2.2.1基本不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件核心内容为基本不等式的推导、证明、几何意义及最值应用。课堂导入从初中完全平方公式等旧知切入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以数学眼光通过圆的几何图形直观解释基本不等式，用数学思维通过分析法证明及推理依据解析培养逻辑推理，以数学语言规范例题步骤强调“一正二定三相等”。帮助学生提升抽象能力与推理意识，教师可借助清晰环节高效教学。

基本不等式 第二章 第 2.2 节 第 1 课时 授课：路琪 新课导入 我们知道，很多公式在代数式的运算中，有重要的作用。比如初中学过的完全平方公式、平方差公式，还有很多恒成立的不等式，在求解最值问题、不等式的证明中有很大的作用。 下面我们就来研究基本不等式有什么样的作用！ 学习目标 01 能利用重要不等式抽象出基本不等式. 02 能够利用不等式的性质推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义. 03 能利用基本不等式解决简单的最值问题. 新知探究 问题 1 在不等式的学习中，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式： ∀a,b∈R，有，当且仅当时，等号成立。 特别地，当a>0，b>0，我们用， 去分别替换 中的a和b，会得到什么？ 得到 ， 变形为 新知探究——基本不等式的概念 叫做正数的算术平均数 叫做正数的几何平均数 基本不等式表明： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 问题 1 谈谈你对基本不等式结构特征的认识. ∀，，有当且仅当 时，等号成立。通常称它为基本不等式。 基本不等式刻画两个正数在运算中出现的大小关系的变化规律 新知探究 问题 2 接下来，你能不能根据前面学过的不等式的性质来证明基本不等式呢？ 作差比较法 ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 新知探究 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至出现一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止。 问题 3 还有其他方法可以证明基本不等式吗？ 新知探究 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当 时，⑤中的等号成立. 这时，只需要把上述过程倒过来，就可以推导基本不等式了。 分析法 问题 4 上述证明中，每一步推理的依据是什么呢？ 由②→①，即由到 根据不等式的性质，在不等式左右两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向。这里，根据前面所学充要条件的知识，我们可以知道②是①成立的充分条件。 分析法 问题 4 上述证明中，每一步推理的依据是什么呢？ 由③→②，即由到 根据不等式的性质，在不等式左右两边同时加上正数，所得不等式与原不等式同向。这里，根据前面所学充要条件的知识，我们可以知道③是②成立的充分条件。 分析法 问题 4 上述证明中，每一步推理的依据是什么呢？ 由④→③，即由到 运用完全平方公式展开计算得到。这里，根据前面所学充要条件的知识，我们可以知道④是③成立的充分条件。 分析法 问题 4 上述证明中，每一步推理的依据是什么呢？ 由⑤→④，即由到 根据不等式的性质，在不等式左右两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向。这里，根据前面所学充要条件的知识，我们可以知道⑤是④成立的充分条件。 显然，⑤成立，当且仅当 时，⑤中的等号成立. 新知探究 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至出现一个明显成立的条件为止。 分析法在书写过程中必须有相应的文字说明： 一般每一步的推理都用“要证⋯⋯，只要证⋯⋯”的格式， 当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然× × ×成立” 问题 5 你能归纳一下用分析法证明命题的格式吗？ 新知探究——基本不等式的几何解释 问题 7 你能利用这个图形，给出基本不等式的几何解释吗？在图中你能找到长度为 与 的线段吗？ 不难发现，圆的半径长等于 ，哪条线段是呢？ 易证△ACD∽△DCB ∴= ⇒CD= 新知探究 将点在线段上移动，你能发现什么结论？ 结论： 半弦CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为： 显然，当且仅当C与圆心重合，即a=b时，上述不等式的等号成立。 例题解析——基本不等式在最值中的应用 已知 ，求 的最小值. 例1 解： 因为，所以 当且仅当，即 ， 时，等号成立， 因此所求的最小值为 2. 本题中要求的代数式是与 和的形式，而且 . 由于是 与 的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数 是一个定值，所以可以利用基本不等式求解. 例题解析 这是为了说明 2 是 的一个取值，这样才能说明 的最小值为2. 请同学们想一想，当 时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当 ，即 ， 时，等号成立”？ 不能，因为此时 不是 的一个取值. 例题解析 已知 都是正数，求证： 例2 （1）如果积 等于定值，那么当时，和有最小值 ； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 . 证明： 因为 ，所以 （1）当积 等于定值 时， ， 所以 ， 当且仅当 时，上式等号成立. 于是，当 时，和有最小值 . 积为定值时， 和有最小值。 例题解析 已知 都是正数，求证： 例2 （1）如果积 等于定值，那么当时，和有最小值 ； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 . 证明： 因为 ，所以 （2）当和 等于定值 时， ， 所以 ， 当且仅当 时，上式等号成立. 于是，当 时，积有最大值 . 和为定值时， 积有最大值。 总结新知 利用基本不等式求最值时，需满足: （1）a，b必须是正数. （正） （2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值； 当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定） （3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等） 课堂小结 基本不等式 如果 ，，有（当且仅当 时，等号成立）. 几何意义 使用条件 作用 圆的半弦不大于半径 一正、二定、三相等 和定积最大、积定和最小 巩固训练 跟踪训练 跟踪训练 （1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 当时，求的最小值. 当 时，求 的最小值. $