期中复习培优专练（35个高频易错题型 共70题）2025-2026学年人教版数学七年级上册优选题汇编

2025-2026学年人教版数学七年级上册期中复习题型培优专练 【35个高频易错题型 共70题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为人教版新教材七年级上册第1章-第3章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考易错类型题，精心优选35个题型，题目难度中等及偏上，适合绝大多数同学考前复习使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 正负数的实际应用 2 题型2 有理数的分类 3 题型3 带“非”字的有理数 3 题型4 利用数轴比较有理数的大小 4 题型5 数轴上点的平移（动点问题） 4 题型6 数轴上整点覆盖问题 5 题型7 数轴上的规律探究 6 题型8 化简多重符号 6 题型9 绝对值的几何意义 6 题型10 绝对值非负性 7 题型11 有理数大小比较 8 题型12 有理数大小比较的实际应用 9 题型13 有理数的加减混合运算 10 题型14 有理数减中的简便运算 11 题型15 有理数加减混合运算的应用 11 题型16 有理数乘除混合运算 13 题型17 有理数乘除中的简便运算 13 题型18 有理数四则混合运算 14 题型19 有理数四则混合运算的实际应用 15 题型20 根据点在数轴的位置判断式子的正负 16 题型21 数轴上的翻折 17 题型22 乘方运算的符号规律 18 题型23 程序流程图与有理数计算 19 题型24 算“24”点 20 题型25 含乘方的有理数混合运算 21 题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 22 题型27 将用科学记数法表示的数变回原数 22 题型28 求一个数的近似数 22 题型29 求近似数的精确度 22 题型30 近似数推断取值范围 23 题型31 已知字母的值，求代数式的值 23 题型32 已知式子的值，求代数式的值 24 题型33 程序流程图与代数式求值 24 题型34 数字类规律探索 24 题型35 图形类规律探索 25 题型1 正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 2．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 题型2 有理数的分类 3．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）将下列各数填入合适的集合内． 15，，，，0，，，． 正数集合：{                     } 有理数集合：{                    } 整数集合：{                     } 分数集合：{                      } 4．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，， (1)整数：_______________； (2)分数：_______________； (3)非负数：_______________； (4)负有理数：_______________． 题型3 带“非”字的有理数 5．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；；；；；；…（每两个2之间的0不断增加）． 整数集合：{________________ }； 分数集合：{________________}； 有理数集合：{________________}； 非负整数集合：{________________}． 6．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内： ． (1)分数集：{__________________________}； (2)自然数：{__________________________}； (3)非正整数集：{__________________________}； (4)非负有理数集：{__________________________}． 题型4 利用数轴比较有理数的大小 7．（25-26七年级上·天津·阶段练习）将下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来：，，，． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 题型5 数轴上点的平移（动点问题） 9．（25-26七年级上·吉林白山·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 题型6 数轴上整点覆盖问题 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 12．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 题型7 数轴上的规律探究 13．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是 ． 题型8 化简多重符号 15．（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型9 绝对值的几何意义 17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 18．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 题型10 绝对值非负性 19．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 20．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、，其中是最大的负整数，、满足，且． (1)________；________；线段________； (2)若点在线段上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍时，则点在数轴上表示的数为多少？请算出来． 题型11 有理数大小比较 21．（25-26七年级上·广东阳江·阶段练习）【阅读理解】对于三个数，我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）___________；___________； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数，使，若有，求出的值，若没有，说明理由． 22．（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 2，，0，，，． 题型12 有理数大小比较的实际应用 23．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 24．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 题型13 有理数的加减混合运算 25．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 26．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：，；，．观察上述式子的特征，解决下列问题． (1)尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①______；②______； (2)归纳：当时，______；当时，______； (3)探究：计算； (4)拓展：计算． 题型14 有理数减中的简便运算 27．（25-26七年级上·天津宝坻·阶段练习）计算： (1)； (2)． 28．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 题型15 有理数加减混合运算的应用 29．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）国庆节期间，某市一条东西走向的公路路况较差，交警为了维持道路畅通，特派遣一辆巡逻车在这条公路上巡逻，规定向东行驶为正，一天，巡逻车从这条公路上的A地出发，行驶记录如下．（单位：千米） 0 (1)巡逻车在上述巡逻期间，直接写出在哪个时刻巡逻结束后距离A地最近？此时巡逻车在A地的什么方向？离A地多远？ (2)巡逻期间，巡逻车一共行驶了多少千米？若每千米耗油0.1升，那么到12：00巡逻结束时，一共耗油多少升？ (3)巡逻车在12：00巡逻结束后出现故障，于是从B地派出救援车，若B地在A地的正东方向10千米，直接写出救援车向什么方向行驶多少千米才能到达救援地？ 30．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）今年的“十•一”黄金周是8天的长假，某风景区在8天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，符号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 单位：万人 ＋1.8 －0.6 ＋0.2 －0.7 －1.3 ＋0.5 －2.4 －1.2 (1)若9月30日的游客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为______万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多______万人； (3)在第（1）问的条件下如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 题型16 有理数乘除混合运算 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 32．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数_____两点间的距离；表示数轴上数与数_____两点间的距离； (2)表示数轴上数与数_____的距离和数与数_____的距离的和； (3)满足的所有整数的值是_____． (4)借助数轴，直接写出当满足时，数的值是_____． 题型17 有理数乘除中的简便运算 33．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 34．（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型18 有理数四则混合运算 35．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)_____． (2)根据以上观察，聪明的你发现_____． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算． 36．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 题型19 有理数四则混合运算的实际应用 37．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）某公司股票上周五股市收盘价（当天收市时的价格）为每股元，老何上星期五以收盘价买进该公司股票1000股（股市周六、周日休市），在接下来的一周交易日内，老何记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况（记上涨为正，下跌为负．单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时该股票每股 元． (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高多少元？ (3)已知老何买进股票时付了（千分之）的手续费，卖出时须付总金额的手续费和的交易税，如果他在本周五收盘前以收盘价将这支股票全部卖出，他的收益情况如何？ 38．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为20度，电费元/度，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 题型20 根据点在数轴的位置判断式子的正负 39．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习），，在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小： ____________； ____________； _____________； (2)请在数轴上表示和，并用“”号把数轴上的数按从小到大顺序排列． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）有理数在数轴上的表示如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 正确的有 （填写序号） 题型21 数轴上的翻折 41．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 42．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） (1)折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合； (2)折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数___________表示的点重合； ②表示的点与数___________表示的点重合； ③若数轴上、两点之间距离为（A在B的左侧），且、两点经折叠后重合，求此时点、点表示的数． 题型22 乘方运算的符号规律 43．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 44．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 题型23 程序流程图与有理数计算 45．（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 46．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 题型24 算“24”点 47．（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小玉有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应如何抽取？最小的和是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应如何抽取？最小的乘积是多少？ (3)从中抽出3张卡片，使这3张卡片上的数字经过加、减、乘、除运算后，组成一个最大的数，则应如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，要使结果为24，则应如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 48．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片（如图），请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相乘的积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使其运算结果为24．请写出运算式子．（一种即可） 题型25 含乘方的有理数混合运算 49．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 51．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年9月25日，解放军火箭军发射了一枚东风31AG州际弹道导弹，准确击中了太平洋公海的预定海域．据悉，此次试射的弹道导弹的射程超过12000公里． 将数字12000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D．12千 52．（23-24七年级上·贵州·期末）的夏天——凉都六盘水欢迎您，2023年六盘水市全年共接待国内过夜游客约人次，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型27 将用科学记数法表示的数变回原数 53．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 54．（25-26七年级上·北京海淀·阶段练习）用科学记数法表示的数为，则原数的整数位有（    ） A．位 B．位 C．位 D．无法确定 题型28 求一个数的近似数 55．（24-25七年级上·全国·期末）按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 56．（24-25七年级上·河北·期末）580.07是经过四舍五入得到的近似数，它精确到百分位，有 个有效数字； 题型29 求近似数的精确度 57．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）近似数2.5万是精确到 位，将1204060用科学记数法表示为 ．（要求精确到万位） 58．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．取，身高约，其中和165都是近似数 题型30 近似数推断取值范围 59．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重x（）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型31 已知字母的值，求代数式的值 61．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球桶． (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，若方案一、方案二可以同时使用，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 62．（25-26七年级上·全国·课后作业）现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（）与人体身高（m）平方的商．即身体质量指数．对于成年人来说，身体质量指数在18.5∼24之间，体重适中；身体质量指数低于18.5，体重过轻；身体质量指数高于24，体重超重．张老师的身高是，体重是，他的体重属于哪一类型 ． 故答案为：适中． 题型32 已知式子的值，求代数式的值 63．（25-26七年级上·全国·期中）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式的值为（   ） A．1或 B．或3 C．1 D． 64．（24-25七年级上·山东济宁·期中）当时，代数式，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．2023 题型33 程序流程图与代数式求值 65．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）按如图的程序计算，如果输出，则输入的整数为 ． 66．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2026次输出的结果为（　　） A．6 B．3 C． D． 题型34 数字类规律探索 67．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出______； (2)直接写出计算结果：______； (3)探究并计算： (4)计算： 68．（24-25七年级上·山东济宁·期中）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更有助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： (1)填空：用代数式表示： ①与的差的平方：____________； ②与两数的平方和与两数积的2倍的差：_____________； (2)当时，求第（1）题中①②所列的代数式的值； (3)由第（2）题的结果，你发现了什么等式？ (4)利用你发现的结论，求：的值． 题型35 图形类规律探索 69．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是 ． 