精品解析：上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年 高三数学上学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 2. 已知等差数列满足，，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】因为是等差数列，所以， 则有，解得. 故答案为：. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据交集结果得出集合间的包含关系，再结合集合范围确定参数的取值范围. 【详解】由题意，因为，所以， 又， 则. 故答案为： 4. 已知向量满足，则在方向上的数量投影为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，，再结合投影数量计算公式求解即可. 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影数量是. 故答案为： 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对原理可得复数也是方程的一个根，利用韦达定理及复数代数形式的运算法则求出、，即可求出其模. 【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 所以复数也是关于的方程的一个根， 所以，所以、， 所以. 故答案为： 6. 设，若，且，则取值的集合是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的性质一一分析即可. 【详解】若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，不妨考虑时， 此时，符合题意； 若，则与均为偶函数，由偶函数的对称性，仍不妨考虑时， 此时，符合题意； 若或时，此时为奇函数，且时，，不符合题意； 综上所述：取值的集合是. 故答案为： 7. 记为数列的前项和，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到数列是以，公比为的等比数列，再求即可. 【详解】当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值三角不等式可得，进而将问题转化为，进而求解即可. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 则，即或，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形和内角和定理化简，进而求出边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即，即， 由正弦定理得， 设外接圆的半径为， 则， 所以外接圆的半径. 故答案为：. 10. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为___________．（保留两位有效数字） 参考数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135 【答案】 【解析】 【分析】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可. 【详解】由题意，，，则， 因此，整理得， 解得或（舍）， 因此，解得. 所以大草履虫种群的比增长率约为. 故答案为： 11. 已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及向量数量积的运算律求得且，进而求范围. 【详解】由题设，则，可得， 由， ， ， 由 ， 令，则， 而，所以的范围为. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点， 即，即只有一根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由函数在上单调，则，解得，与矛盾，不成立； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即， 由函数在上单调，则，解得， 又，即； 综上所述，， 故答案为：. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 若、、，，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 14. 方程至少有一个负实根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 15. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由①可得函数在上单调递增，由②可得函数为周期函数，周期为8，由③可得函数关于直线对称，进而得到，，，进而根据单调性判断大小即可. 【详解】由①，对任意的，当时，都有， 则，故函数在上单调递增， 由②，，则， 则函数为周期函数，周期为8， 由③，是偶函数，则函数关于直线对称， 所以， ， 而，且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 16. 已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A 334 B. 338 C. 678 D. 1012 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由，即， 对于，周期为，且， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中，与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分．） 17. 若． （1）若过，解方程； （2）若存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）代入点可求得，再解对数方程并由真数大于零可得方程的解； （2）由等差数列性质可得，再根据方程有解并根据二次函数性质即可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为的图象过， 故， 故即（负的舍去）， ， 即， 解得或， 经检验，满足真数大于零的条件，而不满足， 故方程的解为． 【小问2详解】 因为存在使得、、成等差数列， 故有解， 故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故， 即． 18. 已知向量函数； （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据三角恒等变换和同角三角函数的关系求解；(2)利用三角函数的图象性质求函数在指定区间内的值域. 【小问1详解】 ∵， ∴ ∵，即，∴， ∴＝. 【小问2详解】 当，即时，； 当，即时，， ∴当时，函数的值域为． 19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．我校由于发展的需要食堂要进行改扩建，师生的餐食采用中央厨房来送餐，为避免舌尖上的浪费，采取了精准供应的措施．学校食堂经调查分析预测，从九月开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足.为保证全年每一个月该食材都够用（当月若有剩余食材可以储存使用），食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量． （1）如果每月初进货公斤，那么前个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值． 【答案】（1）前个月每月该食材都够用； （2）公斤． 【解析】 【分析】（1）分别计算前个月和第个月的进货总量与需求总量，比较大小即可判断； （2）分别计算当时和时两种情况，通过不等式恒成立求的最小值. 【小问1详解】 根据题意，前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足， 所以当时，每月需求量公斤，每月进货公斤，到月都够用； 当时，因为，第个月该食材够用． 所以，如果每月初进货公斤，则前个月每月该食材都够用． 【小问2详解】 为保证该食材全年每一个月都够用，则不等式对恒成立． 当时，恒成立，可得； 当时，恒成立， 即恒成立， 又，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以最小值为． 所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤． 20. 已知，且关于的函数． （1）已知函数，且满足，解不等式； （2）若，为单位向量，讨论函数的单调性； （3）若函数在上有极值，求与夹角取值范围． 【答案】（1）或． （2）递增区间为和，递减区间为． （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意将原不等式转化为一元二次不等式，再求出解集即可. （2）结合题意并利用导数求解单调区间即可. （3）根据题意，有两个不等的实根，求得，再利用向量夹角公式求得，从而求得答案即可. 【小问1详解】 由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或． 【小问2详解】 因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为． 小问3详解】 设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴． 21. 若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． （1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）； （2）若是和的“区间”，证明：不是偶函数； （3）若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 【答案】（1）在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正余弦函数的性质及区间的定义确定和在上的一个“区间”； （2）根据定义有时，时，进而得到使，即可证； （3）应用导数研究函数的单调性，再由区间的定义及零点存在性定理，即可证. 【小问1详解】 由题意和的定义域是， 当时，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； 【小问2详解】 由题意，当时，，故， 当时，，故， 在任意区间上不恒为0，故，使得， 又，显然，故不是偶函数； 【小问3详解】 当时，， 因为，即， 所以在上单调递增， 当时， 故且唯一，使， 且当时，，当时，， 当时，，故且存，使得， 当时，，故且存在，使得， 由零点存在性定理知，，使， 故在区间上存在零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年 高三数学上学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则__________． 2. 已知等差数列满足，，则____________. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围为____． 4. 已知向量满足，则在方向上的数量投影为___________． 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则_________. 6. 设，若，且，则取值的集合是_____． 7. 记为数列的前项和，若，则___________． 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 9. 在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为___________． 10. 在资源有限情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为___________．（保留两位有效数字） 参考数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2565 2.833 2.944 3.135 11. 已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是___________． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13. 若、、，，则下列不等式中成立的是（ ） A B. C. D. 14. 方程至少有一个负实根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 15. 已知函数定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 16. 已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A. 334 B. 338 C. 678 D. 1012 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分．） 17. 若． （1）若过，解方程； （2）若存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 18. 已知向量函数； （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域． 19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．我校由于发展的需要食堂要进行改扩建，师生的餐食采用中央厨房来送餐，为避免舌尖上的浪费，采取了精准供应的措施．学校食堂经调查分析预测，从九月开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足.为保证全年每一个月该食材都够用（当月若有剩余食材可以储存使用），食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量． （1）如果每月初进货公斤，那么前个月每月该食材是否都够用？ （2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值． 20. 已知，且关于的函数． （1）已知函数，且满足，解不等式； （2）若，为单位向量，讨论函数的单调性； （3）若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 21. 若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足：对任意的，均有，则称区间为和的“区间”． （1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）； （2）若是和的“区间”，证明：不是偶函数； （3）若，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $