精品解析：湖北省咸宁市华师元一赤壁学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025年高一年级10月考试数学试卷 考试时间：2025年10月20日14：00-16：00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 第一部分选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：D 2. 已知函数（ ） A. B. 4 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】， 故选：C 3. 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数与抽象函数定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：; 所以函数的定义域为; 故选：A 4. 若，.当时，（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的概念结合集合元素的互异性列式求值. 【详解】因为，且，，所以，所以； 所以，， 又，所以或. 由且得方程无解； 由且得. 所以. 故选：A 5. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. 最小值为2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABD；根据基本不等式判断C. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A错误； 对于B，由，则，即， 而，所以，故B正确； 对于C，由，则，且， 所以，故C错误； 对于D，由，则，故D错误. 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，进一步解二次不等式即可得解. 【详解】已知关于的不等式的解集为， 则，所以， ，即， 所以，解得或. 故选：B. 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 8. 调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（ ） A. 190人 B. 120人 C. 144人 D. 178人 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（ ） A. “更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B. “更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C. “能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D. “能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，且是到上的函数，则值域为 B. 已知，则 C. 与表示同一函数 D. 与不是同一个集合 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由函数的定义得到值域为的子集；B选项，配凑法求出，；C选项，两函数定义域不同，不是同一函数；D选项，根据空集的概念得到D正确. 【详解】A选项，是到上的函数，则值域为的子集，A错误； B选项，，其中，所以，，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为R， 故两函数不是同一函数，C错误； D选项，表示集合中没有元素，而表示集合中有一个元素，该元素为空集， 故两者不是同一个集合，D正确. 故选：ABC 11. 已知为正实数，且则下列正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合已知条件，运用基本不等式逐一分析判断各选项． 【详解】令（），，，， ，当且仅当，即时取等号，此时，故A正确； ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为2，故B正确； ， 又，当且仅当时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，故C错误； ，则 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：． 第二部分 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出与函数值域相同而定义域和对应法则都不同的一个函数___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据的值域为，任写一个函数即可． 【详解】的值域为， 所以可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知一次函数，其中，.则的取值集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，，进而可得，利用不等式的性质可求得的取值集合. 【详解】因为函数，，， 所以，， 由函数，得， 令， 则，解得， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 所以的取值集合是. 故答案为：. 14. 集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中.已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解. 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题： （1）已知一次函数满足，求的解析式. （2）求函数（其中）的值域. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）令且，写出表达式，结合已知求参数值，即可得； （2）应用换元法有，则且，整理解析式将其化为顶点式，并应用二次函数的性质求值域. 【小问1详解】 令且，则， 所以，可得或，则或； 【小问2详解】 由，令，则且， 所以， 所以在上单调递减，则其值域为， 所以在上的值域为. 16. 定义全集已知集合，，，定义集合且. （1）. （2）若，则，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的集合的运算法则进行集合的运算. （2）根据集合之间的包含关系，分和求参数的取值范围. 【小问1详解】 由， 所以； 由，所以. 根据定义：，， 所以. 【小问2详解】 若，则，所以. 因为，所以或. 若，即，则，成立； 若，即，此时，由可得： 或， 解不等式组，无解；不等式组，无解. 综上可知：. 所以实数的取值范围为. 17. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，当， （1）求的解析式. （2）画出的图象. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论可求函数的解析式； （2）根据（1）的解析式作出函数的图像. 【小问1详解】 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以的解析式为. 【小问2详解】 根据（1）作出函数的图像如图所示： 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围. （2）解关于的不等式. （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论求解即可； （2）由题意得，再根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求解即可； （3）由题意可得对恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由已知的解集为， 当，即时，不等式为，即，不满足题意； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由，即， 当，即时，不等式为，解得， 则不等式的解集为； 当，即时，不等式为， 当，即时，不等式为， 由于， 所以不等式的解集为； 当，即时，不等式为， 由于， 所以不等式的解集为． 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由已知，不等式，对恒成立， 则，对恒成立， 即，对恒成立， 而， 则， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以，则的取值范围为. 19. 在人工智能时代，机器人系统的规划与控制需要处理大量计算．利用直积和满射等数学工具对机器人的状态空间与决策空间进行建模，可以为核心任务提供结构化的数学框架，从而优化计算过程，提升运算效率．对于给定的集合，它们的直积（或称笛卡尔积）为．定义在映射中对于中的每一个元素，中都存在中的元素使得，则称映射为满射． （1）设集合，，． ①求集合，并写出的所有元素． ②定义映射（为自然数集），，求的取值集合，判断是否为满射． （2）判断对于任意的集合，是否都有成立？请给出证明． 【答案】（1）①集合，的所有元素为：，，共个； ②不是满射． （2） 集合为任意集合，令， ， ， ， ， ， ，即等式不成立； 证明：根据直积的定义，， ， 假设成立，则对于任意，都有， 但当时，，但，与假设矛盾， ，故等式不成立， 对于任意的集合，不都成立． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，进而求出集合，再根据直积的定义求出的所有元素，进而求出，并判断是否为满射； （2）利用直积和并集的定义及运算规则，用反证法证明等式不恒成立． 【小问1详解】 ， ①或②， 解①得：或， 解②得：或， 不等式的解集为， ， 集合， ， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 集合， ，，， 的所有元素为：， ，共个； ，， 的所有有序对的值： ， ， ， ， ， 所有值：， 的取值集合为． 中存在元素(如3，6)，在中没有对应的使得等于这些数， 不是满射． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高一年级10月考试数学试卷 考试时间：2025年10月20日14：00-16：00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 第一部分选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（ ） A. B. 4 C. 10 D. 16 3. 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 若，.当时，（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. 最小值为2 D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（ ） A. 190人 B. 120人 C. 144人 D. 178人 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（ ） A. “更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B. “更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C. “能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D. “能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 10. 下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，且是到上的函数，则值域为 B. 已知，则 C. 与表示同一函数 D. 与不是同一个集合 11. 已知为正实数，且则下列正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 第二部分 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出与函数值域相同而定义域和对应法则都不同的一个函数___________. 13. 已知一次函数，其中，.则的取值集合是___________. 14. 集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中.已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题： （1）已知一次函数满足，求的解析式. （2）求函数（其中）的值域. 16. 定义全集已知集合，，，定义集合且. （1）. （2）若，则，求实数的取值范围. 17. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，当， （1）求的解析式. （2）画出的图象. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围. （2）解关于的不等式. （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19. 在人工智能时代，机器人系统的规划与控制需要处理大量计算．利用直积和满射等数学工具对机器人的状态空间与决策空间进行建模，可以为核心任务提供结构化的数学框架，从而优化计算过程，提升运算效率．对于给定的集合，它们的直积（或称笛卡尔积）为．定义在映射中对于中的每一个元素，中都存在中的元素使得，则称映射为满射． （1）设集合，，． ①求集合，并写出的所有元素． ②定义映射（为自然数集），，求的取值集合，判断是否为满射． （2）判断对于任意的集合，是否都有成立？请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $