第4章 整式的加减 期中考专题复习讲义（期中考情分析+12大常考题型+同步检测）2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第4章 整式的加减 第1部分 期中考情分析 《整式的加减》是七年级数学代数体系的奠基章节，上承《有理数》的运算逻辑，下接《一元一次方程》《函数初步》的核心思想，是期中考试的重点模块。该章节知识点覆盖选择、填空、解答全题型，其中“含参数的同类项问题”“整式化简求值”“实际情境应用”常作为中档题或小压轴题，用于区分学生对代数逻辑的掌握程度。 期中考点 复习目标 考察形式 1.单项式（系数、次数） 1.明确定义：数或字母的积，单独的数（如5）或字母（如a）也属于单项式； 2.掌握系数：含数字因数与符号（如系数为-3），π是常数（如系数为2π）； 3.掌握次数：所有字母的指数和（如次数为3），非零常数次数为0 1.基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题）； 2.典型考法：求单项式系数/次数、判断代数式是否为单项式； 3.高频易错点：漏系数符号、误将π视为字母算次数 2.多项式（项、次数、常数项） 1.明确定义：几个单项式的和（如）； 2.掌握“项”：含前面符号（如的项为、、5）； 3.掌握关键概念：常数项（不含字母的项）、多项式次数（最高项的次数），能命名多项式（如“三次三项式”） 1.高频基础题，多为选择（1题）/填空（1题）； 2.典型考法：找常数项、判断项数与次数、命名多项式； 3.高频易错点：漏项的符号、混淆“项数”与“次数” 3.同类项识别与合并 1.明确定义：所含字母相同，且相同字母指数也相同（常数项都是同类项）； 2.掌握合并法则：同类项系数相加，字母和指数不变； 3.能解决含参问题（如与是同类项，求m+n） 1.基础+中档题，覆盖选择（1题）/填空（1题）/解答题（核心步骤）； 2.典型考法：判断同类项、合并同类项、含参同类项求值； 3.高频易错点：忽略字母顺序（如误判与不是同类项)、合并时变字母/指数 4.去括号法则 1.掌握核心法则：括号前是“+”，去括号后项不变号；括号前是“-”，去括号后项全变号； 2.能处理多层括号(如)和括号前有系数的情况(如) 1.中档题，多为解答题(整式加减)的关键步骤； 2.典型考法：化简含括号的整式、判断去括号正误； 3.高频易错点：括号前是“-”时漏变号、系数漏乘括号内项 5.整式的加减运算 1.掌握核心步骤：先去括号，再合并同类项(不可逆)； 2.能计算整式的和与差，完成“化简求值”(先化简再代入，减少运算量) 1.期中必考题，解答题(1-2题)； 2.典型考法：计算整式和差、化简后代入负数/分数求值； 3.高频易错点：代入负数时漏加括号(如代入误算为）、步骤混乱 6.整式加减实际应用 1.能列整式表示几何（周长、面积）和生活（费用、数量）中的数量关系； 2.通过整式加减求总量/差值，验证结果的实际意义（如面积为正） 1.中档题，解答题（1题），是期中考区分度考点； 2.典型考法：几何类（如长方形剪正方形求剩余面积）、生活类（如商品打折求总费用）； 3.高频易错点：列整式忽略实际意义（如漏单位）、运算符号错误 第2部分 期中考必备知识点 知识点1：整式的相关概念 1.代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式。 书写规范：数字与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，数字写在字母前；带分数需化为假分数；除法写成分数形式。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算得出的结果。 2.整式 单项式：由数字与字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包括符号），如的系数是。 次数：单项式中所有字母的指数和，如的次数是。 多项式：几个单项式的和。 项：多项式中的每个单项式，如包含、、三项，其中不含字母的项叫常数项。 次数：多项式中次数最高项的次数，如的次数是。 整式分类：单项式和多项式统称整式。 3.同类项 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。例如，与是同类项。 注意：同类项与系数、字母顺序无关，但必须满足字母及指数完全一致。 知识点2：整式的加减运算 1.合并同类项 法则：系数相加，字母及指数不变。例如，。 步骤：①找出同类项（可标记符号）；②合并系数；③写出结果。 2.去括号与添括号 去括号法则：括号前是“+”，去掉括号后各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号后各项符号全变。例如： 。 添括号法则：添括号后，若括号前是“+”，括号内各项符号不变；若括号前是“-”，括号内各项符号全变。 3.整式的加减步骤 ①去括号（按法则）；②合并同类项（按系数相加）；③检查结果是否最简。 4.化简求值 先将整式化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算，避免直接代入导致计算复杂。 知识点3：整式的应用与规律探索 1.列代数式解决实际问题 关键：分析题目中的数量关系，用字母表示未知量，根据题意列出代数式。例如： 长方形的长为，宽为，周长为，面积为。 商品原价元，打八折后的价格为元。 2.规律探索 数字规律：通过观察数列的变化，用代数式表示第项。例如： 数列的第项为。 图形规律：分析图形的排列方式，用代数式表示第个图形的数量。例如： 用火柴棒摆三角形，第个图形需要根火柴棒。 3.整式的综合应用 结合实际情境(如销售利润、几何图形)，通过整式加减解决问题。例如： 某商品成本为元，售价为元，销量为件，则利润为元。 知识点4：易错点与解题技巧 1.易错点 同类项判断错误：例如，与不是同类项(字母指数不同)。 去括号符号错误：例如，易错算为(正确为)。 合并同类项漏项：例如，易错算为(正确为)。 2.解题技巧 口诀记忆： 去括号：“括号前是正，去掉括号不变号；括号前是负，去掉括号全变号”。 合并同类项：“系数相加，字母指数不搬家”。 化简求值策略：先化简再代入，减少计算量。例如： 化简得，再代入计算。 知识点5：思想方法与核心素养 1.类比思想 整式加减与有理数运算类似，可类比有理数的运算法则（如交换律、结合律）进行计算。 2.转化思想 将整式加减转化为合并同类项，将复杂代数式化简为最简形式。 3.模型思想 通过列代数式建立数学模型，解决实际问题（如成本核算、利润分析）。 4.逻辑推理 在规律探索中，通过观察、猜想、验证，归纳出代数式表达式。 总结： 本章以整式的概念为基础，以整式加减运算为核心，结合实际应用与规律探索，培养符号意识和运算能力。复习时需重点掌握同类项的判断、去括号法则及化简求值技巧，同时注意运算符号的处理，避免常见错误。通过类比与转化思想，将新知识与有理数运算建立联系，提升数学思维能力。 第3部分 期中考常考题型 【题型1】单项式的系数与次数判断 1.期中考考点总结 -考查单项式系数的定义：单项式中的数字因数（包含前面的符号，为常数，算作系数的一部分）。 -考查单项式次数的定义：一个单项式中所有字母的指数之和（单独的非零常数次数为0，如的次数是）。 2.解题攻略 -找系数：忽略字母部分，提取数字因数（注意符号，如的系数是，而非）。 -算次数：逐一识别每个字母的指数，累加求和（如的次数是，注意字母指数为时省略不写）。 【例题1】．（2024-2025萨尔图区校级期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．﹣3π，3 B．，4 C．，3 D．，2 【答案】C． 【分析】根据多项式次数和单项式的系数的定义求解．多项式的次数是多项式中最高次项的次数． 【解答】解：的次数是3，系数是． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式的有关定义．解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 【变式题1-1】．（2024-2025中山市校级月考）对单项式﹣ab2c，下列说法中正确的是（　　） A．系数是0，次数是3 B．系数是﹣1，次数是4 C．系数是1，次数是4 D．系数是﹣1，次数是2 【答案】B 【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，据此解答即可． 【解答】解：单项式﹣ab2c的系数是﹣1，次数是1+2+1＝4， 故选：B． 【点评】本题考查单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025浦口区校级月考）单项式的系数是 　　 ，次数是 　3　 ． 【答案】，3． 【分析】数与字母的积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，由此即可得出答案． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故答案为：，3． 【点评】本题考查了单项式的相关概念，熟练掌握单项式的相关概念是解此题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025凤台县期末）单项式的系数是　　 ，次数是　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，6． 故答案为：，6． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【题型2】多项式的项、次数与命名判断 1.期中考考点总结 -考查多项式的项：组成多项式的每个单项式（含前面的符号，如的项是、、)。 -考查多项式的次数：多项式中次数最高项的次数(如的最高次项是和，次数为)。 -考查多项式的命名：“几次几项式”(如是三次三项式)。 2.解题攻略 -拆分项：按“”“”号将多项式拆分为单项式，保留每项的符号。 -定次数：计算每一项的次数，找出最高次项的次数，确定多项式次数。 -写命名：先写次数，再写项数(注意常数项也算一项，不含字母的项为常数项)。 【例题2】．（2024-2025闵行区校级月考）2x4+2x2﹣3是几次几项式______，其常数项是______（　　） A．六次三项式，﹣3 B．四次三项式，3 C．四次三项式，﹣3 D．六次三项式，3 【答案】C 【分析】根据多项式的项、次数的定义解答即可． 【解答】解：2x4+2x2﹣3的最高次项是2x4，其次数是4次，所以此多项式是四次三项式，常数项是﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025内江期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义即可求解． 【解答】解：A．单项式的系数是，A选项错误，不符合题意； B．多项式是三次三项式，B选项错误，不符合题意； C．单项式的次数是3，C选项错误，不符合题意； D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是mn2、2mn、﹣1，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义，解题的关键是掌握相关定义． 【变式题2-2】．（2024-2025闵行区校级月考）整式a3b﹣a2+3ab2﹣4a5+3按a升幂排列的结果是　3+3ab2﹣a2+a3b﹣4a5 ． 【答案】3+3ab2﹣a2+a3b﹣4a5． 【分析】先分清各项，再根据多项式升幂排列的定义解答． 【解答】解：a3b﹣a2+3ab2﹣4a5+3按a升幂排列：3+3ab2﹣a2+a3b﹣4a5． 故答案为：3+3ab2﹣a2+a3b﹣4a5． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 【变式题2-3】．（2024-2025闵行区校级月考）整式是　六　 次　三　 项式，其中常数项是　　 ． 【答案】六，三，． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：多项式中最高次项是，次数是6，由三个单项式组成，常数项是． 故答案为：六，三，． 【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【题型3】整式的判断 1.期中考考点总结 -考查整式的定义：单项式和多项式统称为整式，核心特征是“分母中不含字母”(如、不是整式)。 -区分整式与非整式：排除分母含字母、含根号字母(超纲，期中不考)的代数式。 2.解题攻略 -第一步：判断是否为单项式或多项式，优先排除分母含字母的式子(如不是整式)。 -第二步：确认单项式(数或字母的积)、多项式(几个单项式的和)，二者均属于整式。 【例题3】．（2024-2025博兴县期末）在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子3x﹣2y，，，，﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有5个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【变式题3-1】．（2024-2025泌阳县期末）下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用整式的定义解答． 【解答】解：代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9是整式，共计6个，是分式． 故选：B． 【点评】本题考查了整式，解题的关键是掌握整式的定义． 【变式题3-2】．（2024-2025灯塔市校级期末）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】单项式与多项式统称整式，直接根据整式的概念作答即可． 【解答】解：由整式是多项式与单项式的统称， 故可得整式的有①；②；③；⑥8y2+2x﹣1，共4个； 故选：C． 【点评】本题主要考查整式的概念，熟练掌握整式的概念是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025罗山县期末）在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，﹣xy，，﹣2，符合整式的定义，是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【题型4】同类项的判断 1.期中考考点总结 -考查同类项的“两相同两无关”：所含字母相同、相同字母的指数相同(两相同)；与系数无关、与字母排列顺序无关(两无关)。 -常数项都是同类项(如和是同类项)。 2.解题攻略 -先看“字母”：确认两个式子所含字母完全一致(如和含字母不同，不是同类项)。 -再看“指数”：确认相同字母的指数完全相等(如和相同字母指数不同，不是同类项)。 -忽略“无关项”：系数大小、字母顺序不影响(如和是同类项)。 【例题4】．（2024-2025闵行区校级月考）下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 【答案】C． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【变式题4-1】．（2024-2025淄博期末）下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．32与43 B．3c2b与﹣8b2c C． D．4mn2与2m2n 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【解答】解：A、32与43是两个常数项，是同类项，故本选项正确； B、3c2b与﹣8b2c所含字母相同，但相同字母的指数不同，故本选项错误； C、xy与4xyz所含字母不相同，故本选项错误； D、4mn2与2m2n所含字母相同，但相同字母的指数不同，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的知识，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式题4-2】．（2024-2025娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　12xy2（答案不唯一）　 ． 【答案】12xy2（答案不唯一）． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如12xy2． 故答案为：12xy2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025泰山区期末）下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．32与（﹣2）3 B．﹣3xy与yx C．2a2b与﹣a2b D．3a2b3与﹣2a3b2 【答案】D． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：D． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【题型5】已知同类项求字母或代数式的值(提升) 1.期中考考点总结 -利用同类项“相同字母指数相等”列方程，求解字母的值(如与是同类项，则，)。 -代入字母值计算代数式(如求、等)。 2.解题攻略 -列方程：根据“相同字母的指数相等”，对每个相同字母列等式(如与是同类项，则，)。 -解方程：求出字母的值(如，)。 -代计算：将字母值代入目标代数式，计算结果(如)。 【例题5】．（2024-2025昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】根据同类项的定义直接得出x、y的值． 【解答】解：由同类项的定义可知x＝4，y＝2， ∴2x﹣3y＝2×4﹣3×2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题5-1】．（2024-2025凉州区校级期末）若2a2mb4和a6bn是同类项，则m、n的值是（　　） A．m＝3，n＝4 B．m＝3，n＝﹣6 C．，n＝6 D．m＝6，n＝4 【答案】A． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2m＝6，n＝4， 解得m＝3，n＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题5-2】．（2024-2025内江期末）如果单项式xa+1y2z与﹣5x2yb+4z是同类项，那么（a+b）2024的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝2，b+4＝2， 解得a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2024＝[1+（﹣2）]2024＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题5-3】．（2024-2025韶关模拟）如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据同类项的概念即可求出答案． 【解答】解：∵与﹣2x3yb是同类项， ∴a＝3，b＝2， ∴ab＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类项的定义，要熟记同类项的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【题型6】去括号与合并同类项的混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查去括号法则：括号前是“”，去括号后符号不变；括号前是“”，去括号后各项符号都改变(如)。 -考查合并同类项法则：同类项的系数相加，字母及指数不变(如)。 2.解题攻略 -分步去括号：先去小括号，再去中括号(若有)，括号前是负号时务必变号(避免漏变，如，不是)。 -精准合并：标记同类项(如用波浪线标项，直线标项)，再将系数相加，字母及指数保留不变。 -检查：合并后确保无同类项残留(如应合并为)。 【例题6】．（2024-2025海淀区校级月考）下列变形正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b+c） B．a﹣b+c＝a+（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b﹣c＝a+（b﹣c） 【答案】D． 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：A、a﹣b+c≠a﹣（b+c），故A错误； B、a﹣b+c≠a+（b﹣c），故B错误； C、a+b﹣c≠a﹣（b+c），故C错误； D、a+b﹣c，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 【变式题6-1】．（2024-2025云梦县期末）将（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括号正确的是（　　） A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2 【答案】C． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：（5x+2）﹣2（2x﹣1） ＝5x+2﹣2×2x+2×1 ＝5x+2﹣4x+2． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【变式题6-2】．（2024-2025雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025五台县校级期中）去括号并合并含相同字母的项：（x﹣6）+3（y﹣1）﹣2（﹣2y+6）． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查了整式的加减，其一般步骤是去括号，合并同类项，合并同类项法则是把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：原式x+10x﹣3+3y﹣3+4y﹣12， ＝（xx）+（3y+4y）﹣12+10﹣3﹣3 ＝7y﹣8． 【点评】同类项定义中的两个“相同”： （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 合并同类项法则是把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变． 【题型7】整式的化简求值(含直接代入)(提升) 1.期中考考点总结 -先通过去括号、合并同类项将整式化简，再代入已知字母的值计算(避免直接代入未化简的式子，减少计算量)。 -常见场景：直接给出字母值(如，)，代入化简后的整式求值。 2.解题攻略 -化简优先：严格按“去括号→合并同类项”化简整式(如化简，得)。 -代入计算：将字母值代入化简后的式子，注意符号和运算顺序(如时，，不是)。 -验证：代入后重新计算一遍，避免符号错误(如负号代入时加括号，当时为)。 【例题7】．（2024-2025青浦区期末）如果m＝﹣2，那么一次式2m﹣（m﹣3）的值是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：∵2m﹣（m﹣3）＝m+3， ∴当m＝﹣2时，原式＝m+3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题7-1】．（2024-2025灵宝市期末）先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【分析】去括号、合并同类项化简后代入求值即可． 【解答】解：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2） ＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2 ＝﹣6xy 当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣6×1×（﹣2）＝12． 【点评】本题考查整式的加减，去括号、合并同类项是整式加减的基本方法． 【变式题7-2】．（2024-2025徐州校级期末）先化简再求值：，其中x＝1，y＝2． 【答案】﹣4x+3y2，8． 【分析】根据整式的加减混合运算，去括号，合并同类项，代入求值即可． 【解答】解：原式 ＝﹣4x+3y2， 当x＝1，y＝2时，代入得： 原式＝﹣4×1+3×22 ＝﹣4+12 ＝8． 【点评】本题主要考查整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025河西区期末）当x＝﹣3时，求代数式5x2﹣4xy﹣2x2﹣2（1﹣2xy﹣3x2）的值为　79　 ． 【答案】79． 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝5x2﹣4xy﹣2x2﹣2+4xy+6x2 ＝9x2﹣2， 当x＝﹣3时， 原式＝9×（﹣3）2﹣2＝81﹣2＝79， 故答案为：79． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型8】整式化简求值中的整体思想应用(提升) 1.期中考考点总结 -已知某整式的值(如，)，求含该整体的代数式的值(如)，无需单独求、的值。 -核心是将目标代数式变形为含已知整体的形式(如)。 2.解题攻略 -变形代数式：通过提取公因式、添括号等，将目标式转化为含已知整体的形式(如已知，求，直接用代入)。 -整体代入：将已知整体的值代入变形后的式子，计算结果(如)。 -常见变形：、(期中重点考查前两种)。 【例题8】．（2024-2025广东校级三模）若2a﹣b+5＝0，则3（2a+b）﹣6b的值为 　﹣15　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据已知条件，求出2a﹣b的值，再根据单项式乘多项式法则和互补同类项法则把所求式子化简，写成含有2a﹣b的形式，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵2a﹣b+5＝0， ∴2a﹣b＝﹣5， ∴3（2a+b）﹣6b ＝6a+3b﹣6b ＝6a﹣3b ＝3（2a﹣b） ＝3×（﹣5） ＝﹣15， 故答案为：﹣15． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则． 【变式题8-1】．（2024-2025包头期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为 　﹣8　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵m+n＝﹣2，mn＝﹣4， ∴原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn＝5mn﹣6（m+n）＝﹣20+12＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025任丘市期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ 　（a﹣b）2 ； （2）已知x2﹣2y＝﹣4，求2x2﹣4y+2023的值； （3）已知a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1，求代数式2a2+3ab+2b2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2 ＝（a﹣b）2； 故答案为：（a﹣b）2； （2）∵x2﹣2y＝﹣4， ∴原式＝2（x2﹣2y）+2023 ＝﹣8+2023 ＝2015； （3）∵a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1， ∴原式＝2（a2+2ab）﹣（ab﹣2b2） ＝2×2﹣（﹣1） ＝4+1 ＝5． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　1　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先分别将（x+y）2和（x+y）看成一个整体化简即可； （2）①将m2+2m＝5整体代入计算； ②将（m+n）看成一个整体后化简，并将m+n＝7代入计算； （3）将原式写成形式，将m2+3mn＝2，mn+3n2＝1整体代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y） ＝11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①∵m2+2m＝5， ∴原式＝2（m2+2m）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝1， 故答案为：1； ②∵m+n＝7， ∴9（m+n）﹣6m﹣6n+3 ＝9（m+n）﹣6（m+n）+3 ＝3（m+n）+3 ＝3×7+3 ＝24； （3） ， ∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1， ∴原式． 【点评】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． 【题型9】数轴与整式化简(含绝对值)(培优) 1.期中考考点总结 -根据数轴上字母的位置(如，)，判断绝对值内式子的正负(如，)。 -化简含绝对值的整式(如，去绝对值后合并同类项）。 2.解题攻略 -定正负：根据数轴确定字母的大小关系和正负（如在处，在处，则，，）。 -去绝对值：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数（如，）。 -再化简：去绝对值后按整式加减合并同类项（如）。 【例题9】．（2024-2025商南县月考）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：a　＞　 0，b　＜　 0； （2）判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b　＜　 0，a﹣b　＞　 0，a+b+c　＜　 0； （3）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|． 【答案】（1）＞，＜； （2）＜，＞，＜； （3）a． 【分析】（1）由数轴知，c＜﹣1＜b＜0＜a＜1，据此即可判断a与b的符号； （2）由c＜﹣1＜b＜0＜a＜1结合有理数的加减法则即可判断a+b，a﹣b，a+b+c的符号； （3）确定a+c的符号，结合（2）中a﹣b，a+b+c的符号，即可脱去绝对值，从而化简． 【解答】解：（1）由数轴可得：c＜﹣1＜b＜0＜a＜1， ∴a＞0，b＜0， 故答案为：＞，＜； （2）由数轴可得：c＜﹣1＜b＜0＜a＜1，且|b|＞|a|， 则a+b＜0，a﹣b＞0，a+b+c＝（a+b）+c＜0， 故答案为：＜，＞，＜； （3）因为c＜﹣1＜b＜0＜a＜1，且|c|＞|a|， 所以a+c＜0， ∵a﹣b＞0，a+b+c＜0， ∴|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b| ＝﹣a﹣c﹣（﹣a﹣b﹣c）+a﹣b ＝﹣a﹣c+a+b+c+a﹣b ＝﹣a+a+a﹣c+c+b﹣b ＝a． 【点评】本题考查了利用数轴判断式子的符号，有理数的加减运算，整式的加减，化简绝对值等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025德阳期末）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b+c|的值等于（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a 【答案】D 【分析】根据数轴求出a﹣b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜c＜b，|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0， ∴|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b+c| ＝b﹣a+c﹣a﹣b﹣c ＝﹣2a， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，整式的加减的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 【变式题9-2】．（2024-2025闽侯县期末）有理数m在数轴上对应点的位置如图所示，当时，化简：|﹣a|﹣|1﹣b|﹣|a﹣b|＝m+1　 （结果用含m的代数式表示）． 【答案】m+1． 【分析】根据数轴可确定m＜﹣1，进一步确定a、b两数的符号及大小，进而确定化简式子中各个绝对值中代数式的符号，进而可化简绝对值即可． 【解答】解：由数轴可得：m＜﹣1， ∴，， ∴﹣a＜0，1﹣b＞0，a﹣b＞0， ∴|﹣a|﹣|1﹣b|﹣|a﹣b| ＝a﹣（1﹣b）﹣（a﹣b） ＝a﹣1+b﹣a+b ＝2b﹣1 ＝m+2﹣1 ＝m+1； 故答案为：m+1． 【点评】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，整式的加减，解题的关键是掌握相关知识． 【变式题9-3】．（2024-2025惠东县期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝2，a+b＝6，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）已知A＝﹣a2+3ab+b2，B＝3a2﹣6ab+2b2，求代数式4A﹣[2A﹣（3A﹣2B）﹣（﹣A+B）]的值． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝8． （2）﹣188． 【分析】（1）由题意得a＝﹣2，进而可得b＝6﹣a＝8． （2）先去括号，再合并同类项化简代数式，然后代入A，B求出最简结果，最后将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵ab＜0， ∴a与b异号． ∵点A在点B的左侧，|a|＝2， ∴a＝﹣2， ∵a+b＝6， ∴b＝6﹣a＝8． （2）4A﹣[2A﹣（3A﹣2B）﹣（﹣A+B）] ＝4A﹣（2A﹣3A+2B+A﹣B） ＝4A﹣B ＝4（﹣a2+3ab+b2）﹣（3a2﹣6ab+2b2） ＝﹣4a2+12ab+4b2﹣3a2+6ab﹣2b2 ＝﹣7a2+18ab+2b2 ＝﹣7×4+18×（﹣2）×8+2×64 ＝﹣28﹣288+128 ＝﹣188． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、数轴、绝对值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型10】整式中“不含某一项”或“与某字母无关”的问题(培优) 1.期中考考点总结 -“不含某一项”：合并同类项后，该项目的系数为(如不含项，即项系数)。 -“与某字母无关”：合并同类项后，所有含该字母的项的系数均为(如与无关，即所有项、项等系数均)。 2.解题攻略 -合并同类项：将整式化简，按目标字母(如)整理同类项(如)。 -列方程：令目标项的系数等于(如不含项，则；与无关，则且)。 -求参数：解方程得参数值(如，)，必要时代入验证。 【例题10】．（2024-2025千阳县期末）多项式2x3﹣10x2+4x﹣1与多项式3x3﹣4x﹣5x2+3相加，合并后不含的项是（　　） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【答案】C 【分析】直接合并同类项进而得出答案． 【解答】解：2x3﹣10x2+4x﹣1+3x3﹣4x﹣5x2+3 ＝5x3﹣15x2+2， 则多项式2x3﹣10x2+4x﹣1与多项式3x3﹣4x﹣5x2+3相加，合并后不含的项是一次项． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 【变式题10-1】．（2024-2025蓬溪县校级期末）若多项式2x3﹣6x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】直接利用整式的加减运算法则得出﹣6﹣2m＝0，进而得出答案． 【解答】解：2x3﹣6x2+x﹣1﹣（3x3+2mx2﹣5x+3） ＝2x3﹣6x2+x﹣1﹣3x3﹣2mx2+5x﹣3 ＝﹣x3+（﹣6﹣2m）x2+6x﹣4， 多项式2x3﹣6x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项， ∴﹣6﹣2m＝0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的加减，解答的关键是明确不含二次项． 【变式题10-2】．（2024-2025泉州期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含m，n的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：　（m+4n）　 ；②阴影A的面积：　（10m﹣3mn）　 ． （2）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可得到大长方形的长可表示为m+4n，再分别表示出阴影A的长和宽，即可得到面积； （2）分别表示阴影A，B的周长，两者相加，化简可得到结果中不含有m，即可． 【解答】解：（1）①大长方形的长可表示为：m+4n； ②∵阴影长方形A的长为m，宽为（10﹣3n）， ∴阴影长方形A的面积为m（10﹣3n）＝10m﹣3mn； 故答案为：m+4n；10m﹣3mn； （2）∵阴影长方形B的长为4n，宽为10﹣m， ∴阴影长方形B的周长为8n+2（10﹣m）， ∵阴影长方形A的长为m，宽为（10﹣3n）， ∴阴影长方形A的周长为2（10﹣3n）+2m， ∴阴影A与阴影B的周长的和为： 2（10﹣3n）+2m+8n+2（10﹣m） ＝20﹣6n+2m+8n+20﹣2m ＝40+2n， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【点评】本题考查了列代数式，整式的加减运算，熟练用代数式表达相关量是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　﹣8　 ，b＝　12　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【答案】（1）﹣8，12； （2）﹣3或﹣18； （3）m＝3，PQ+MN＝28． 【分析】（1）根据多项式为关于x、y的三次二项式，得出1+b﹣10＝3，a+8＝0，从而求出a、b的值； （2）设点C对应的数为x，且3AC＝BC，判断出点C在点B的左边，于是有3|﹣8﹣x|＝12﹣x，即可求出x的值； （3）t秒后，M对应的数为﹣mt，N对应的数为12﹣3t，根据数轴上中点的定义即可表示出中点的坐标，再计算MN、PQ的长，根据PQ+MN的长度与t的取值无关，即t的系数为0，从而得解． 【解答】解：（1）若8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式， 则1+b﹣10＝3，a+8＝0， 解得a＝﹣8，b＝12， 故答案为：﹣8，12； （2）设点C对应的数为x， ∵3AC＝BC， ∴点C在点B的左边， ∴3|﹣8﹣x|＝12﹣x， 解得x＝﹣18或x＝﹣3， 即点C对应的数为﹣3或﹣18； （3）t秒后，M对应的数为：﹣mt，N对应的数为：12﹣3t， ∵P、Q为AM、BN的中点， ∴P点对应的数为：，Q点对应的数为：， ∴MN＝|﹣mt﹣12+3t|＝|（3﹣m）t﹣12| ∴ ， ∵PQ+MN的长度与t无关， ∴m＝3， ∴PQ+MN＝16+12＝28． 【点评】本题考查了多项式，数轴上两点之间的距离，中点坐标的求法，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键． 【题型11】图形规律与整式加减的实际应用（几何/经济场景）（培优） 1.期中考考点总结 -图形规律：用整式表示图形的数量/周长/面积，归纳第个图形的表达式（如第个图形周长）。 -几何应用：用整式表示阴影面积（如长方形挖圆：）、组合图形周长，化简后代值。 2.解题攻略 -定场景找关系：图形规律抓“与目标量关联”，几何抓“总面积-空白面积”，经济抓“固定费+可变费”。 -设量列整式：设未知量（如为图形序号，为边长），按关系列整式（如阴影面积）。 -验证/求值：图形规律用第4个图形验证，实际应用代入数值计算（如、时，）。 【例题11】．（2024-2025云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 【解答】解：按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是， 故选：B． 【点评】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数． 【变式题11-1】．（2024-2025睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察各式，发现：运用了平方差公式，其中由于两个数相差是1，差等于1，所以最后结果等于两个数的和． 【解答】解：第n个式子：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 【点评】此题考查数字的变化规律，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【答案】C 【分析】观察图形可知从第二个图案开始，第加一扇窗户，就增加3个剪纸．照此规律便可计算出第n个图形中剪纸的个数． 【解答】解：第一个图案为3+2＝5个窗花； 第二个图案为2×3+2＝8个窗花； 第三个图案为3×3+2＝11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故选：C． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式题11-3】．（2024-2025通州区校级月考）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． （1）如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为　15　 ； （2）如图2所示，则幻和＝　﹣6　 ； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为　﹣10　 ． 【答案】（1）15；（2）﹣6；（3）﹣10． 【分析】（1）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （2）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （3）根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，然后表示出代数式a﹣b，d﹣c的值，整体代入计算即可． 【解答】解：（1）由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方的幻和为：5×3＝15． 故答案为：15； （2）图2的幻和为：﹣2×3＝﹣6． 故答案为：﹣6； （3）∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∵x＝2，y＝﹣3， ∴2+a+m＝﹣3+b+m，整理得a﹣b＝﹣5， 2+d+n＝﹣3+c+n，整理得：d﹣c＝﹣5， ∴a﹣b﹣c+d＝﹣5﹣5＝﹣10． 【点评】本题考查了有理数的乘法，整式的加减﹣化简求值，掌握相应的运算法则是解题的关键． 【题型12】整式加减的实际应用(几何面积/经济计费)(培优) 1.期中考考点总结 -几何场景：用整式表示阴影面积(如长方形中挖去圆，面积长方形面积圆面积)、周长(如组合图形周长)。 -经济场景：用整式表示总费用(如话费套餐、购物优惠，如总费用基础费单价数量)。 2.解题攻略 -梳理关系：几何场景找“总面积空白面积”“各边长度和”；经济场景找“固定费用可变费用”。 -设字母：用字母表示未知量(如几何中设边长为，经济中设数量为)。 -列整式：根据关系列出整式，化简后代入数值计算(如长方形长、宽，挖去半径的圆，阴影面积)。 【例题12】．（2024-2025海州区期中）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　　 ． （2）已知A＝2x2﹣（1﹣3n）x，B＝﹣x2+nx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）n；（3）． 【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得（15n﹣3）x﹣6，根据其值与x无关得出15n﹣3＝0，即可得出答案； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到3S1﹣4S2关于x的代数式，根据取值与x无关可得3a＝8b． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m， ∵其值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 解得m， 答：当m时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关； 故答案为：； （2）3A+6B＝3[2x2﹣（1﹣3n）x]+6（﹣x2+nx﹣1） ＝3（2x2﹣x+3nx）+6（﹣x2+nx﹣1） ＝6x2﹣3x+9nx﹣6x2+6nx﹣6 ＝（﹣3+9n+6n）x﹣6 ＝（15n﹣3）x﹣6， 由条件可知15n﹣3＝0，即n； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴3S1﹣4S2＝3a（x﹣3b）﹣4×2b（x﹣2a）＝（3a﹣8b）x+7ab， ∵当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变． ∴3S1﹣4S2取值与x无关， ∴3a﹣8b＝0， ∴3a＝8b． ∴． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 【答案】（1）（a+3b）米； （2）（5a+10b）米； （3）800元． 【分析】（1）根据长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米，可以计算出宽的长度； （2）根据图形可知：篱笆的总长度为一个长+两个宽，然后代入数据计算即可； （3）将a＝40和b＝20代入（2）中的结果求出篱笆总长度，再根据篱笆单价为每米2元，即可计算出买篱笆所需的费用． 【解答】解：（1）∵长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米， ∴宽为：（3a+4b）﹣（2a+b） ＝3a+4b﹣2a﹣b ＝（a+3b）米； （2）由（1）可知：长为（3a+4b）米，宽为（a+3b）米， ∴篱笆的总长度为：（3a+4b）+2（a+3b） ＝3a+4b+2a+6b ＝（5a+10b）米； （3）当a＝40，b＝20时， 篱笆的总长度为：5a+10b ＝5×40+10×20 ＝200+200 ＝400（米）， ∵篱笆单价为每米2元， ∴买篱笆所需的费用为：400×2＝800（元）， 答：买篱笆所需的费用为800元． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式、代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025紫阳县校级期中）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度m元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度（m+0.2）元计费．若该市某家庭上月用电量为130度电，则应缴电费多少元？ 【答案】应缴电费（130m+6）元． 【分析】将130度分成100度和30度计算，其中100度按每度m计算，后面的30度按每度（m+0.2）计算，从而得到答案． 【解答】解：∵该市某家庭上月用电量为130度电，大于100， ∴应缴电费为：100m+（m+0.2）×（130﹣100）＝130m+6． 答：应缴电费（130m+6）元． 【点评】本题考查了代数式，分段收费，整式的加减，掌握以上知识点并读懂题意是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025越秀区校级期中）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12m3的部分 a元/m3 超过12m3但不超过20m3的部分 1.5a元/m3 超过20m3的部分 2a元/m3 （1）当a＝2时， ①某户1月份用了3m3的水，求该户1月份应缴纳的水费 　6　 元． ②某户4月份用了13m3的水，求该户4月份应缴纳的水费 　27　 元． ③某户8月份用了23m3的水，求该户8月份应缴纳的水费 　60　 元． （2）设某户月用水量为nm3，当n＞20时，该户应缴纳的水费为 　（2an﹣16a）　 元（用含a，n的式子表示）． （3）当a＝2时，甲、乙两户一个月共用水40m3，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水xm3，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示） 【答案】（1）①6；②27；③60； （2）（2an﹣16a）； （3）当12＜x≤20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（﹣x+116）元；当20＜x＜28时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（x+76）元；当28≤x≤40时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（2x+48）元． 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当n＞20时，该用户应缴纳的水费； （3）分当12＜x≤20时，当20＜x＜28时，当28≤x≤40时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知： ①某用户1月份用了3m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：3×2＝6（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了13m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：12×2+（13﹣12）×1.5×2＝27（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了23m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：12×2+（20﹣12）×1.5×2+（23﹣20）×2×2＝60（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得：12a+（20﹣12）×1.5a+（n﹣20）×2a ＝12a+12a+2an﹣40a ＝（2an﹣16a）（元）， ∴当n＞20时，该户应缴纳的水费为（2an﹣16a）元， 故答案为：（2an﹣16a）； （3）∵12×2＝24， ∴x＞12， 当12＜x≤20时，甲用水量超过12m3但不超过20m3，乙用水量超过20m3， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： [12×2+（x﹣12）×1.5×2]+[12×2+（20﹣12）×1.5×2+（40﹣x﹣20）×2×2] ＝（24+3x﹣36）+（24+8×3+160﹣4x﹣80） ＝（﹣x+116）元； 当20＜x＜28时，甲的用水量超过20m3，乙的用水量超过12m3但不超过20m3， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： [12×2+（20﹣12）×1.5×2+（x﹣20）×2×2]+[12×2+（40﹣x﹣12）×1.5×2] ＝（24+24+4x﹣80）+（24+84﹣3x） ＝（x+76）元； 当28≤x≤40时，甲的用水量超过20m3，乙的用水量不超过12m3， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： [12×2+（20﹣12）×1.5×2+（x﹣20）×2×2]+（40﹣x）×2 ＝（24+24+4x﹣80）+（80﹣2x） ＝（2x+48）元． 综上所述，当12＜x≤20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（﹣x+116）元；当20＜x＜28时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（x+76）元；当28≤x≤40时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为（2x+48）元． 【点评】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 同步检测 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C D A． A B 一．选择题（共5小题） 1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．32xy3的次数是6 C．0是单项式 D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、系数与次数的概念、多项式的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、的系数是，此项说法错误； B、32xy3的次数是1+3＝4，此项说法错误； C、0是单项式，此项说法正确； D、﹣xy2+xy﹣7是三次三项式，此项说法错误； 故选：C． 【点评】本题考查了单项式与多项式的定义，单项式的系数与次数的概念，熟记各定义是解题关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．x2y﹣2x2y＝﹣1 B．2a+3b＝5ab C．a3+a2＝a5 D．﹣3ab﹣3ab＝﹣6ab． 【答案】D 【分析】根据同类项的定义，合并同类项法则进行解答即可． 【解答】解：A．x2y﹣2x2y＝﹣x2y，因此选项A不符合题意； B．2a与3b不是同类项，不可以合并，因此选项B不符合题意； C．a3与a2不是同类项，不可以合并，因此选项C不符合题意； D．由同类项、合并同类项的法则可得﹣3ab﹣3ab＝﹣6ab，因此选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查同类项、合并同类项，理解同类项的定义，掌握合并同类项法则是正确解答的关键． 3．已知一个多项式与3m3+9m的和为3m3+4m﹣1，则这个多项式为（　　） A．﹣5m﹣1 B．5m+1 C．﹣13m﹣1 D．13m+1 【答案】A． 【分析】根据题意列出关系式，然后根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：根据题意得：3m3+4m﹣1﹣（3m3+9m） ＝3m3+4m﹣1﹣3m3﹣9m ＝﹣5m﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 4．如果A、B都是关于x的单项式，且A•B是一个七次单项式，A﹣B是一个四次整式，那么A+B的次数（　　） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．无法确定． 【答案】A 【分析】根据多项式的次数概念即可求出答案． 【解答】解：由题意可得：A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵A•B是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴A+B一定是四次多项式， 故选：A． 【点评】本题考查整式的次数，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．下列说法正确的是（　　） A．﹣x3y的系数是﹣1，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式2ab2与﹣2a2b是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】根据单项式与多项式的项、系数、次数，同类项的概念逐项判断即可． 【解答】解：A．﹣x3y的系数是﹣1，次数是4，因此本选项A不符合题意； B．多项式中，π﹣1是常数项，因此它的次数是2，项数是3，因此本选项B符合题意； C．单项式2ab2与﹣2a2b中，a的指数不同，b的指数不同，它们不是同类项，因此本选项C不符合题意； D．多项式按x的降幂排列为，因此本选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查单项式、多项式，掌握单项式、多项式的定义以及系数、次数的定义是正确解答的关键． 二．填空题（共5小题） 6．将整式4xy3﹣2x3y2﹣9+3x2y按x的降幂排列　﹣2x3y2+3x2y+4xy3﹣9　 ． 【答案】﹣2x3y2+3x2y+4xy3﹣9． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：4xy3﹣2x3y2﹣9+3x2y按x的降幂排列：﹣2x3y2+3x2y+4xy3﹣9． 故答案为：﹣2x3y2+3x2y+4xy3﹣9． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 7．2x3﹣x2﹣1是 　三　 次 　三　 项式，最高次项为 　2x3 ，一次项系数为 　0　 ． 【答案】三，三，2x3，0． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：多项式2x3﹣x2﹣1由三个单项式组成，最高次项是2x3，次数是3，一次项系数是0． 故答案为：三，三，2x3，0． 【点评】本题考查多项式的项数，次数和系数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 8．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 　16　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“H”的个数． 【解答】解：由图可得， 甲烷分子结构式中“H”的个数是2+2×1＝4； 乙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×2＝6； 丙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×3＝8； …， ∴第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是：2+2×7＝16； 故答案为：16． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点． 9．请写出一个整式，使其同时满足以下条件： ①该整式中只含有字母x； ②该整式的次数为5，项数为3； ③该整式不含二次项：x5+x+1（答案不唯一）　 ． 【答案】x5+x+1（答案不唯一）． 【分析】本题考查了整式．根据整式的定义和题目的要求写出即可． 【解答】解：这个整式可以是：x5+x+1． 故答案为：x5+x+1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了整式，掌握整式的次数，项数是解题的关键． 10．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足10，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵79+23＝92+10，∴7923是“十全数”；又如：四位数3418，∵34+18≠41+10，∴3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为 　3527　 ；若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是 　9362　 ． 【答案】3527，9362． 【分析】根据“+全数”的意义即可求解；由题意得10a﹣9b+9c+d＝10，9（1la+12b+c）+a+2b+2c+d，则a+2b+2c+d＝（a+b+c+d）+b+c被9除余1，确定出a+2b+2c+d最大为47，最小取13，故a+2b+2c+d只能为19，28，37，46；由10a﹣9b+9c+d＝10得：9（1+b﹣c﹣a）＝a+d﹣1，确定a+d﹣1是9的倍数，然后确定a+d﹣1的取值范围后得a+d＝10，从而得b﹣c＝a，b+c＝9，则消去c得，然后就四个数的取值列表即可求解． 【解答】解：由“十全数”的含义得：（10a+5）+27＝52+10， 解得：a＝3， 则这个数为3527； 由题意得：10a+b+10c+d＝10b+c+10，即10a﹣9b+9c+d＝10，100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+110b+1lc+d＝9（1la+12b+c）+a+2b+2c+d上式被9除余1， 则a+2b+2c+d＝（a+b+c+d）+b+c被9除余1， 由题意a，b，c，d的和最大为取9+8+7+6＝30，b，c的和最大为17，其和最小为1+2+3+4＝10，b，c的和最小为3， 则a+2b+2c+d最大为47，最小取13； 故a+2b+2c+d只能为19，28，37，46； 由10a﹣9b+9c+d＝10 得：9（1+b﹣c﹣a）＝a+d﹣1，即a+d﹣1是9的倍数； ∵abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴3≤a+d＜18， ∴2≤a+d﹣1＜17， ∴a+d﹣1＝9，即a+d＝10；由9（1+b﹣c﹣a）＝a+d﹣1得，b﹣c＝a； ∵a+2b+2c+d只能为19，28，37，46； ∴2（b+c）只能为9，18，27，36； ∵2（b+c）为偶数， ∴2（b+c）＝18，36，即b+c＝9，18； 但b，c不相等，故其和不可能为18， 显然a只能为奇数； 当a取1，3，5，7，9时， a 1 3 5 7 9 b 5 6 7 8 9 c 4 3 2 1 0 d 9 7 5 3 1 综上，“十全数”为1549，7813，其和为9362； 故答案为：3527，9362． 【点评】本题考查了新定义，整式的加减运算等知识，理解新定义，正确进行各种变形是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 11．已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】先将原代数式化简，再将，y＝1代入计算即可． 【解答】解：原式 ＝x+x2+y2+1， 当，y＝1时， 原式＝x+x2+y2+1 ． 【点评】本题考查了整式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 12．先化简，再求值：4xy﹣[（x2+5xy﹣y2）﹣（x2+3xy﹣2y2）]，其中，x是最大的负整数，y＝2． 【答案】2xy﹣y2，﹣8． 【分析】先去括号，合并同类项，然后代入数值求值． 【解答】解：∵x是最大的负整数， ∴x＝﹣1， 当x＝﹣1，y＝2时， 4xy﹣[（x2+5xy﹣y2）﹣（x2+3xy﹣2y2）] ＝4xy﹣（x2+5xy﹣y2﹣x2﹣3xy+2y2） ＝4xy﹣（2xy+y2） ＝4xy﹣2xy﹣y2 ＝2xy﹣y2 ＝2×（﹣1）×2﹣22 ＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了整式的化简求值，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 13．已知整式（3x2﹣ax﹣y÷6）﹣（3bx2+10x÷5y+1）． （1）若整式的值与字母x取值无关．写出a、b的值； （2）在（1）条件下求的值． 【答案】（1）b＝1，a＝﹣10； （2）245． 【分析】（1）根据去括号，合并同类项，根据题意，令含x的项系数为0，得出a，b的值； （2）先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将a，b的值代入进行计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝3x2﹣ax﹣y+6﹣3bx2﹣10x﹣5y﹣1 ＝（3﹣3b）x2﹣（a+10）x﹣6y+5， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴3﹣3b＝0，a+10＝0， 解得：b＝1，a＝﹣10； （2）原式 ； 当b＝1，a＝﹣10时，原式． 【点评】本题考查了整式的加减与化简求值，正确地去括号与合并同类项是解题的关键． 14．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召n（n＞0）个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有（n+1）人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有n（n+1）人．” （1）　甲和乙　 的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】（1）甲和乙； （2）丙的说法不正确． 【分析】（1）根据每一个人每周能够号召n（n＞0）个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程n（n+1）+（n+1）＝120，解方程，结合n为正整数求解即可得． 【解答】解：（1）由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有（n+1）人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有n（n+1）人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙； （2）由题意得：n（n+1）+（n+1）＝120， n2+n+n+1＝120， 整理得：（n+1）2＝120， 解得或（舍去）， 又∵n是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 15．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A﹣B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值． 【答案】（1）﹣11x2+15x+18； （2）﹣296． 【分析】（1）根据加减运算互逆的关系，求得多项式A，则可求得A﹣B； （2）把x＝﹣4求得的A﹣B中即可求解． 【解答】解：（1）∵A+B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6， ∴A＝（﹣7x2+10x+12）﹣（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣7x2+10x+12﹣4x2+5x+6 ＝（﹣7x2﹣4x2）+（10x+5x）+12+6 ＝﹣11x2+15x+18； ∴A﹣B＝﹣11x2+15x+18﹣4x2+5x+6＝﹣15x2+20x+24； （2）当x＝﹣4时，A﹣B＝﹣15（﹣4）2+20×（﹣4）+24＝﹣296． 【点评】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，正确运算是解题的关键． 16．在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图①所示的边长为a和边长为b的两种正方形纸片（a＞b），甲和乙两人将不同纸片剪拼在一起各作出一个长方形的长和宽如图②，比较两个长方形的周长的大小． 【答案】甲拼出长方形的周长更长． 【分析】先求得甲和乙的周长，进而化简，再作差比较与0的大小，即可作出结论． 【解答】解：C甲＝8a﹣2b，C乙＝6a， C甲﹣C乙＝8a﹣2b﹣6a＝2a﹣2b， ∵a＞b， ∴2a﹣2b＞0，即C甲＞C乙， ∴甲拼出长方形的周长更长． 【点评】本题考查了整式的加减法和几何图形的综合题．熟练掌握该知识点是关键． 17．已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边比第一条边短a﹣2b，第三条边比第二条边长2a+b． （1）则第二边的边长为　2a+3b ，第三条边的边长为　4a+4b ； （2）用含a，b的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）若a，b满足|a﹣8|+（b﹣7）2＝0，求这个三角形的周长． 【答案】（1）2a+3b，4a+4b． （2）9a+8b． （3）128． 【分析】（1）根据题意列出算式即可求出答案． （2）列出算式后，根据整式的运算法则即可求出答案． （3）先求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：（1）第二条边为（3a+b）﹣（a﹣2b）＝3a+b﹣a+2b＝2a+3b， 第三条边为：（2a+3b）+（2a+b）＝2a+3b+2a+b＝4a+4b． （2）该三角形的周长为：（3a+b）+（2a+3b）+（4a+4b） ＝3a+b+2a+3b+4a+4b ＝9a+8b． （3）由题意可知：a＝8，b＝7， ∴该三角形的周长为：9×8+8×7＝128． 故答案为：（1）2a+3b，4a+4b． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 18．一根长为（15a+12b+4）cm（其中a＞0，b＞0）的铁丝，围成一个三边长分别为2（a+2b）cm，（4a+4b+1）cm，（4a+1）cm的三角形后，仍有剩余． （1）求围成的三角形的周长； （2）求剩余的铁丝长度； （3）若剩余的铁丝长度为30cm，直接写出围成的三角形的周长为 　58　 cm． 【答案】（1）（10a+8b+2）cm； （2）（5a+4b+2）cm； （3）58． 【分析】（1）根据三角形的周长列式并化简即可； （2）用铁丝的长减去三角形的周长即可解答． （3）令（2）所得的结论为30cm并变形，然后再对（1）的结论进行变形，然后代入计算即可解答． 【解答】解：（1）依据题意得：2（a+2b）+（4a+4b+1）+（4a+1）＝（10a+8b+2）cm． 答：三角形的周长为（10a+8b+2）cm． （2）依据题意得，（15a+12b+4）﹣（10a+8b+2）＝（5a+4b+2）cm． 答：剩余的铁丝长度为（5a+4b+2）cm． （3）由题意可得：5a+4b＝28， 所以三角形的周长为10a+8b+2＝2（5a+4b）+2＝2×28+2＝58． 故答案为：58． 【点评】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 整式的加减 第1部分 期中考情分析 《整式的加减》是七年级数学代数体系的奠基章节，上承《有理数》的运算逻辑，下接《一元一次方程》《函数初步》的核心思想，是期中考试的重点模块。该章节知识点覆盖选择、填空、解答全题型，其中“含参数的同类项问题”“整式化简求值”“实际情境应用”常作为中档题或小压轴题，用于区分学生对代数逻辑的掌握程度。 期中考点 复习目标 考察形式 1.单项式（系数、次数） 1.明确定义：数或字母的积，单独的数（如5）或字母（如a）也属于单项式； 2.掌握系数：含数字因数与符号（如系数为-3），π是常数（如系数为2π）； 3.掌握次数：所有字母的指数和（如次数为3），非零常数次数为0 1.基础必考题，多为选择（1题）/填空（1题）； 2.典型考法：求单项式系数/次数、判断代数式是否为单项式； 3.高频易错点：漏系数符号、误将π视为字母算次数 2.多项式（项、次数、常数项） 1.明确定义：几个单项式的和（如）； 2.掌握“项”：含前面符号（如的项为、、5）； 3.掌握关键概念：常数项（不含字母的项）、多项式次数（最高项的次数），能命名多项式（如“三次三项式”） 1.高频基础题，多为选择（1题）/填空（1题）； 2.典型考法：找常数项、判断项数与次数、命名多项式； 3.高频易错点：漏项的符号、混淆“项数”与“次数” 3.同类项识别与合并 1.明确定义：所含字母相同，且相同字母指数也相同（常数项都是同类项）； 2.掌握合并法则：同类项系数相加，字母和指数不变； 3.能解决含参问题（如与是同类项，求m+n） 1.基础+中档题，覆盖选择（1题）/填空（1题）/解答题（核心步骤）； 2.典型考法：判断同类项、合并同类项、含参同类项求值； 3.高频易错点：忽略字母顺序（如误判与不是同类项)、合并时变字母/指数 4.去括号法则 1.掌握核心法则：括号前是“+”，去括号后项不变号；括号前是“-”，去括号后项全变号； 2.能处理多层括号(如)和括号前有系数的情况(如) 1.中档题，多为解答题(整式加减)的关键步骤； 2.典型考法：化简含括号的整式、判断去括号正误； 3.高频易错点：括号前是“-”时漏变号、系数漏乘括号内项 5.整式的加减运算 1.掌握核心步骤：先去括号，再合并同类项(不可逆)； 2.能计算整式的和与差，完成“化简求值”(先化简再代入，减少运算量) 1.期中必考题，解答题(1-2题)； 2.典型考法：计算整式和差、化简后代入负数/分数求值； 3.高频易错点：代入负数时漏加括号(如代入误算为）、步骤混乱 6.整式加减实际应用 1.能列整式表示几何（周长、面积）和生活（费用、数量）中的数量关系； 2.通过整式加减求总量/差值，验证结果的实际意义（如面积为正） 1.中档题，解答题（1题），是期中考区分度考点； 2.典型考法：几何类（如长方形剪正方形求剩余面积）、生活类（如商品打折求总费用）； 3.高频易错点：列整式忽略实际意义（如漏单位）、运算符号错误 第2部分 期中考必备知识点 知识点1：整式的相关概念 1.代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式。 书写规范：数字与字母相乘时，乘号可省略或用“·”表示，数字写在字母前；带分数需化为假分数；除法写成分数形式。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算得出的结果。 2.整式 单项式：由数字与字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包括符号），如的系数是。 次数：单项式中所有字母的指数和，如的次数是。 多项式：几个单项式的和。 项：多项式中的每个单项式，如包含、、三项，其中不含字母的项叫常数项。 次数：多项式中次数最高项的次数，如的次数是。 整式分类：单项式和多项式统称整式。 3.同类项 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。例如，与是同类项。 注意：同类项与系数、字母顺序无关，但必须满足字母及指数完全一致。 知识点2：整式的加减运算 1.合并同类项 法则：系数相加，字母及指数不变。例如，。 步骤：①找出同类项（可标记符号）；②合并系数；③写出结果。 2.去括号与添括号 去括号法则：括号前是“+”，去掉括号后各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号后各项符号全变。例如： 。 添括号法则：添括号后，若括号前是“+”，括号内各项符号不变；若括号前是“-”，括号内各项符号全变。 3.整式的加减步骤 ①去括号（按法则）；②合并同类项（按系数相加）；③检查结果是否最简。 4.化简求值 先将整式化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算，避免直接代入导致计算复杂。 知识点3：整式的应用与规律探索 1.列代数式解决实际问题 关键：分析题目中的数量关系，用字母表示未知量，根据题意列出代数式。例如： 长方形的长为，宽为，周长为，面积为。 商品原价元，打八折后的价格为元。 2.规律探索 数字规律：通过观察数列的变化，用代数式表示第项。例如： 数列的第项为。 图形规律：分析图形的排列方式，用代数式表示第个图形的数量。例如： 用火柴棒摆三角形，第个图形需要根火柴棒。 3.整式的综合应用 结合实际情境(如销售利润、几何图形)，通过整式加减解决问题。例如： 某商品成本为元，售价为元，销量为件，则利润为元。 知识点4：易错点与解题技巧 1.易错点 同类项判断错误：例如，与不是同类项(字母指数不同)。 去括号符号错误：例如，易错算为(正确为)。 合并同类项漏项：例如，易错算为(正确为)。 2.解题技巧 口诀记忆： 去括号：“括号前是正，去掉括号不变号；括号前是负，去掉括号全变号”。 合并同类项：“系数相加，字母指数不搬家”。 化简求值策略：先化简再代入，减少计算量。例如： 化简得，再代入计算。 知识点5：思想方法与核心素养 1.类比思想 整式加减与有理数运算类似，可类比有理数的运算法则（如交换律、结合律）进行计算。 2.转化思想 将整式加减转化为合并同类项，将复杂代数式化简为最简形式。 3.模型思想 通过列代数式建立数学模型，解决实际问题（如成本核算、利润分析）。 4.逻辑推理 在规律探索中，通过观察、猜想、验证，归纳出代数式表达式。 总结： 本章以整式的概念为基础，以整式加减运算为核心，结合实际应用与规律探索，培养符号意识和运算能力。复习时需重点掌握同类项的判断、去括号法则及化简求值技巧，同时注意运算符号的处理，避免常见错误。通过类比与转化思想，将新知识与有理数运算建立联系，提升数学思维能力。 第3部分 期中考常考题型 【题型1】单项式的系数与次数判断 1.期中考考点总结 -考查单项式系数的定义：单项式中的数字因数（包含前面的符号，为常数，算作系数的一部分）。 -考查单项式次数的定义：一个单项式中所有字母的指数之和（单独的非零常数次数为0，如的次数是）。 2.解题攻略 -找系数：忽略字母部分，提取数字因数（注意符号，如的系数是，而非）。 -算次数：逐一识别每个字母的指数，累加求和（如的次数是，注意字母指数为时省略不写）。 【例题1】．（2024-2025萨尔图区校级期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．﹣3π，3 B．，4 C．，3 D．，2 【变式题1-1】．（2024-2025中山市校级月考）对单项式﹣ab2c，下列说法中正确的是（　　） A．系数是0，次数是3 B．系数是﹣1，次数是4 C．系数是1，次数是4 D．系数是﹣1，次数是2 【变式题1-2】．（2024-2025浦口区校级月考）单项式的系数是 　 　 ，次数是 　 　 ． 【变式题1-3】．（2024-2025凤台县期末）单项式的系数是　 　 ，次数是　 　 ． 【题型2】多项式的项、次数与命名判断 1.期中考考点总结 -考查多项式的项：组成多项式的每个单项式（含前面的符号，如的项是、、)。 -考查多项式的次数：多项式中次数最高项的次数(如的最高次项是和，次数为)。 -考查多项式的命名：“几次几项式”(如是三次三项式)。 2.解题攻略 -拆分项：按“”“”号将多项式拆分为单项式，保留每项的符号。 -定次数：计算每一项的次数，找出最高次项的次数，确定多项式次数。 -写命名：先写次数，再写项数(注意常数项也算一项，不含字母的项为常数项)。 【例题2】．（2024-2025闵行区校级月考）2x4+2x2﹣3是几次几项式______，其常数项是______（　　） A．六次三项式，﹣3 B．四次三项式，3 C．四次三项式，﹣3 D．六次三项式，3 【变式题2-1】．（2024-2025内江期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【变式题2-2】．（2024-2025闵行区校级月考）整式a3b﹣a2+3ab2﹣4a5+3按a升幂排列的结果是　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025闵行区校级月考）整式是　 　 次　 　 项式，其中常数项是　 　 ． 【题型3】整式的判断 1.期中考考点总结 -考查整式的定义：单项式和多项式统称为整式，核心特征是“分母中不含字母”(如、不是整式)。 -区分整式与非整式：排除分母含字母、含根号字母(超纲，期中不考)的代数式。 2.解题攻略 -第一步：判断是否为单项式或多项式，优先排除分母含字母的式子(如不是整式)。 -第二步：确认单项式(数或字母的积)、多项式(几个单项式的和)，二者均属于整式。 【例题3】．（2024-2025博兴县期末）在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-1】．（2024-2025泌阳县期末）下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式题3-2】．（2024-2025灯塔市校级期末）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题3-3】．（2024-2025罗山县期末）在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型4】同类项的判断 1.期中考考点总结 -考查同类项的“两相同两无关”：所含字母相同、相同字母的指数相同(两相同)；与系数无关、与字母排列顺序无关(两无关)。 -常数项都是同类项(如和是同类项)。 2.解题攻略 -先看“字母”：确认两个式子所含字母完全一致(如和含字母不同，不是同类项)。 -再看“指数”：确认相同字母的指数完全相等(如和相同字母指数不同，不是同类项)。 -忽略“无关项”：系数大小、字母顺序不影响(如和是同类项)。 【例题4】．（2024-2025闵行区校级月考）下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 【变式题4-1】．（2024-2025淄博期末）下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A．32与43 B．3c2b与﹣8b2c C． D．4mn2与2m2n 【变式题4-2】．（2024-2025娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025泰山区期末）下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．32与（﹣2）3 B．﹣3xy与yx C．2a2b与﹣a2b D．3a2b3与﹣2a3b2 【题型5】已知同类项求字母或代数式的值(提升) 1.期中考考点总结 -利用同类项“相同字母指数相等”列方程，求解字母的值(如与是同类项，则，)。 -代入字母值计算代数式(如求、等)。 2.解题攻略 -列方程：根据“相同字母的指数相等”，对每个相同字母列等式(如与是同类项，则，)。 -解方程：求出字母的值(如，)。 -代计算：将字母值代入目标代数式，计算结果(如)。 【例题5】．（2024-2025昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式题5-1】．（2024-2025凉州区校级期末）若2a2mb4和a6bn是同类项，则m、n的值是（　　） A．m＝3，n＝4 B．m＝3，n＝﹣6 C．，n＝6 D．m＝6，n＝4 【变式题5-2】．（2024-2025内江期末）如果单项式xa+1y2z与﹣5x2yb+4z是同类项，那么（a+b）2024的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【变式题5-3】．（2024-2025韶关模拟）如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　 　 ． 【题型6】去括号与合并同类项的混合运算(提升) 1.期中考考点总结 -考查去括号法则：括号前是“”，去括号后符号不变；括号前是“”，去括号后各项符号都改变(如)。 -考查合并同类项法则：同类项的系数相加，字母及指数不变(如)。 2.解题攻略 -分步去括号：先去小括号，再去中括号(若有)，括号前是负号时务必变号(避免漏变，如，不是)。 -精准合并：标记同类项(如用波浪线标项，直线标项)，再将系数相加，字母及指数保留不变。 -检查：合并后确保无同类项残留(如应合并为)。 【例题6】．（2024-2025海淀区校级月考）下列变形正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b+c） B．a﹣b+c＝a+（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b﹣c＝a+（b﹣c） 【变式题6-1】．（2024-2025云梦县期末）将（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括号正确的是（　　） A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2 【变式题6-2】．（2024-2025雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【变式题6-3】．（2024-2025五台县校级期中）去括号并合并含相同字母的项：（x﹣6）+3（y﹣1）﹣2（﹣2y+6）． 【题型7】整式的化简求值(含直接代入)(提升) 1.期中考考点总结 -先通过去括号、合并同类项将整式化简，再代入已知字母的值计算(避免直接代入未化简的式子，减少计算量)。 -常见场景：直接给出字母值(如，)，代入化简后的整式求值。 2.解题攻略 -化简优先：严格按“去括号→合并同类项”化简整式(如化简，得)。 -代入计算：将字母值代入化简后的式子，注意符号和运算顺序(如时，，不是)。 -验证：代入后重新计算一遍，避免符号错误(如负号代入时加括号，当时为)。 【例题7】．（2024-2025青浦区期末）如果m＝﹣2，那么一次式2m﹣（m﹣3）的值是 　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025灵宝市期末）先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2． 【变式题7-2】．（2024-2025徐州校级期末）先化简再求值：，其中x＝1，y＝2． 【变式题7-3】．（2024-2025河西区期末）当x＝﹣3时，求代数式5x2﹣4xy﹣2x2﹣2（1﹣2xy﹣3x2）的值为　 　 ． 【题型8】整式化简求值中的整体思想应用(提升) 1.期中考考点总结 -已知某整式的值(如，)，求含该整体的代数式的值(如)，无需单独求、的值。 -核心是将目标代数式变形为含已知整体的形式(如)。 2.解题攻略 -变形代数式：通过提取公因式、添括号等，将目标式转化为含已知整体的形式(如已知，求，直接用代入)。 -整体代入：将已知整体的值代入变形后的式子，计算结果(如)。 -常见变形：、(期中重点考查前两种)。 【例题8】．（2024-2025广东校级三模）若2a﹣b+5＝0，则3（2a+b）﹣6b的值为 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025包头期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为 　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025任丘市期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ 　 　 ； （2）已知x2﹣2y＝﹣4，求2x2﹣4y+2023的值； （3）已知a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1，求代数式2a2+3ab+2b2的值． 【变式题8-3】．（2024-2025内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　 　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【题型9】数轴与整式化简(含绝对值)(培优) 1.期中考考点总结 -根据数轴上字母的位置(如，)，判断绝对值内式子的正负(如，)。 -化简含绝对值的整式(如，去绝对值后合并同类项）。 2.解题攻略 -定正负：根据数轴确定字母的大小关系和正负（如在处，在处，则，，）。 -去绝对值：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数（如，）。 -再化简：去绝对值后按整式加减合并同类项（如）。 【例题9】．（2024-2025商南县月考）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：a　 　 0，b　 　 0； （2）判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b　 　 0，a﹣b　 　 0，a+b+c　 　 0； （3）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|． 【变式题9-1】．（2024-2025德阳期末）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b+c|的值等于（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a 【变式题9-2】．（2024-2025闽侯县期末）有理数m在数轴上对应点的位置如图所示，当时，化简：|﹣a|﹣|1﹣b|﹣|a﹣b|＝　 　 （结果用含m的代数式表示）． 【变式题9-3】．（2024-2025惠东县期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝2，a+b＝6，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）已知A＝﹣a2+3ab+b2，B＝3a2﹣6ab+2b2，求代数式4A﹣[2A﹣（3A﹣2B）﹣（﹣A+B）]的值． 【题型10】整式中“不含某一项”或“与某字母无关”的问题(培优) 1.期中考考点总结 -“不含某一项”：合并同类项后，该项目的系数为(如不含项，即项系数)。 -“与某字母无关”：合并同类项后，所有含该字母的项的系数均为(如与无关，即所有项、项等系数均)。 2.解题攻略 -合并同类项：将整式化简，按目标字母(如)整理同类项(如)。 -列方程：令目标项的系数等于(如不含项，则；与无关，则且)。 -求参数：解方程得参数值(如，)，必要时代入验证。 【例题10】．（2024-2025千阳县期末）多项式2x3﹣10x2+4x﹣1与多项式3x3﹣4x﹣5x2+3相加，合并后不含的项是（　　） A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项 【变式题10-1】．（2024-2025蓬溪县校级期末）若多项式2x3﹣6x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式题10-2】．（2024-2025泉州期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）请用含m，n的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：　 　 ；②阴影A的面积：　 　 ． （2）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【变式题10-3】．（2024-2025牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【题型11】图形规律与整式加减的实际应用（几何/经济场景）（培优） 1.期中考考点总结 -图形规律：用整式表示图形的数量/周长/面积，归纳第个图形的表达式（如第个图形周长）。 -几何应用：用整式表示阴影面积（如长方形挖圆：）、组合图形周长，化简后代值。 2.解题攻略 -定场景找关系：图形规律抓“与目标量关联”，几何抓“总面积-空白面积”，经济抓“固定费+可变费”。 -设量列整式：设未知量（如为图形序号，为边长），按关系列整式（如阴影面积）。 -验证/求值：图形规律用第4个图形验证，实际应用代入数值计算（如、时，）。 【例题11】．（2024-2025云南校级模拟）按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【变式题11-1】．（2024-2025睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　 　 ． 【变式题11-2】．（2024-2025商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【变式题11-3】．（2024-2025通州区校级月考）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． （1）如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为　 　 ； （2）如图2所示，则幻和＝　 　 ； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为　 　 ． 【题型12】整式加减的实际应用(几何面积/经济计费)(培优) 1.期中考考点总结 -几何场景：用整式表示阴影面积(如长方形中挖去圆，面积长方形面积圆面积)、周长(如组合图形周长)。 -经济场景：用整式表示总费用(如话费套餐、购物优惠，如总费用基础费单价数量)。 2.解题攻略 -梳理关系：几何场景找“总面积空白面积”“各边长度和”；经济场景找“固定费用可变费用”。 -设字母：用字母表示未知量(如几何中设边长为，经济中设数量为)。 -列整式：根据关系列出整式，化简后代入数值计算(如长方形长、宽，挖去半径的圆，阴影面积)。 【例题12】．（2024-2025海州区期中）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　 　 ． （2）已知A＝2x2﹣（1﹣3n）x，B＝﹣x2+nx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【变式题12-1】．（2024-2025城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 【变式题12-2】．（2024-2025紫阳县校级期中）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度m元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度（m+0.2）元计费．若该市某家庭上月用电量为130度电，则应缴电费多少元？ 【变式题12-3】．（2024-2025越秀区校级期中）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12m3的部分 a元/m3 超过12m3但不超过20m3的部分 1.5a元/m3 超过20m3的部分 2a元/m3 （1）当a＝2时， ①某户1月份用了3m3的水，求该户1月份应缴纳的水费 　 　 元． ②某户4月份用了13m3的水，求该户4月份应缴纳的水费 　 　 元． ③某户8月份用了23m3的水，求该户8月份应缴纳的水费 　 　 元． （2）设某户月用水量为nm3，当n＞20时，该户应缴纳的水费为 　 　 元（用含a，n的式子表示）． （3）当a＝2时，甲、乙两户一个月共用水40m3，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水xm3，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示） 同步检测 一．选择题（共5小题） 1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．32xy3的次数是6 C．0是单项式 D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式 2．下列运算正确的是（　　） A．x2y﹣2x2y＝﹣1 B．2a+3b＝5ab C．a3+a2＝a5 D．﹣3ab﹣3ab＝﹣6ab． 3．已知一个多项式与3m3+9m的和为3m3+4m﹣1，则这个多项式为（　　） A．﹣5m﹣1 B．5m+1 C．﹣13m﹣1 D．13m+1 4．如果A、B都是关于x的单项式，且A•B是一个七次单项式，A﹣B是一个四次整式，那么A+B的次数（　　） A．一定是四次 B．一定是七次 C．一定是三次 D．无法确定． 5．下列说法正确的是（　　） A．﹣x3y的系数是﹣1，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式2ab2与﹣2a2b是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 二．填空题（共5小题） 6．将整式4xy3﹣2x3y2﹣9+3x2y按x的降幂排列　 　 ． 7．2x3﹣x2﹣1是 　 　 次 　 　 项式，最高次项为 　 　 ，一次项系数为 　 　 ． 8．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1～10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是 　 　 ． 9．请写出一个整式，使其同时满足以下条件： ①该整式中只含有字母x； ②该整式的次数为5，项数为3； ③该整式不含二次项：　 　 ． 10．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足10，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵79+23＝92+10，∴7923是“十全数”；又如：四位数3418，∵34+18≠41+10，∴3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为 　 　 ；若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．已知，求代数式的值． 12．先化简，再求值：4xy﹣[（x2+5xy﹣y2）﹣（x2+3xy﹣2y2）]，其中，x是最大的负整数，y＝2． 13．已知整式（3x2﹣ax﹣y÷6）﹣（3bx2+10x÷5y+1）． （1）若整式的值与字母x取值无关．写出a、b的值； （2）在（1）条件下求的值． 14．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召n（n＞0）个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有（n+1）人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有n（n+1）人．” （1）　 　 的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 15．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A﹣B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值． 16．在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图①所示的边长为a和边长为b的两种正方形纸片（a＞b），甲和乙两人将不同纸片剪拼在一起各作出一个长方形的长和宽如图②，比较两个长方形的周长的大小． 17．已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边比第一条边短a﹣2b，第三条边比第二条边长2a+b． （1）则第二边的边长为　 　 ，第三条边的边长为　 　 ； （2）用含a，b的式子表示这个三角形的周长，并化简； （3）若a，b满足|a﹣8|+（b﹣7）2＝0，求这个三角形的周长． 18．一根长为（15a+12b+4）cm（其中a＞0，b＞0）的铁丝，围成一个三边长分别为2（a+2b）cm，（4a+4b+1）cm，（4a+1）cm的三角形后，仍有剩余． （1）求围成的三角形的周长； （2）求剩余的铁丝长度； （3）若剩余的铁丝长度为30cm，直接写出围成的三角形的周长为 　 　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $