精品解析：吉林省长春力旺高中2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

长春力旺高中2025级高一上学期第二学程测试 数学学科试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在试题卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】， 故选：A 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题的规则即可得解。 【详解】因为命题“，”为存在量词命题， 所以该命题的否定为全称量词命题，即：“，”. 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 7 C. 4 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】为开口方向向下的抛物线，且与轴交于，两点， 的解集为或. 故选：C. 6. 已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值． 【详解】因为， 所以， 又，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以，即，的最大值为3． 故选：C． 7. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立， 是上的减函数， ，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称， ∴时，的最小值为，最大值为， 可得值域为， 又∵，， ∴为单调增函数，值域为， 即， ∵，，使得， ∴，解得：． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列函数中值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是； 对于B，函数定义域为R，值域为，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是. 故选：AB 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质和特殊值法，即可判断AB，根据基本不等式即可判断CD． 【详解】若，，则，故错误； 若，，例如，则，，此时，故B错误； ，∴， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； ，， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴，故D正确． 故选：CD． 11. 已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，把变形分析，可得在区间上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，已知函数， 设，则，有， 故， 又由任意，都有， 即，变形可得， 设， 由，，可知， 则在区间上为减函数， 因为单调减区间为和， 必有或，解可得或， 即的取值范围为； 所以符合条件的选项只有选项AD. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 令，则，代入求得函数的解析式，即可求得的值. 【详解】令，则，将代入， 可得，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数a取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式为，分，和讨论求解.， 【详解】解：由题意知：不等式可化为， 当时，该不等式无解； 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时要有两个整数解是，， 所以， 所以， 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时由两个整数解0，1， 所以， 所以 所以， 综上的取值范围是 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）作出函数的图象； （2）根据图象写出的单调递增区间． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，根据二次函数画出图象； （2）由图象写出函数单调区间. 【小问1详解】 由， 作出函数图象，如图， 【小问2详解】 由图象可知，函数单调增区间为，. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再利用求的值； （2）对任意，不等式恒成立，转化为对任意，恒成立， 令，，利用函数的单调性求的最大值即可. 【小问1详解】 ， ， ，． 【小问2详解】 若对任意，恒成立， 即对任意，恒成立，即， 即，， 在上单调递增, 当时，， 则在上的最大值小于， ． 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【小问1详解】 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 18. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得：，解得：. 所以二次函数的表达式为：. 【小问2详解】 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值. 【小问3详解】 由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解； （2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集； （3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围. 小问1详解】 ①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ③，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或或． 【小问2详解】 ①，此时，，，此时不等式恒成立． ②，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ③，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ④，此时，，，此时不等式无解． 综上所述，关于的不等式的解集为． 【小问3详解】 ①，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，则，又， ，当且仅当时等号成立， ，． ②，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，， 令，， 则， ，且， 则， 又，则，，， ，故在上单调递减． 即在上单调递减． ，．又， 综上所述，． 【点睛】方法点睛：高斯函数常见处理策略： （1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法. （2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理. （3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围. （4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺高中2025级高一上学期第二学程测试 数学学科试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在试题卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 7 C. 4 D. 0 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 7. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列函数中值域为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C D. 11. 已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为________. 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______． 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）作出函数图象； （2）根据图象写出的单调递增区间． 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 18. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $