精品解析：上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合，用列举法可表示为________． 2. 已知，且α是第二象限角，则_______ 3. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围___________ ． 4. 当时，的最小值为_________． 5. 函数的定义域为_________． 6. 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 7. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________. 8. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 9. 已知函数，则_______ 10. 若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围是________. 11. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是________. 12. 已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为________． 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 若关于x的二次不等式恒成立，则一定有　　 A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 14. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 在直三棱柱中，若E为AC中点，求： （1）直三棱柱 表面积和体积； （2）直线与平面所成角大小. 18. 已知向量，，函数. （1）设，且，求值； （2）在中，，，且的面积为，求的值. 19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 20. 已知函数为R上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明函数的单调性； （2）求不等式的解集； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21. 已知定义域为D函数，其导函数为，满足对任意的都有． （1）若，，求实数a的取值范围； （2）证明：方程至多只有一个实根； （3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合，用列举法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的含义即可表示. 【详解】表示5到9（不含5和9）之间的自然数组成的集合， 所以. 故答案为： 2. 已知，且α是第二象限角，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，由正弦求出余弦，进而求出正切值. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为：. 3. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，则，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4. 当时，的最小值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6 5. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的概念，令真数大于，直接列不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6. 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得， 所以， 即 解得（舍去） 所以， 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 7. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围 【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象， 由， 当时，，结合图象可得； 当时，，可得， 所以的解为或. 故答案为：. 8. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为， 所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：， 所以，所以圆锥的高. 故圆锥的体积为：. 故答案为：. 9. 已知函数，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据求导法则先求导，进而得，即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故答案为：. 10. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可. 【详解】,则, 若函数恰好有三个单调区间, 则有两个不同的零点, 即有两个不同的根, 所以且, 故答案为:. 【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大. 11. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则，解得， 故答案为：. 12. 已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】求得定点的坐标，进而可得的关系式，利用不等式中1的妙用可求的最小值. 【详解】函数（且）的图像恒过定点， 因为点在直线上，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 若关于x的二次不等式恒成立，则一定有　　 A ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】B 【解析】 【分析】因为关于x的二次不等式恒成立，所以二次函数的图象开口方向向上，且与轴无交点 【详解】由题意关于x的二次不等式恒成立，得：，即， 故选B． 【点睛】对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴下方 14. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 15. 已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）： 可知，所以解得， 故选：D. 16. 设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出函数的图象.根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假. 【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和； 当时，，图象过，如图所示. 对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设， 则，，且，， 所以，所以. 因此，， 所以，故①为真命题. 对于②，方程等价于且，所以或. 当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当时，，由图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根； 当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6. 故②为假命题. 故选：C 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 在直三棱柱中，若E为AC中点，求： （1）直三棱柱 表面积和体积； （2）直线与平面所成角大小. 【答案】（1）3+，； （2）arcsin. 【解析】 【分析】（1）根据表面积以及体积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 由于所以 表面积为：， 体积为, 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面的法向量为， 所以，令，故， , 设直线与平面所成角为，， 故 18. 已知向量，，函数. （1）设，且，求的值； （2）在中，，，且的面积为，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案. （2）确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案. 【小问1详解】 . ，得， 故，，故或. 【小问2详解】 ， 由（1）知， 在中，设内角、的对边分别是，则，故. 由余弦定理得，故. 解得 或，于是， 由正弦定理得 ，故. 19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【解析】 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）， 当且仅当时，即取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又，∴当时，. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 20. 已知函数为R上的奇函数． （1）求的值，并用定义证明函数的单调性； （2）求不等式的解集； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由化简可得b，按照定义法证明单调性的步骤作差可证； （2）利用单调性和奇偶性将不等式转化为，直接求解可得； （3）考察两个函数在给定区间上的值域的包含关系可解. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以 得 所以 下面用定义法证明单调性： ，且 则 因为，所以 所以，即 所以函数R上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知在R上单调递增，且为奇函数， 故不等式 即，整理得，即， 解得，故不等式解集为 【小问3详解】 因为在R上单调递增，所以在区间上，， ，故 当时，，不存在符合题意的； 当时，在区间上为增函数， 要使对任意的，总存在，使得成立 则需，即，解得，即 21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有． （1）若，，求实数a的取值范围； （2）证明：方程至多只有一个实根； （3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果； （2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明； （3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，，所以， 由题意知，在上恒成立，即在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，易知，在上，函数和均单调递增， 所以. 【小问2详解】 令，故， 所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根； 【小问3详解】 设的最大值为，最小值为， 在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值， 设，， 因为函数是周期为2，取一个周期，且， 则有， 若，则成立， 若，设，即，故，且，则， 所以成立， 综上，对任意实数，都成立，所以原式得证． 【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解； 对于（3），设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用基本不等式的性质可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $