3.2.1 函数的单调性应用（第3课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的应用，涵盖比较大小、解不等式、求参数范围、对勾函数及复合函数单调性等核心内容。从单调性定义与性质出发，通过实例（如增函数解不等式f(2m) > f(-m+9)）搭建从定义到应用的学习支架，衔接紧密。 其亮点在于通过“探究”提炼方法（如“同增异减”判定复合函数单调性），结合实例（如分析y=f(|x-3|)的单调区间）培养数学思维与表达。题型分类清晰，含解析与小结，助力学生用数学眼光解决问题，教师可高效开展教学。

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第3课时 函数的单调性的应用 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 题型一 ——利用单调性比较大小、解不等式 (2)若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，－3)　　　 B.(0，＋∞) C.(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞) √ 【解析】函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.故选C. (3)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围. 探究1 (1)比较两个函数值的大小，一定要把两个自变量的值置于同一个单调区间内. (2)①若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x1<x2时，f(x1)<f(x2)； 当x1>x2时，f(x1)>f(x2). ②若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)<f(x2)时，x1<x2； 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2. ③当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论. 巩固训练1　设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　) A.f(a)＞f(2a)　　　　 B.f(a2)＜f(a) C.f(a2＋a)＜f(a) D.f(a2＋1)＜f(a) √ 巩固训练2 已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，若f(2x－3)＞f(x＋1)， 求x的取值范围. 【分析】利用单调性，去掉面纱“f ”，化归成“实在”不等式组. 巩固训练3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1， 求不等式f(2x－1)－1＞0的解集. 题型二 ——利用单调性求参数的值或范围 例2　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增， 则实数a的取值范围是___________. (－∞，－4] (3)已知函数f(x)＝2x2－kx－4在区间[－2，4]上具有单调性，则k的取值范围是(　　) A.[－8，16] B.(－∞，－8]∪[16，＋∞) C.(－∞，－8)∪(16，＋∞) D.[16，＋∞) √ 探究2 (1)解决二次函数的单调性问题时，要注意借助图象的对称轴与区间的位置进行分析. (2)解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一相关式子. (3)利用单调性求参数范围，需要掌握常见基本初等函数的单调性及其单调区间. 巩固训练1　已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实 数k的取值范围是(　　) A.(－24，40) B.[－24，40] C.(－∞，－24] D.[40，＋∞) √ √ 巩固训练3 题型三 ——对勾函数 【讲评】本例中所涉及的函数的图象如图，     此函数叫做“对勾函数”. 巩固训练 [4，＋∞) (0，5] 题型四 ——复合函数的单调性 (1)已知g(x)在[m，n]上单调递减，且a≤g(x)≤b，f(t)在[a，b]上单调递增， 求证：f(g(x))在[m，n]上单调递减. 【证明】设m≤x1＜x2≤n， ∵g(x)在[m，n]上单调递减，且a≤g(x)≤b， ∴b≥g(x1)＞g(x2)≥a. 又∵f(t)在[a，b]上单调递增， ∴f(g(x1))＞f(g(x2)). 由函数的单调性定义知，f(g(x))在[m，n]上单调递减. 【分析】首先求函数的定义域，其次要清楚所求函数是由哪几个函数复合而成的. 【讲评】求复合函数的单调区间要先求函数的定义域， 其次要充分利用基本初等函数的单调性. 小 结 ——复合函数的单调性的判定 t＝g(x) y＝f(t) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 注意：(1)判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的定义域. (2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”. 能力提升1 能力提升2 已知函数y＝f(x)在R上是减函数，则y＝f(|x－3|)的单调递减区间是(　　) A.(－∞，＋∞) B.[3，＋∞) C.[－3，＋∞) D.(－∞，3] √ 【解析】设t＝|x－3|，则当x≥3时，函数t＝|x－3|单调递增，当x≤3时， 函数t＝|x－3|单调递减， ∵y＝f(t)在R上是减函数， ∴根据复合函数的单调性可知y＝f(|x－3|)的单调递减区间是[3，＋∞). 故选B. 强基训练 √ √ √ 【解析】只有y＝[f(x)]2仍为减函数.条件f(x)>0至关重要. 感谢观看与聆听 THANKS 例1 (1)已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，试比较f(a2－a＋1)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) 的大小. 【解析】∵a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)， ∴eq \f(3,4)与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值. ∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))≥f(a2－a＋1). 【解析】由题意可得1＞1－a＞a2－1＞－1， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＞1－a，,1－a＞a2－1，,a2－1＞－1，))解得0＜a＜1， 则a的取值范围为(0，1). 【解析】∵a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0， ∴a2＋1>a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f(a2＋1)<f(a). 【解析】∵f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，f(2x－3)＞f(x＋1)， ∴得出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＜2x－3＜3，,－3＜x＋1＜3，,2x－3＜x＋1，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜3，,－4＜x＜2，解得0＜x＜2.,x＜4，)) 故x的取值范围是(0，2) 【解析】f(2x－1)－1＞0，即f(2x－1)＞f(0)， ∵函数f(x)在R上是增函数， ∴2x－1＞0，即x＞eq \f(1,2). ∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 【解析】 由f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((3－a)x－4a，x<1，,x2，x≥1))是R上的增函数，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,3－5a≤1，))解得eq \f(2,5)≤a<3. (2)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((3－a)x－4a，x<1，,x2，x≥1))是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，3)) 【解析】∵f(x)＝2x2－kx－4 ∴其图象的对称轴为x＝eq \f(k,4) ∵f(x)在区间[－2，4]上具有单调性 ∴eq \f(k,4)≥4或eq \f(k,4)≤－2，即k≥16或k≤－8， 故选B. 【解析】　∵函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴为x＝eq \f(k,8)， 且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性， ∴根据二次函数的性质可知eq \f(k,8)≥5，解得k≥40， 则实数k的取值范围为[40，＋∞)，故选D. 巩固训练2 已知函数f(x)＝eq \f(x,x－a)(a∈R)，若函数f(x)在(1，＋∞)上单调 递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.(0，1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞) 【解析】由题意得函数f(x)＝eq \f(x,x－a)＝1＋eq \f(a,x－a)(a∈R)，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则a>0.结合函数f(x)＝eq \f(x,x－a)的单调递减区间为(a，＋∞)和(－∞，a)可知a≤1，所以0<a≤1.故选B. 【多选题】若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2a，x≤－1，,ax＋4，x>－1))在R上是单调函数， 则a的取值可能是(　　) A.0 B.1 C.eq \f(3,2) D.3 【解析】 由题可判断f(x)只能为增函数， 当x≤－1时，由f(x)＝－x2＋2a单调递增，则f(x)≤－1＋2a， 当x＞－1时，由f(x)＝ax＋4也单调递增，则a>0且－1＋2a≤－a＋4，解得0<a≤eq \f(5,3). 结合选项知，a的取值可能是1，eq \f(3,2).故选BC. ∵0<x1<x2≤eq \r(k)， ∴x1－x2<0，x1x2－k<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴f(x)＝x＋eq \f(k,x)在(0，eq \r(k)]上单调递减. 设函数f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)，试证明f(x)在区间(0，eq \r(k)]上单调递减，在区间[eq \r(k)，＋∞)上单调递增。(建议在理解的基础上记住此结论！) 【证明】∀x1，x2∈(0，eq \r(k)]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(k,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(k,x2))) ＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x1)－\f(k,x2))) ＝(x1－x2)＋eq \f((x2－x1)k,x1x2) ＝eq \f((x1－x2)(x1x2－k),x1x2) ∀x1，x2∈[eq \r(k)，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f((x1－x2)(x1x2－k),x1x2)， ∵eq \r(k)≤x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2－k>0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴f(x)＝x＋eq \f(k,x)在[eq \r(k)，＋∞)上单调递增. 综上可得，f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k>0)在(0，eq \r(k)]上单调递减，在[eq \r(k)，＋∞)上单调递增. (1)若函数y＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)在区间(0，2)上单调递减，则a∈________. (2)若函数y＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)在区间(eq \r(5)，＋∞)上单调递增，则a∈________. (2)求函数y＝eq \r(1－2x)的单调区间. 【解析】由1－2x≥0，得x≤eq \f(1,2)，即定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))， 而函数y＝eq \r(1－2x)是由y＝eq \r(t)及t＝1－2x复合而成的. 因为t＝1－2x，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))单调递减，y＝eq \r(t)，t∈[0，＋∞)单调递增， 所以y＝eq \r(1－2x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上单调递减， 即y＝eq \r(1－2x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，无单调递增区间. 求下列函数的定义域，指出复合函数的内层函数和外层函数分别是什么，并求单调区间. ①y＝eq \f(1,x－1)；②y＝eq \f(1,x2＋1)；③y＝eq \r(x－1)；④y＝eq \r(x2－2x)；⑤y＝eq \r(－x2＋2x). 【解析】①定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)， 内层函数是t＝x－1，外层函数是y＝eq \f(1,t)， 单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)，无单调递增区间. ②定义域是R，内层函数是t＝x2＋1，外层函数是y＝eq \f(1,t)， 单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞). ③定义域是[1，＋∞)，内层函数是t＝x－1，外层函数是y＝eq \r(t)， 单调递增区间是[1，＋∞)，无单调递减区间. ④定义域是(－∞，0]∪[2，＋∞)，内层函数是t＝x2－2x，外层函数是y＝eq \r(t)， 单调递增区间是[2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]. ⑤定义域是[0，2]，内层函数是t＝－x2＋2x，外层函数是y＝eq \r(t)， 单调递增区间是[0，1]，单调递减区间是[1，2]. 设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中是增函数的是(　　) A.y＝3－2f(x) B.y＝1＋eq \f(2,f(x)) C.y＝[f(x)]2 D.y＝1－eq \r(f(x)) $