. 【小问1详解】 证明：在菱形中，，为的中点，， 平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面，平面平面． 【小问2详解】 由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，设， ，， 轴平面，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则， ，当时，取得最小值，取得最大值， 又在上单调递增，当时，取得最大值， 此时，即的长度为． 17. 某企业因技术升级，决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， （1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； （2）若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 【答案】（1）4 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得方式I回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解； （2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解． 【小问1详解】 每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为， 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率. 则该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数， 所以的数学期望． 【小问2详解】 记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画○”． 由（1）知，，． ∵， 由全概率公式， 则，解得， 故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为． 18. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 19. 已知函数. （1）当时，判断函数的单调性； （2）已知对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由得，对其求导，根据导数的方法即可判断出函数单调性； （2）先由题中条件，将不等式化为恒成立，令，对其求导，根据导数的方法求出其最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时， 在上单调递增 （2）等价于， 所以， 令， 则， 令，则 在上单调递增， 又， 时，，即，单调递减； 时，，即，单调递增； ， . 【点睛】思路点睛： 由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省双流中学2025-2026学年度 高三上学期期中考试数学试题 测试时长：120分钟 满分：150分 一､单选题.（共40分） 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 圆上到直线的距离为的点共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知数列满足，且，则数列的前50项和为（ ） A. 24 B. 26 C. D. 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题.（共18分） 9. [多选题]已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题.（15分） 12. 函数的定义域为__________. 13. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四､解答题.（77分） 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 16. 如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 17. 某企业因技术升级，决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， （1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； （2）若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 18. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 19. 已知函数. （1）当时，判断函数的单调性； （2）已知对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $