精品解析：江西省吉安市五校联盟2025-2026学年高一上学期第一次大联考数学试题

吉安市五校联盟2028届高一第一次大联考（2025.10） 数学试题 命题学校：全卷满分150分，考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若集合的真子集的个数为3，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 是空集 B. 若，则 C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集 10. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，则的最小值为1 B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 11. 若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（ ） A. 若是“阶集”，则 B. 若是“阶集”，则为任意正实数 C. 若是“阶集”，则 D. 若是“阶集”，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则______. 13. 已知正数满足，则取到最小值时，______. 14. 要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或， （1）若中只有一个元素，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知，命题，；命题，． （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 17. 求关于的不等式的解集：（其中为常数）. 18. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 19. 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）已知具有性质，求证：； （3）已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市五校联盟2028届高一第一次大联考（2025.10） 数学试题 命题学校：全卷满分150分，考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接写出全称量词命题的否定即可. 【详解】命题“” 的否定是: “” ， 故选：C. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 3. 已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析． 【详解】．若，当时， ，所以不成立； ．若，当时，则，所以不成立； ．因为，将两边同除以，则，所以成立 ．若且，当时，则，所以，则不成立． 故选：． 4. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】集合表示被3整除余数为1的整数所构成的集合， 集合表示被3整除余数为2的整数构成的集合， 表示被3整除余数为1或2的整数集合， 则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 故选：A. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件确定参数范围和参数之间的数量关系，将其代入所求不等式计算即得. 【详解】由的解集为，可得， 且方程的解为，则，即， 故，即，又， 即得，解得， 即关于x的不等式的解集为. 故选：C. 7. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 8. 已知集合，，若集合的真子集的个数为3，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分中的两个整数是，和情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以. 若集合的真子集的个数为3，则集合中的元素个数为2， 若集合中的两个元素是2，3，则，解得； 若集合中的两个元素是1，2，则，解得； 若集合中的两个元素是0，1，则，解得； 综上，实数a的取值范围是或. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 是空集 B. 若，则 C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据表示集合的列举法的方法可判断A；当时可判断B；解C中方程即可判断C；时，可判断D． 【详解】A：是含有一个元素的集合，不是空集，故A错误； B：若，则，故B错误； C：，故C正确； D：时，均有且，故是无限集，故D错误． 故选：ABD． 10. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，则的最小值为1 B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】由得，利用基本不等式中“1”的代换技巧求解最小值判断A；结合作差法，利用充要条件的定义判断B；按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解判断C；解分式不等式，然后利用充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，由得， 则， 当且仅当等号成立，正确； 对于B ，，若， ，则， 所以“”是“”的充分条件， 但，时，即，可能， 故“”不是“”的必要条件， 错误； 对于C，当时，恒成立，当时，由题意，解得， 所以实数的取值范围是，错误； 对于D， 的充要条件为，得， 当成立，则一定成立，但是当成立时， 不一定成立， 故“”是“”的一个必要不充分条件，正确. 故选：BC 11. 若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（ ） A. 若是“阶集”，则 B. 若是“阶集”，则为任意正实数 C. 若是“阶集”，则 D. 若是“阶集”，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可. 【详解】对于A，若是“阶集”，则，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确； 对于C，若是“阶集”，则，由得出， 当时，，所以，当时，取，，满足， 但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确； 对于D，若是“阶集”，则， 当，，时，，故不成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】正整数在自然数集中的补集只剩. 【详解】因为集合， 所以， 故答案为：. 13. 已知正数满足，则取到最小值时，______. 【答案】10 【解析】 【分析】由得出，利用基本不等式求出的最小值，根据条件求出的值即可. 【详解】由， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故答案为：10. 14. 要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 【答案】160 【解析】 【分析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值. 【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则， 所以总造价 当且仅当的时区到最小值 则该容器的最低总造价是160. 故答案为：160. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或， （1）若中只有一个元素，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立等式求出即可； （2）由得出不等式组解出来即可； （3）由，对集合进行分类讨论即可. 【小问1详解】 因为集合， 由集合中只有一个元素得， 即. 【小问2详解】 因为或， 由， 所以， 解得：， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 若，则，即， 若，则，或 解集为： 综上所述，若，则实数的取值范围为. 16. 已知，命题，；命题，． （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【小问1详解】 若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. 【小问2详解】 若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 17. 求关于的不等式的解集：（其中为常数）. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用分类讨论思想，来确定开口方向和根的大小，即可写出含参一元二次不等式的解集. 【详解】因为, 所以当，方程的根为, 当，方程的根为和, 若，解不等式得：， 若即时，解不等式为得：， 若时，则，解得或， 若则时，解得或， 若则时，解得 综上，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）最小值为；（2）最小值为；（3）最小值为. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据得出、、，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果； （2）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果； （3）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果. 【详解】，即，，，，， （1）因为、是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. （2）因为，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，， 所以 ， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）已知具有性质，求证：； （3）已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）6； （2） 由题设，且， 所以， 所以，得证. （3）7，理由如下： 由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为7. 【解析】 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【小问1详解】 由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得为关键；第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $