5. 共点力的平衡（举一反三讲义）物理人教版2019必修第一册

5．共点力的平衡 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：共点力平衡的条件 2 知识点2：共点力平衡问题的分析 4 知识点3：动态平衡问题的常用解法 7 【方法技巧】 9 方法技巧1 平衡状态中的临界和极值问题 9 方法技巧2 空间力的平衡问题的求解方法 11 【巩固训练】 13 【学习目标】 1．知道共点力，理解物体的平衡状态，可快速识别物体是否处于平衡状态（静止或匀速直线运动），以及所受作用力是否为共点力。 2．准确理解共点力平衡的两种核心条件。 3．能精准判断生活与物理情境中的共点力平衡问题，熟练掌握解决共点力平衡问题的基本步骤。 重点： 1．共点力平衡的条件：根本条件（合外力为零）；正交分解下的平衡条件。 2．共点力平衡问题的基本解题步骤：确定研究对象→受力分析→建立坐标系与力的分解→列方程与求解。 难点： 1．能够正确选择合适的共点力平衡问题的解题方法（解析法、图解法、正交分解法、相似三角形法等）。 2．动态平衡问题的分析：能够正确通过几何关系（矢量三角形）或函数关系，判断变化力的大小变化趋势。 3．平衡状态中的临界和极值问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：共点力平衡的条件 1．平衡状态 （1）定义：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。 （2）两种表现形式：①物体处于静止状态：其特征是物体的速度为零（v=0），加速度为零（a=0）； ②物体处于匀速直线运动状态：其特征是物体的速度为恒定值（v≠0），加速度为零（a=0）。 “保持”某状态≠“瞬时”某状态 不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零，例如竖直上抛的物体运动到最高点时，速度为零，但加速度不为零，不处于静止状态。 “静止”要满足两个条件：v=0且a=0，缺一不可。 2．共点力平衡的条件 （1）在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。 （2）表达式：或，（和分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）。 3．共点力平衡下物体的受力特点 （1）二力平衡：若物体在两个共点力同时作用下处于平衡状态，则这两个共点力大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上，它们的合力为零，这就是初中学过的二力平衡。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力同时作用下处于平衡状态，根据力的合成法则，可以把任意两个共点力用一个合力来等效替代，这样就把三力平衡简化成了二力平衡。 （3）多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零，若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意（n－1）个力的合力必定与第n个力等大、反向，且作用在同一直线上，这些力的矢量可以构成一个首尾相连的封闭矢量多边形。 三力汇交原理 物体在三个互成角度（θ≠0°或180°）的力同时作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线（或作用线的延长线）必相交于一点，且一定在同一个平面内，一定能构成一个封闭的矢量三角形。 如图所示，两细绳分别连接木板的两端，木板处于静状态，将力F1、F2反向延长，其交点一定在重力G的作用线上，三个是共点力。 【典例1】下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是（　　） A．相对静止的两个物体都处于平衡状态 B．物体做自由落体运动时处于平衡状态 C．如果物体处于平衡状态，则物体沿某一方向的合力可能不为零 D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等方向相反 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．物体受到共点力的作用一定平衡 B．物体所受的合力为零时不一定处于平衡状态 C．物体所受的合力为零时一定处于静止状态 D．物体速度为零时合力不一定为零 【变式2】物体在五个共点力的作用下保持平衡。图中线段的长度代表力的大小。现要使物体所受合力最小，应撤去的力是（　　） A． B． C． D． 【变式3】某学习小组在做三力平衡实验中，他们把一立柱固定在水平桌面上，再将一个圆环套在立柱上，然后用三个水平力、、作用在圆环上，平衡时圆环紧靠在立柱上，其俯视图如图所示。欲移动圆环，使立柱位于圆环的正中央，若保持三个力方向不变，只调整其中两个力的大小，下列操作可行的是（　　） A．增加、的大小且增大的多些 B．增加、的大小且增大的多些 C．增加、的大小且增大的多些 D．增加、的大小且增大的多些 知识点2：共点力平衡问题的分析 1．求解共点力平衡问题的一般步骤 （1）选取研究对象：根据题目要求，恰当选取研究对象，在平衡问题中，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，还可以是几个物体相互连接的结点。 （2）明确运动状态：判断物体是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动。 （3）进行受力分析：分析研究对象的受力情况，画出受力分析图。 （4）列出方程求解：利用平衡条件建立方程并求解。 2．解决共点力平衡问题的常用方法 （1）单个物体的静态平衡 ①合成法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解。 如图所示，在平衡状态下，O点所受三个力的合力为0。F4为F1和F2的合力，则F4与F3平衡，即F4＝F3＝G，由图可知，，，则。 ②正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法。先把物体所受的各个力逐一地分解在两个相互垂直的坐标轴（x轴和y轴）上，再列出x轴和y轴方向上的方程并求解。 如图，①中的问题也可以用正交分解法求解。以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于0，可列方程 F2－F1x＝0，F1y－F3＝0。即F2－F1sinθ＝0，F1cosθ－G＝0。联立解得，。 ③矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形。把三个共点力转化为三角形的三条边，利用三角形定则，根据边角关系，求解平衡问题。（如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。） （2）多个物体的静态平衡 若系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，可选用整体法和隔离法。 ①整体法：当几个物体组成的系统具有相同的运动状态，且在只涉及研究系统与外界的相互作用面不涉及系统内部物体之间的力与运动时，一般采用整体法。 ②隔离法：为了研究系统内某个物体的受力和运动情况，一般把需要研究的物体从系统中隔离出来进行研究的方法，称为隔离法。 【典例2】（合成法）如图所示，在光滑的竖直墙壁上用网兜把足球挂在点，足球与墙壁接触，保持静止。已知足球的重力大小为，悬绳与墙壁的夹角为，网兜与悬绳的质量不计。下列说法正确的是（　　） A．足球所受到的合力大小为 B．悬绳对足球的拉力大小为 C．足球对墙壁的压力大小为 D．足球对墙壁的压力是由墙壁的形变产生的 【变式1】（正交分解法）如图所示，小芳的哥哥用一个雪橇拉着小芳在水平雪地上运动。已知小芳和雪橇的总质量为45kg，雪橇与雪地间的动摩擦因数为，拉力F的方向与水平面的夹角，不计空气阻力，重力加速度g取。若要使雪橇在水平雪地上做匀速直线运动，则拉力F的大小为（　　） A．80N B．100N C．120N D．150N 【变式2】（矢量三角形法）如图所示，重力为G的石头卡在绝壁间，悬空于峡湾千米之上。设两侧绝壁光滑且均为平面，左侧平面竖直，右侧平面与竖直方向夹角为，左右两侧绝壁对石头的作用力大小分别为和，则（　　） A． B．可能大于 C．人站上石头，不变 D．人站上石头，不变 【变式3】（整体隔离法）中国春节挂灯笼有着美好的象征寓意。小明发现家里的灯笼在稳定水平风力的作用下倾斜至如图所示状态保持静止。已知两个灯笼完全相同且所受水平风力相同，悬挂于点的轻绳的拉力且与竖直方向的夹角。（取，，）求： （1）每个灯笼的质量及每个灯笼所受的风力大小； （2）灯笼1和灯笼2间轻绳的拉力大小及该绳与竖直方向的夹角。 知识点3：动态平衡问题的常用解法 方法 适用范围 步骤 解析法 通常应用于物体受到四个及四个以上的力而平衡的情形 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②将物体受的力按实际作用效果分解或进行正交分解 ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 一个力的大小、方向不变，一个力的方向不发生变化，另一个力的方向发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据平衡条件进行受力分析，将表示物体受到的力的矢量线段画在一个三角形或平行四边形内 ③根据已知量的变化，画出平行四边形或三角形的边角变化 ④通常以大小、方向都不变化的力作为参考标准，通过分析三角形或平行四边形边、角变化，确定未知量大小、方向的变化 辅助圆法 一个力的大小和方向不变，另外两个力的夹角不变 ①选某一状态时的物体进行受力分析（一般选初状态） ②根据平衡状态构建矢量三角形 ③画出矢量三角形的外接圆 ④根据物体位置的变化确定各量的变化 相似三角形法 一个力的大小、方 向 不变，另外两个力的方向都发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据某一个时刻的平衡状态构建矢量三角形 ③根据图中几何关系，找到一对相似三角形 ④根据相似三角形的性质建立边的比例关系，通过不变的已知量找到未知量的变化情况 【典例3】（解析法）如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 【变式1】（图解法）（多选）如图所示，一质量为的光滑小球静止在挡板A与斜面B之间，斜面B的倾角为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．挡板A对小球的弹力大小为 B．小球对斜面B的压力大小为 C．若将挡板A绕转轴顺时针缓慢旋转至水平，则小球对斜面B的压力将逐渐减小 D．若将挡板A绕转轴顺时针缓慢旋转至水平，则小球对挡板A的压力将逐渐减小 【变式2】（辅助圆法）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示模型，∠BAC=90°，叉车臂AC与水平方向夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若θ从0°缓慢增加为90°，叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为（　　） A．一直增大 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在增大 【变式3】（相似三角形法）如图，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，另用一根轻绳通过定滑轮系在P端。当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时，OP杆的弹力FN和绳子的张力FT的大小变化是（　　） A．FN先变小后变大 B．FN不变 C．FT先变大后变小 D．FT逐渐变小 【方法技巧】 方法技巧1 平衡状态中的临界和极值问题 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）。 （2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。 （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。 2、极值问题 平衡状态中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用解析法或图解法进行分析。 3、临界和极值问题求解方法 （1）解析法：根据物体的平衡条件列出方程，求解方程时，采用数学知识求极值或根据物理的临界条件求极值。 （2）图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据力的矢量图进行动态分析。尤其注意分析大小和方向变化的力，确定其最大值知最小值。此法简便、直观。 （3）极限分析法：要对研究对象正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界条件；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 【典例4】如图所示，橡皮筋的A端固定，另一端与轻绳的结点拉至O点并保持不动。与竖直方向的夹角分别为和。现保持角不变，水平移动滑轮C，当绳悬挂重物的质量最小时，与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（解析法）如图所示，物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成的粗细均匀的固定杆上，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，滑环B恰好不能下滑，滑环和杆间的动摩擦因数，设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物块A和滑环B的质量之比。 【变式2】（图解法）如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为2m的小球A，为使小球A处于静止状态时细绳与竖直方向成30°角绷紧，需要施加的最小外力是（　　） A．mg B．mg C．mg D．mg 【变式3】（极限分析法）日常生活中，我们中国人习惯用筷子夹取食物，筷子是中国人常用的饮食工具，也是中国传统文化的特色体现。如图甲所示，用两根筷子夹住小球，使小球静止不动，小球的受力均在同一竖直平面内，每根筷子和竖直方向的夹角均为，小球的质量，重力加速度。 （1）按图所示中筷子夹小球的方式，若小球与筷子之间没有摩擦力，求每根筷子对小球的压力大小； （2）按图所示中筷子夹小球的方式，小球与筷子之间的动摩擦因数为，小球与筷子间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使小球保持静止不动，求每根筷子对小球压力的取值范围； 方法技巧2 空间力的平衡问题的求解方法 空间力是指物体所受的力不在同一平面内，物体受空间力平衡时，在任一平面内、任一直线上受力都是平衡的。处理此类问题常见方法如下： 1、对称法 当研究对象所受的力具有对称性时，可利用物体的受力具有对称性的特点，如某些力大小相等、方向相反，把复杂的运算（或图形）转化为简单的运算（或图形）来处理。 2、转化法 空间力作用下物体处于平衡状态，要利用平衡条件将物体受到的力分解转化为同一平面上的力来分析处理问题。 例如，物体静止在倾角为30°的斜面上，当用一与斜面平行也与水平面平行的力F匀速拉动物体时。分析物体受力时，可以将其转化为物体沿斜面方向受到的力和垂直于斜面的力，根据物体在平行和垂直斜面方向受力平衡进行求解。物体受到3个与斜面平行的力，拉力F、重力沿斜面向下的分力和滑动摩擦力f。因为物体在斜面做匀速运动，所以可得 。 【典例5】古代漕运中，船只航行常依赖纤夫拉纤助力，其情景简化如下图所示。一条轻绳穿过船头固定的光滑铁环，两名船工在船两侧拉绳，铁环两侧绳子对称，夹角为α，两绳所在平面与水平面形成的二面角的平面角为β。当船本身无动力且匀速前进时，每侧绳拉力大小为F，船受到水的阻力的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，倾角为的长方形斜面的宽为L、长为。c点放有一个质量为m的物块，某同学给物块一个平行于斜面的推力F（方向、大小均未知），将物块沿着方向匀速运动推到a。已知物块与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。则（　　） A．推力大小为 B．推力大小为 C．推力的方向与成角 D．推力的方向与成角 【变式2】如图所示，水平地面固定有倾角为的斜面体，质量为m的物体在平行于底边、大小为的水平力作用下静止于斜面上，重力加速度为g，则该物体受到的斜面摩擦力大小为（    ） A． B． C． D．mg 【变式3】孔府是中国传统建筑的杰出代表，采用了瓦片屋顶，屋顶结构可简化为如图，弧形瓦片静止在两根相互平行的倾斜椽子正中间。已知椽子与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，重力加速度为g，则两根椽子对瓦片的支持力合力大小为 ，每根椽子对瓦片的摩擦力大小为 ，若椽子间距增大，则每根椽子对瓦片的摩擦力大小 （选填“增大”、“减小”或“不变”）。 【巩固训练】 1．如图所示，A、B两物体叠放在一起，在水平向左的恒力作用下处于静止状态，则关于两物体受力情况的说法正确的是（　　） A．物体A一定受到4个力 B．物体B一定受到3个力 C．物体A对竖直墙壁的压力与墙壁对物体A的弹力是一对平衡力 D．物体A、B间可能有摩擦力 2．如图所示，A、B、C、D物体均静止，各接触面均粗糙，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中，在竖直向上的力F作用下，A对竖直墙壁的摩擦力可能向下 B．图乙中，B对水平地面的摩擦力方向水平向左 C．图丙中，两根长度相同的轻绳对C的拉力一定相同 D．图丁中，斜面对D的支持力垂直斜面向上 3．如图所示，“”形硬钢丝竖直固定放置，OM沿竖直方向，∠MON=30°，一个光滑的轻环套在ON上，一根足够长的轻绳穿过轻环，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。当系统处于稳定状态时，ON受到轻环的弹力大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在光滑竖直墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的重力为G，悬绳与墙壁的夹角为，则（    ） A．悬绳对球的拉力F的大小为 B．球对墙壁的压力的大小为 C．若增大悬绳长度，悬绳对球的拉力将增大 D．若增大悬绳长度，墙壁对球的压力将减小 5．如图所示，某人站在台阶上用绳子把一个光滑圆球拉到台阶上，绳子质量不计，拉球的绳子延长线通过球心，图示时刻圆球刚好处于平衡状态，拉力F与半径成直角。若此时改变绳子的拉力方向（延长线仍通过球心），让圆球仍在原位置保持静止，下面说法正确的是（　　） A．减小绳子与半径的夹角，F减小 B．减小绳子与半径的夹角，F增大 C．增大绳子与半径的夹角，F减小 D．增大绳子与半径的夹角，F先减小后增大 6．如图是“中国天眼”500m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”（月球表面重力加速度为地球表面的）的感觉，若将人视为质点，工作人员和球心的连线与竖直方向的夹角为30°，则此时工作人员（　　） A．受到的重力大小为mg B．受到的合力大小为mg C．对球面的作用力大小为mg D．对球面的压力大小为 7．如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有（　　） A．三条绳中的张力都相等 B．杆对地面的压力等于自身重力 C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零 D．绳子拉力的合力与地面对杆的支持力大小相等 8．如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA=OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（　　） A．轻绳OA受到的拉力大小为2mg B．轻杆OB受到的弹力大小为mg C．若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大 D．若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小 9．如图用两根轻质细绳OA、OB悬挂一灯笼。现使OB绳从水平方向开始沿逆时针方向缓慢转动90°，两点位置不变，灯笼保持静止。在此过程中，OB绳所受拉力（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 10．如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小球施加一始终指向半圆环最高点B的拉力F，使小球从圆环最低点A缓缓移动到最高点B。下列说法正确的是（　　） A．拉力F先增大后减小 B．拉力F一直减小 C．小球对圆环的压力大小始终变小 D．小球对圆环的压力先增大后减小 11．如图所示，一轻弹簧上端套在固定的光滑水平轴O上，下端拴接一小球P，小球P在水平轻绳PA的作用下静止在图示位置。现将轻绳的A端缓慢下降，使∠OPA保持不变，弹簧沿顺时针方向旋转一小角度。则在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度增大 B．弹簧的长度减小 C．轻绳的拉力增大 D．轻绳的拉力不变 12．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一光滑的倾斜隔板AB，其与货箱底部的夹角为30°，隔板与货箱右壁之间放有一圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角θ从0°缓慢增大到37°，货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．工件对货箱右壁的压力一直减小 B．工件对货箱右壁的压力先增大后减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对隔板的压力先减小后增大 13．如图所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在天花板下，现在小球上施加一个大小不变的外力，使小球处于平衡状态，在小球可能的平衡位置中，细线偏离竖直方向的最大角度的正切值是多少（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角=30°，取sin15°=，cos15°=，则甲、乙两物体的质量之比为（　　） A．（）∶2 B．（）∶2 C．2∶1 D．1∶3 15．（多选）如图所示，某运动员在水平平台上表演“金鸡独立”的武术动作。下列说法正确的是（　　） A．运动员受到两个力的作用 B．运动员受到三个力的作用 C．若运动员缓慢弯腰，则平台对运动员的支持力大小不变 D．若运动员缓慢弯腰，则平台对运动员的支持力增大 16．（多选）如图所示，竖直平面内固定一直角杆，水平部分粗糙，竖直部分光滑。质量为的小球1套在上，质量为的小球2套在上，两球间用轻绳相连，轻绳与竖直方向的夹角为，系统恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，。下列说法正确的是（　　） A．水平杆对小球1的支持力大小为 B．轻绳对小球2的拉力大小为 C．水平杆对小球1的摩擦力大小为 D．水平杆与小球1间的动摩擦因数为0.25 17．如图所示，A、B两个物体的质量分别为mA=1kg，mB=2kg，A、B通过劲度系数为500N/m的轻弹簧连接在一起。现在物体A上施加力F，开始时，力F为零，物体都处于静止状态，缓慢增大力F，直到物体B刚要离开水平地面，重力加速度g取10m/s2。求： （1）开始时弹簧的压缩量； （2）从开始到物体B刚要离开地面，物体A上升的高度； （3）物体B刚要离开地面时力F的大小。 18．光滑水平面上有一倾角为的斜面体，质量为m的小物块放在斜面上，当斜面体被锁定时，小物块恰好能沿斜面匀速下滑，重力加速度为g。如图所示，现用细绳拴住小物块，并解除对斜面体的锁定，细绳另一端通过力传感器固定在O点，力传感器能够显示绳子的拉力。某人施加水平力缓慢推动斜面体，当绳与斜面方向也成角时，求： （1）力传感器的读数； （2）人对斜面体的推力大小。 19．如图所示，质量为m的物体甲通过三段连接于O点的轻绳竖直悬挂，水平且B端与放置在水平桌面上的物体乙相连，与竖直方向夹角，甲、乙均处于静止。已知重力加速度，，： （1）求轻绳分别的拉力大小； （2）若物体乙的质量为，与桌面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。欲使乙不滑动，求甲质量的最大值。 20．如图，固定在水平地面上的斜面倾角为，现在斜面上放一个质量为的滑块，对滑块施加一个沿斜面向上的的推力时（如图甲），滑块刚好可以沿斜面向上做匀速直线运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取。 （1）求滑块与斜面间的动摩擦因数； （2）如图乙所示，现改对滑块施加一个水平向右的推力，为保证滑块在斜面上静止，求大小的取值范围。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．共点力的平衡 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：共点力平衡的条件 2 知识点2：共点力平衡问题的分析 5 知识点3：动态平衡问题的常用解法 10 【方法技巧】 14 方法技巧1 平衡状态中的临界和极值问题 14 方法技巧2 空间力的平衡问题的求解方法 17 【巩固训练】 20 【学习目标】 1．知道共点力，理解物体的平衡状态，可快速识别物体是否处于平衡状态（静止或匀速直线运动），以及所受作用力是否为共点力。 2．准确理解共点力平衡的两种核心条件。 3．能精准判断生活与物理情境中的共点力平衡问题，熟练掌握解决共点力平衡问题的基本步骤。 重点： 1．共点力平衡的条件：根本条件（合外力为零）；正交分解下的平衡条件。 2．共点力平衡问题的基本解题步骤：确定研究对象→受力分析→建立坐标系与力的分解→列方程与求解。 难点： 1．能够正确选择合适的共点力平衡问题的解题方法（解析法、图解法、正交分解法、相似三角形法等）。 2．动态平衡问题的分析：能够正确通过几何关系（矢量三角形）或函数关系，判断变化力的大小变化趋势。 3．平衡状态中的临界和极值问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：共点力平衡的条件 1．平衡状态 （1）定义：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。 （2）两种表现形式：①物体处于静止状态：其特征是物体的速度为零（v=0），加速度为零（a=0）； ②物体处于匀速直线运动状态：其特征是物体的速度为恒定值（v≠0），加速度为零（a=0）。 “保持”某状态≠“瞬时”某状态 不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零，例如竖直上抛的物体运动到最高点时，速度为零，但加速度不为零，不处于静止状态。 “静止”要满足两个条件：v=0且a=0，缺一不可。 2．共点力平衡的条件 （1）在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。 （2）表达式：或，（和分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）。 3．共点力平衡下物体的受力特点 （1）二力平衡：若物体在两个共点力同时作用下处于平衡状态，则这两个共点力大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上，它们的合力为零，这就是初中学过的二力平衡。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力同时作用下处于平衡状态，根据力的合成法则，可以把任意两个共点力用一个合力来等效替代，这样就把三力平衡简化成了二力平衡。 （3）多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零，若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意（n－1）个力的合力必定与第n个力等大、反向，且作用在同一直线上，这些力的矢量可以构成一个首尾相连的封闭矢量多边形。 三力汇交原理 物体在三个互成角度（θ≠0°或180°）的力同时作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线（或作用线的延长线）必相交于一点，且一定在同一个平面内，一定能构成一个封闭的矢量三角形。 如图所示，两细绳分别连接木板的两端，木板处于静状态，将力F1、F2反向延长，其交点一定在重力G的作用线上，三个是共点力。 【典例1】下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是（　　） A．相对静止的两个物体都处于平衡状态 B．物体做自由落体运动时处于平衡状态 C．如果物体处于平衡状态，则物体沿某一方向的合力可能不为零 D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等方向相反 【答案】D 【解析】A．两个物体相对静止时不一定处于平衡状态，故A错误； B．物体做自由落体运动时速度大小一直变化，一定不处于平衡状态，故B错误； C．物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，故C错误； D．物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力大小相等方向相反，故D正确。 故选D。 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．物体受到共点力的作用一定平衡 B．物体所受的合力为零时不一定处于平衡状态 C．物体所受的合力为零时一定处于静止状态 D．物体速度为零时合力不一定为零 【答案】D 【解析】AD．某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，所以物体不一定处于平衡状态，例如竖直上抛的物体运动到最高点时，物体的速度为零，有向下的重力加速度，合力不为零，不是处于平衡状态，故A错误，D正确； BC．物体所受的合力为零时一定处于平衡状态，可能是静止，也可能是匀速运动，故BC错误。 故选D。 【变式2】物体在五个共点力的作用下保持平衡。图中线段的长度代表力的大小。现要使物体所受合力最小，应撤去的力是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知F3最小，因五个力的合力为零，则四个力的合力与F3等大反向，可知撤去F3后剩余四个力的合力最小。 故选C。 【变式3】某学习小组在做三力平衡实验中，他们把一立柱固定在水平桌面上，再将一个圆环套在立柱上，然后用三个水平力、、作用在圆环上，平衡时圆环紧靠在立柱上，其俯视图如图所示。欲移动圆环，使立柱位于圆环的正中央，若保持三个力方向不变，只调整其中两个力的大小，下列操作可行的是（　　） A．增加、的大小且增大的多些 B．增加、的大小且增大的多些 C．增加、的大小且增大的多些 D．增加、的大小且增大的多些 【答案】A 【解析】A．由题意可知，圆环将水平向左运动，才能使立柱位于圆环的正中央，因此需要同时增加、的大小，同时需要保证垂直方向的合力为零，所以增大的多些，故A正确； B．由题意可知，圆环将水平向左运动，才能使立柱位于圆环的正中央，当增加、的大小且增大的多些，环将沿垂直方向向上移动，故B错误； C．由题意可知，圆环将水平向左运动，才能使立柱位于圆环的正中央，当增加、的大小且增大的多些，环将向下移动，故C错误； D．由题意可知，圆环将水平向左运动，才能使立柱位于圆环的正中央，当增加、的大小且增大的多些，环将向下移动，故D错误。 故选A。 知识点2：共点力平衡问题的分析 1．求解共点力平衡问题的一般步骤 （1）选取研究对象：根据题目要求，恰当选取研究对象，在平衡问题中，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，还可以是几个物体相互连接的结点。 （2）明确运动状态：判断物体是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动。 （3）进行受力分析：分析研究对象的受力情况，画出受力分析图。 （4）列出方程求解：利用平衡条件建立方程并求解。 2．解决共点力平衡问题的常用方法 （1）单个物体的静态平衡 ①合成法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解。 如图所示，在平衡状态下，O点所受三个力的合力为0。F4为F1和F2的合力，则F4与F3平衡，即F4＝F3＝G，由图可知，，，则。 ②正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法。先把物体所受的各个力逐一地分解在两个相互垂直的坐标轴（x轴和y轴）上，再列出x轴和y轴方向上的方程并求解。 如图，①中的问题也可以用正交分解法求解。以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于0，可列方程 F2－F1x＝0，F1y－F3＝0。即F2－F1sinθ＝0，F1cosθ－G＝0。联立解得，。 ③矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形。把三个共点力转化为三角形的三条边，利用三角形定则，根据边角关系，求解平衡问题。（如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。） （2）多个物体的静态平衡 若系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，可选用整体法和隔离法。 ①整体法：当几个物体组成的系统具有相同的运动状态，且在只涉及研究系统与外界的相互作用面不涉及系统内部物体之间的力与运动时，一般采用整体法。 ②隔离法：为了研究系统内某个物体的受力和运动情况，一般把需要研究的物体从系统中隔离出来进行研究的方法，称为隔离法。 【典例2】（合成法）如图所示，在光滑的竖直墙壁上用网兜把足球挂在点，足球与墙壁接触，保持静止。已知足球的重力大小为，悬绳与墙壁的夹角为，网兜与悬绳的质量不计。下列说法正确的是（　　） A．足球所受到的合力大小为 B．悬绳对足球的拉力大小为 C．足球对墙壁的压力大小为 D．足球对墙壁的压力是由墙壁的形变产生的 【答案】C 【解析】A．足球保持静止，处于平衡状态，所受合力为零；A错误； B．对足球进行受力分析如图 根据平行四边形法则可得：悬绳对足球的拉力 B错误； C．根据平行四边形法则可得：墙壁对足球的支持力为 由牛顿第三定律得足球对墙壁的压力 C正确； D．根据弹力的定义可得墙壁受到的压力是由足球的形变产生的，D错误。 故选C。 【变式1】（正交分解法）如图所示，小芳的哥哥用一个雪橇拉着小芳在水平雪地上运动。已知小芳和雪橇的总质量为45kg，雪橇与雪地间的动摩擦因数为，拉力F的方向与水平面的夹角，不计空气阻力，重力加速度g取。若要使雪橇在水平雪地上做匀速直线运动，则拉力F的大小为（　　） A．80N B．100N C．120N D．150N 【答案】B 【解析】对小芳和雪橇整体受力分析如图 由平衡条件， 其中 代入数据解得拉力F的大小为 故选B。 【变式2】（矢量三角形法）如图所示，重力为G的石头卡在绝壁间，悬空于峡湾千米之上。设两侧绝壁光滑且均为平面，左侧平面竖直，右侧平面与竖直方向夹角为，左右两侧绝壁对石头的作用力大小分别为和，则（　　） A． B．可能大于 C．人站上石头，不变 D．人站上石头，不变 【答案】A 【解析】A．根据、和G构成的矢量三角形知 ，故A正确； B．为直角三角形斜边，一定小于，故B错误； CD．人站上石头，不变，和均增大，故C、D错误。 故选A。 【变式3】（整体隔离法）中国春节挂灯笼有着美好的象征寓意。小明发现家里的灯笼在稳定水平风力的作用下倾斜至如图所示状态保持静止。已知两个灯笼完全相同且所受水平风力相同，悬挂于点的轻绳的拉力且与竖直方向的夹角。（取，，）求： （1）每个灯笼的质量及每个灯笼所受的风力大小； （2）灯笼1和灯笼2间轻绳的拉力大小及该绳与竖直方向的夹角。 【答案】（1）， （2）， 【解析】（1）以两个灯笼为整体，根据受力平衡可得， 可得每个灯笼的质量为 每个灯笼所受的风力大小为 （2）以灯笼2为对象，根据平衡条件可得灯笼1和灯笼2间轻绳的拉力大小为 故 说明两轻绳在同一直线上。 知识点3：动态平衡问题的常用解法 方法 适用范围 步骤 解析法 通常应用于物体受到四个及四个以上的力而平衡的情形 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②将物体受的力按实际作用效果分解或进行正交分解 ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 一个力的大小、方向不变，一个力的方向不发生变化，另一个力的方向发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据平衡条件进行受力分析，将表示物体受到的力的矢量线段画在一个三角形或平行四边形内 ③根据已知量的变化，画出平行四边形或三角形的边角变化 ④通常以大小、方向都不变化的力作为参考标准，通过分析三角形或平行四边形边、角变化，确定未知量大小、方向的变化 辅助圆法 一个力的大小和方向不变，另外两个力的夹角不变 ①选某一状态时的物体进行受力分析（一般选初状态） ②根据平衡状态构建矢量三角形 ③画出矢量三角形的外接圆 ④根据物体位置的变化确定各量的变化 相似三角形法 一个力的大小、方 向 不变，另外两个力的方向都发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据某一个时刻的平衡状态构建矢量三角形 ③根据图中几何关系，找到一对相似三角形 ④根据相似三角形的性质建立边的比例关系，通过不变的已知量找到未知量的变化情况 【典例3】（解析法）如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 【答案】C 【解析】设墙壁和木板对小球的作用力分别为和。以小球为研究对象，根据受力情况作出力的示意图如图。 设木板与水平方向的夹角为。根据平衡条件得：， 将木板缓慢旋转至水平位置的过程中，减小，减小，增大，则得到、均减小，故选C。 【变式1】（图解法）（多选）如图所示，一质量为的光滑小球静止在挡板A与斜面B之间，斜面B的倾角为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．挡板A对小球的弹力大小为 B．小球对斜面B的压力大小为 C．若将挡板A绕转轴顺时针缓慢旋转至水平，则小球对斜面B的压力将逐渐减小 D．若将挡板A绕转轴顺时针缓慢旋转至水平，则小球对挡板A的压力将逐渐减小 【答案】AC 【解析】AB．对小球受力分析如图所受 根据平衡条件可得， 可知挡板A对小球的弹力大小为，小球对斜面B的压力大小为，故A正确，B错误； CD．若将挡板A绕转轴顺时针缓慢旋转至水平，画出小球A受力的力矢量三角形如图所示 由图可知，斜面B对小球的支持力将逐渐减小，挡板A对小球的弹力将先减小后增大，根据牛顿第三定律可知小球对斜面B的压力将逐渐减小，小球对挡板A的压力将先减小后增大，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式2】（辅助圆法）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示模型，∠BAC=90°，叉车臂AC与水平方向夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若θ从0°缓慢增加为90°，叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为（　　） A．一直增大 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在增大 【答案】A 【解析】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在从增加为过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示 重力为圆的直径，由图可知，一直增加，一直在减小。 故选A。 【变式3】（相似三角形法）如图，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，另用一根轻绳通过定滑轮系在P端。当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时，OP杆的弹力FN和绳子的张力FT的大小变化是（　　） A．FN先变小后变大 B．FN不变 C．FT先变大后变小 D．FT逐渐变小 【答案】B 【解析】对P点受力分析，如图所示 根据平衡条件，合力为零，与图中矢量（力）三角形相似，故有 当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时，由于、不变，变大，则不变，变大。 故选B。 【方法技巧】 方法技巧1 平衡状态中的临界和极值问题 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）。 （2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。 （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。 2、极值问题 平衡状态中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用解析法或图解法进行分析。 3、临界和极值问题求解方法 （1）解析法：根据物体的平衡条件列出方程，求解方程时，采用数学知识求极值或根据物理的临界条件求极值。 （2）图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据力的矢量图进行动态分析。尤其注意分析大小和方向变化的力，确定其最大值知最小值。此法简便、直观。 （3）极限分析法：要对研究对象正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界条件；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 【典例4】如图所示，橡皮筋的A端固定，另一端与轻绳的结点拉至O点并保持不动。与竖直方向的夹角分别为和。现保持角不变，水平移动滑轮C，当绳悬挂重物的质量最小时，与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对O点进行受力分析，受到橡皮筋的拉力，OB方向的弹力与OC方向的与物体重力相等的拉力，受力分析如图所示 其中大小方向均不变，的方向不变，所以当与垂直时力最小，此时有。 故选D。 【变式1】（解析法）如图所示，物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成的粗细均匀的固定杆上，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，滑环B恰好不能下滑，滑环和杆间的动摩擦因数，设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物块A和滑环B的质量之比。 【答案】 【解析】对A受力分析，根据平衡条件可得 对B受力分析，如图所示 根据平衡条件可得， 又 联立解得 【变式2】（图解法）如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为2m的小球A，为使小球A处于静止状态时细绳与竖直方向成30°角绷紧，需要施加的最小外力是（　　） A．mg B．mg C．mg D．mg 【答案】A 【解析】小球受到重力2mg、绳子拉力T和外力F处于平衡状态，合力为零，三个力构成矢量三角形如图所示 由图可知，当施加的外力F与绳子拉力T垂直时，外力F最小，则有 故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式3】（极限分析法）日常生活中，我们中国人习惯用筷子夹取食物，筷子是中国人常用的饮食工具，也是中国传统文化的特色体现。如图甲所示，用两根筷子夹住小球，使小球静止不动，小球的受力均在同一竖直平面内，每根筷子和竖直方向的夹角均为，小球的质量，重力加速度。 （1）按图所示中筷子夹小球的方式，若小球与筷子之间没有摩擦力，求每根筷子对小球的压力大小； （2）按图所示中筷子夹小球的方式，小球与筷子之间的动摩擦因数为，小球与筷子间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使小球保持静止不动，求每根筷子对小球压力的取值范围； 【答案】（1）1N （2） 【解析】（1）对小球进行受力分析，如下图所示，设筷子对小球的压力大小为 则有 解得 （2）若小球刚要向下滑动，所受摩擦力斜向上，受力分析如下图所示 则有 其中 解得 若小球刚要向上滑动，所受摩擦力斜向下，则有 其中 解得 所以筷子对小球压力的取值范围为 方法技巧2 空间力的平衡问题的求解方法 空间力是指物体所受的力不在同一平面内，物体受空间力平衡时，在任一平面内、任一直线上受力都是平衡的。处理此类问题常见方法如下： 1、对称法 当研究对象所受的力具有对称性时，可利用物体的受力具有对称性的特点，如某些力大小相等、方向相反，把复杂的运算（或图形）转化为简单的运算（或图形）来处理。 2、转化法 空间力作用下物体处于平衡状态，要利用平衡条件将物体受到的力分解转化为同一平面上的力来分析处理问题。 例如，物体静止在倾角为30°的斜面上，当用一与斜面平行也与水平面平行的力F匀速拉动物体时。分析物体受力时，可以将其转化为物体沿斜面方向受到的力和垂直于斜面的力，根据物体在平行和垂直斜面方向受力平衡进行求解。物体受到3个与斜面平行的力，拉力F、重力沿斜面向下的分力和滑动摩擦力f。因为物体在斜面做匀速运动，所以可得 。 【典例5】古代漕运中，船只航行常依赖纤夫拉纤助力，其情景简化如下图所示。一条轻绳穿过船头固定的光滑铁环，两名船工在船两侧拉绳，铁环两侧绳子对称，夹角为α，两绳所在平面与水平面形成的二面角的平面角为β。当船本身无动力且匀速前进时，每侧绳拉力大小为F，船受到水的阻力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设每根拉力的大小为F，每根拉力与水平面的夹角为β，则其水平分量大小为F cos β 在水平面上，两条绳对称分布，夹角为α，则每根拉力的水平投影再与船前进方向(夹角为)构成的分量为F cos β cos 船匀速前进时，两根绳的水平合力恰好与水的阻力大小相等，故水的阻力大小为2F cos β cos 故选A。 【变式1】如图所示，倾角为的长方形斜面的宽为L、长为。c点放有一个质量为m的物块，某同学给物块一个平行于斜面的推力F（方向、大小均未知），将物块沿着方向匀速运动推到a。已知物块与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。则（　　） A．推力大小为 B．推力大小为 C．推力的方向与成角 D．推力的方向与成角 【答案】B 【解析】 对物块进行受力分析，如图所示，在斜面内物块受到的摩擦力大小，沿方向，物块重力沿斜面向下的分力大小，方向与平行，两者夹角为，因为物块匀速运动，所以推力的大小为摩擦力和重力沿斜面向下的分力的合力，即 方向与成角，故B正确。 故选B。 【变式2】如图所示，水平地面固定有倾角为的斜面体，质量为m的物体在平行于底边、大小为的水平力作用下静止于斜面上，重力加速度为g，则该物体受到的斜面摩擦力大小为（    ） A． B． C． D．mg 【答案】B 【解析】对物体受力分析可知，物体受重力、支持力、水平力和摩擦力的作用而处于静止状态；将重力分解为垂直于斜面向上和沿斜面向上的两个分力，可知在沿斜面方向上，重力的分力、水平力F、摩擦力的合力为零；根据平行四边形定则可知，摩擦力的大小等于水平力F与重力的分力的合力的大小，则有 故选B。 【变式3】孔府是中国传统建筑的杰出代表，采用了瓦片屋顶，屋顶结构可简化为如图，弧形瓦片静止在两根相互平行的倾斜椽子正中间。已知椽子与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，重力加速度为g，则两根椽子对瓦片的支持力合力大小为 ，每根椽子对瓦片的摩擦力大小为 ，若椽子间距增大，则每根椽子对瓦片的摩擦力大小 （选填“增大”、“减小”或“不变”）。 【答案】 不变 【解析】[1]将重力沿两根椽子所在平面和垂直该平面分解，重力沿平面的分量为，垂直于该平面的分量为，可得两根椽子对瓦片的支持力的合力大小为。 [2][3]两根椽子对瓦片的摩擦力的合力大小为，摩擦力方向与椽子平行，所以每根椽子对瓦片的摩擦力大小为，与椽子间距无关，若椽子间距增大，则每根椽子对瓦片的摩擦力大小不变。 【巩固训练】 1．如图所示，A、B两物体叠放在一起，在水平向左的恒力作用下处于静止状态，则关于两物体受力情况的说法正确的是（　　） A．物体A一定受到4个力 B．物体B一定受到3个力 C．物体A对竖直墙壁的压力与墙壁对物体A的弹力是一对平衡力 D．物体A、B间可能有摩擦力 【答案】D 【解析】A．对AB整体，由平衡条件可知墙壁对A一定有弹力；对物体B受力分析，B可能只受到重力、A给B的支持力及恒力F，也可能AB间还有摩擦力；对物体A受力分析，A受到重力、墙壁的弹力、B对A的压力，若A、B间有摩擦力，则A受到4个力；若A、B间没有摩擦力，则A受到3个力，所以A不一定受到 4 个力，故A错误； B．以上分析可知物体B可能受到4个力，也可能受到3个力，故B错误； C．物体A对竖直墙壁的压力与墙壁对物体A的弹力是一对相互作用力，不是平衡力，故C错误； D．由A选项分析可知，物体、B间可能有摩擦力，故D正确。 故选D。 2．如图所示，A、B、C、D物体均静止，各接触面均粗糙，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中，在竖直向上的力F作用下，A对竖直墙壁的摩擦力可能向下 B．图乙中，B对水平地面的摩擦力方向水平向左 C．图丙中，两根长度相同的轻绳对C的拉力一定相同 D．图丁中，斜面对D的支持力垂直斜面向上 【答案】D 【解析】A．对A受力分析，水平方向A与墙壁没有弹力的作用，否则无法处于平衡状态，根据摩擦力产生的条件可知A与墙壁间没有摩擦力，A错误； B．对B进行受力分析，B受到绳子拉力，根据平衡条件，水平地面对B的摩擦力方向水平向左，根据力的作用是相互的，B对水平地面的摩擦力方向水平向右，B错误。 C．根据对称性可知两根轻绳对C的拉力大小相等，方向不同，C错误； D．根据弹力的方向特点，支持力属于弹力，斜面对D的支持力垂直斜面向上，D正确； 故选D。 3．如图所示，“”形硬钢丝竖直固定放置，OM沿竖直方向，∠MON=30°，一个光滑的轻环套在ON上，一根足够长的轻绳穿过轻环，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。当系统处于稳定状态时，ON受到轻环的弹力大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对重物受力分析得绳中拉力与重力平衡为mg，结合几何知识易知两段绳夹角为120°，对轻环（重力不计）受力分析得两段绳中拉力大小均为mg，夹角120°，合力与分力等大，所以ON受到轻环的弹力大小为mg。 故选C。 4．如图所示，在光滑竖直墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的重力为G，悬绳与墙壁的夹角为，则（    ） A．悬绳对球的拉力F的大小为 B．球对墙壁的压力的大小为 C．若增大悬绳长度，悬绳对球的拉力将增大 D．若增大悬绳长度，墙壁对球的压力将减小 【答案】D 【解析】AB．对足球受力分析，如图所示 足球处于平衡状态，有，，故AB错误； CD．增大绳长，绳子与墙壁夹角变小，由上述分析可知，绳子对球的拉力F变小，墙壁对球支持力FN变小，故C错误，D正确。 故选D。 5．如图所示，某人站在台阶上用绳子把一个光滑圆球拉到台阶上，绳子质量不计，拉球的绳子延长线通过球心，图示时刻圆球刚好处于平衡状态，拉力F与半径成直角。若此时改变绳子的拉力方向（延长线仍通过球心），让圆球仍在原位置保持静止，下面说法正确的是（　　） A．减小绳子与半径的夹角，F减小 B．减小绳子与半径的夹角，F增大 C．增大绳子与半径的夹角，F减小 D．增大绳子与半径的夹角，F先减小后增大 【答案】B 【解析】圆球在重力点的支持力、拉力F三力作用下处于平衡状态，三力关系如图，当F与垂直时F有最小值。 故选B。 6．如图是“中国天眼”500m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”（月球表面重力加速度为地球表面的）的感觉，若将人视为质点，工作人员和球心的连线与竖直方向的夹角为30°，则此时工作人员（　　） A．受到的重力大小为mg B．受到的合力大小为mg C．对球面的作用力大小为mg D．对球面的压力大小为 【答案】C 【解析】A．工作人员的质量为m，则工作人员受到的重力为，故A错误； B．工作人员在球面上缓慢行走，处于平衡状态，合力为0，故B错误； CD．由题意可知工作人员此时处于受力平衡状态，即所受合外力为零，则球面对人的作用力大小为 根据牛顿第三定律可知工作人员对球面的作用力大小为，由于工作人员受到的压力方向垂直于球面指向球心，而球面对工作人员的作用力方向竖直向上，所以球面对工作人员的作用力实际是球面对工作人员的压力以及对工作人员的摩擦力的合力，故工作人员对球面的压力大小为，故C正确，D错误。 故选C。 7．如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有（　　） A．三条绳中的张力都相等 B．杆对地面的压力等于自身重力 C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零 D．绳子拉力的合力与地面对杆的支持力大小相等 【答案】C 【解析】AC．由于三条绳子的长度不同，说明三条绳子与竖直方向的夹角不相同，由于杆保持静止，则在水平方向三条绳子的张力的水平分力的合力应为零，因此三条绳子张力的大小不可能相等，故A错误，C正确； B．由于三条绳子在竖直方向有拉力，则杆对地面的压力大于杆的重力，故B错误； D．杆在竖直方向受力平衡，则绳子拉力的合力和杆的重力的总合力与地面对杆的支持力大小相等，而绳子拉力的合力与地面对杆的支持力大小不相等，故D错误。 故选C。 8．如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA=OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（　　） A．轻绳OA受到的拉力大小为2mg B．轻杆OB受到的弹力大小为mg C．若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大 D．若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小 【答案】C 【解析】AB．对小球进行受力分析，受力三角形如下图所示 由几何关系可知，故AB错误； CD．若将A点缓慢向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到的拉力变大，故C正确，D错误。 故选C。 9．如图用两根轻质细绳OA、OB悬挂一灯笼。现使OB绳从水平方向开始沿逆时针方向缓慢转动90°，两点位置不变，灯笼保持静止。在此过程中，OB绳所受拉力（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】C 【解析】如图所示，灯笼受力分析如下 由图可得，OB绳所受拉力先减小后增大，故选C。 10．如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小球施加一始终指向半圆环最高点B的拉力F，使小球从圆环最低点A缓缓移动到最高点B。下列说法正确的是（　　） A．拉力F先增大后减小 B．拉力F一直减小 C．小球对圆环的压力大小始终变小 D．小球对圆环的压力先增大后减小 【答案】B 【解析】小球受力如图所示 根据相似三角形法可得 从圆环最低点A缓缓移动到最高点B过程中，小球与B点间的距离l逐渐减小，则拉力F减小，N的大小不变，根据牛顿第三定律可得小球对圆环的压力大小始终不变。 故选B。 11．如图所示，一轻弹簧上端套在固定的光滑水平轴O上，下端拴接一小球P，小球P在水平轻绳PA的作用下静止在图示位置。现将轻绳的A端缓慢下降，使∠OPA保持不变，弹簧沿顺时针方向旋转一小角度。则在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的长度增大 B．弹簧的长度减小 C．轻绳的拉力增大 D．轻绳的拉力不变 【答案】B 【解析】小球的受力情况如图所示 根据正弦定理有 解得， 在轻绳的A端缓慢下降的过程中，∠OPA保持不变，即θ保持不变，α减小，β从开始增大，则x减小，F减小。 故选B。 12．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一光滑的倾斜隔板AB，其与货箱底部的夹角为30°，隔板与货箱右壁之间放有一圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角θ从0°缓慢增大到37°，货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．工件对货箱右壁的压力一直减小 B．工件对货箱右壁的压力先增大后减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对隔板的压力先减小后增大 【答案】C 【解析】对工件受力分析，如图所示 隔板对工件的弹力为F1，货箱右壁对工件的弹力为F2，二力夹角保持不变，所以三力组成的顺次闭合三角形三个顶点在同一个圆周上，由图可知车厢倾角缓慢增大到过程中，F2一直增大，F1逐渐减小，由牛顿第三定律可知，工件对隔板的压力不断减小，工件对货箱右壁的压力一直增大。 故选C。 13．如图所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在天花板下，现在小球上施加一个大小不变的外力，使小球处于平衡状态，在小球可能的平衡位置中，细线偏离竖直方向的最大角度的正切值是多少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对小球受力分析，小球受3力作用：重力、外力F和线的拉力，如图所示，其中重力不变，F的大小不变，三力平衡构成封闭三角形，当F与细线垂直时，细线偏离竖直方向角度最大，细线偏离竖直方向的最大角度的正切值 故选C。 14．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角=30°，取sin15°=，cos15°=，则甲、乙两物体的质量之比为（　　） A．（）∶2 B．（）∶2 C．2∶1 D．1∶3 【答案】A 【解析】悬挂物体甲的轻绳的拉力等于甲所受的重力，该轻绳在光滑小环处形成的夹角为 悬挂物体乙的轻绳的拉力等于乙所受的重力，设该轻绳与悬挂甲的轻绳的上下两段形成的夹角分别为，，则根据正弦定理可得 所以有 根据正交分解法有 整理可得 故选A。 15．（多选）如图所示，某运动员在水平平台上表演“金鸡独立”的武术动作。下列说法正确的是（　　） A．运动员受到两个力的作用 B．运动员受到三个力的作用 C．若运动员缓慢弯腰，则平台对运动员的支持力大小不变 D．若运动员缓慢弯腰，则平台对运动员的支持力增大 【答案】AC 【解析】A．运动员静止在水平平台上，受重力和平台的支持力，水平方向无相对运动趋势故无摩擦力，共两个力作用，故A正确； B．运动员仅受重力和支持力两个力，并非三个力，故B错误； C．运动员缓慢弯腰时处于平衡状态，竖直方向合力为零，支持力等于重力，重力不变则支持力大小不变，故C正确； D．支持力始终等于重力，重力不变则支持力不变，不会增大，故D错误； 故选AC。 16．（多选）如图所示，竖直平面内固定一直角杆，水平部分粗糙，竖直部分光滑。质量为的小球1套在上，质量为的小球2套在上，两球间用轻绳相连，轻绳与竖直方向的夹角为，系统恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，。下列说法正确的是（　　） A．水平杆对小球1的支持力大小为 B．轻绳对小球2的拉力大小为 C．水平杆对小球1的摩擦力大小为 D．水平杆与小球1间的动摩擦因数为0.25 【答案】AD 【解析】A．将两小球及轻绳视为整体，竖直方向仅受总重力和水平杆的支持力，由平衡条件得，故A正确； B．以小球2为研究对象，由竖直方向受力平衡得 解得轻绳拉力，故B错误； C．以小球1为研究对象，由水平方向受力平衡得 解得摩擦力大小为，故C错误； D．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，由 解得，故D正确。 故选AD。 17．如图所示，A、B两个物体的质量分别为mA=1kg，mB=2kg，A、B通过劲度系数为500N/m的轻弹簧连接在一起。现在物体A上施加力F，开始时，力F为零，物体都处于静止状态，缓慢增大力F，直到物体B刚要离开水平地面，重力加速度g取10m/s2。求： （1）开始时弹簧的压缩量； （2）从开始到物体B刚要离开地面，物体A上升的高度； （3）物体B刚要离开地面时力F的大小。 【答案】（1）0.02m （2）0.06m （3）30N 【解析】（1）开始时，对A受力分析，根据平衡条件有 解得 （2）B刚好离开地面时，根据平衡条件有 解得 则物体A上升的高度为 （3）根据整体法，可得 解得 18．光滑水平面上有一倾角为的斜面体，质量为m的小物块放在斜面上，当斜面体被锁定时，小物块恰好能沿斜面匀速下滑，重力加速度为g。如图所示，现用细绳拴住小物块，并解除对斜面体的锁定，细绳另一端通过力传感器固定在O点，力传感器能够显示绳子的拉力。某人施加水平力缓慢推动斜面体，当绳与斜面方向也成角时，求： （1）力传感器的读数； （2）人对斜面体的推力大小。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）物块沿斜面匀速下滑时，有 当绳与斜面方向也成角时，物块受力平衡，则有， 又 联立解得力传感器的读数为 （2）根据整体法，斜面受到的水平推力等于绳子拉力的水平分量，此时绳子与水平面的夹角为，则有 可得 19．如图所示，质量为m的物体甲通过三段连接于O点的轻绳竖直悬挂，水平且B端与放置在水平桌面上的物体乙相连，与竖直方向夹角，甲、乙均处于静止。已知重力加速度，，： （1）求轻绳分别的拉力大小； （2）若物体乙的质量为，与桌面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。欲使乙不滑动，求甲质量的最大值。 【答案】（1）； （2）2kg 【解析】（1）结点O受力如图所示，由平衡条件得 轻绳OA的拉力为 轻绳OB的拉力为 （2）当乙恰好不滑动时，轻绳OB的拉力最大，对应甲的质量为最大值。对乙物体由平衡条件得 而 得 20．如图，固定在水平地面上的斜面倾角为，现在斜面上放一个质量为的滑块，对滑块施加一个沿斜面向上的的推力时（如图甲），滑块刚好可以沿斜面向上做匀速直线运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取。 （1）求滑块与斜面间的动摩擦因数； （2）如图乙所示，现改对滑块施加一个水平向右的推力，为保证滑块在斜面上静止，求大小的取值范围。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）对滑块受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 代入数据解得 （2）当滑块有下滑趋势时，受力情况如图所示 根据平衡条件可得 又因为， 联立解得 若物体沿斜面有向上的运动趋势，受力分析如图所示 根据平衡条件则有 结合， 联立解得 故的取值范围为 / 学科网（北京）股份有限公司 $