70．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（   ） A．227 B．228 C．229 D．230 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学七年级上册期中复习题型培优专练 【35个高频易错题型 共70题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为人教版新教材七年级上册第1章-第3章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考易错类型题，精心优选35个题型，题目难度中等及偏上，适合绝大多数同学考前复习使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 正负数的实际应用 2 题型2 有理数的分类 3 题型3 带“非”字的有理数 5 题型4 利用数轴比较有理数的大小 7 题型5 数轴上点的平移（动点问题） 8 题型6 数轴上整点覆盖问题 10 题型7 数轴上的规律探究 11 题型8 化简多重符号 13 题型9 绝对值的几何意义 14 题型10 绝对值非负性 16 题型11 有理数大小比较 19 题型12 有理数大小比较的实际应用 20 题型13 有理数的加减混合运算 22 题型14 有理数减中的简便运算 25 题型15 有理数加减混合运算的应用 26 题型16 有理数乘除混合运算 28 题型17 有理数乘除中的简便运算 30 题型18 有理数四则混合运算 33 题型19 有理数四则混合运算的实际应用 36 题型20 根据点在数轴的位置判断式子的正负 38 题型21 数轴上的翻折 39 题型22 乘方运算的符号规律 41 题型23 程序流程图与有理数计算 43 题型24 算“24”点 46 题型25 含乘方的有理数混合运算 48 题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 51 题型27 将用科学记数法表示的数变回原数 51 题型28 求一个数的近似数 53 题型29 求近似数的精确度 53 题型30 近似数推断取值范围 54 题型31 已知字母的值，求代数式的值 55 题型32 已知式子的值，求代数式的值 56 题型33 程序流程图与代数式求值 57 题型34 数字类规律探索 58 题型35 图形类规律探索 60 题型1 正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【思路引导】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 2．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 【答案】 【思路引导】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【规范解答】解：由题意得， 故答案为：． 题型2 有理数的分类 3．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）将下列各数填入合适的集合内． 15，，，，0，，，． 正数集合：{                     } 有理数集合：{                    } 整数集合：{                     } 分数集合：{                      } 【答案】15，，； 15，，，，0，，； 15，0，； ，，，． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法即可得出答案，掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【规范解答】解：， 15，，，，0，，，． 正数集合：{15，，，}； 有理数集合：{15，，，，0，， }； 整数集合：{15，0，，}； 分数集合：{，，，，}； 故答案为：15，，；15，，，，0，，；15，0，；，，，． 4．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，，， (1)整数：_______________； (2)分数：_______________； (3)非负数：_______________； (4)负有理数：_______________． 【答案】(1)，，，． (2)，，，，，． (3)，，，，，，． (4)，，，． 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数、分数、非负数、负有理数的定义是解题的关键． （1）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （2）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （3）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （4）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． 【规范解答】（1）解：整数：，，，， 故答案为：，，，． （2）解：分数：，，，，，， 故答案为：，，，，，． （3）解：非负数：，，，，，，， 故答案为：，，，，，，． （4）解：负有理数：，，，， 故答案为：，，，． 题型3 带“非”字的有理数 5．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；；；；；；…（每两个2之间的0不断增加）． 整数集合：{________________ …}； 分数集合：{________________…}； 有理数集合：{________________…}； 非负整数集合：{________________…}． 【答案】整数集合：{，0，，， } 分数集合：{，，，， } 有理数集合：{，，0，，，，，，， } 非负整数集合：{0，， } 【思路引导】本题考查了整数、分数、有理数、非负整数的定义．熟练掌握整数、分数、有理数、非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、分数、有理数、非负整数的定义进行分类即可． 【规范解答】解：整数集合：{，0，，， }； 分数集合：{，，，， }； 有理数集合：{，，0，，，，，，， }； 非负整数集合：{0，， }． 6．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内： ． (1)分数集：{__________________________}； (2)自然数：{__________________________}； (3)非正整数集：{__________________________}； (4)非负有理数集：{__________________________}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的分类． （1）根据分数的定义作答即可； （2）根据自然数的定义作答即可； （3）根据非正整数的定义作答即可； （4）根据非负有理数的定义作答即可． 【规范解答】（1）分数集：{ }； 故答案为：； （2）自然数：{ }； 故答案为：； （3）非正整数集：{ }； 故答案为：； （4）非负有理数集：{ }． 故答案为：． 题型4 利用数轴比较有理数的大小 7．（25-26七年级上·天津·阶段练习）将下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来：，，，． 【答案】见解析， 【思路引导】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各数，把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”号连接起来即可． 【规范解答】解：；；； 如图所示， 由图可知，． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，，． 【答案】(1)4 (2)见解析， 【思路引导】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图，为原点，点所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：，， 把下列各数在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知：． 题型5 数轴上点的平移（动点问题） 9．（25-26七年级上·吉林白山·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【答案】(1)5，20 (2)①2，；②5，5；③7，9；④， 【思路引导】本题主要考查了数轴两点间距离公式、数轴上的动点问题、列代数式等知识点，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①②③根据题意表示出点P、Q表示的数即可；④根据题意用代数式表示P、Q表示的数即可． 【规范解答】（1）解：的长度为个单位长度；的长度为个单位长度． 故答案为：5；20． （2）解：①当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：2，． ②当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：5，5． ③当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：7，9． ④点P对应的有理数为t，点Q对应的有理数为． 故答案为：，． 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 题型6 数轴上整点覆盖问题 11．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【规范解答】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 12．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2，进而可得出答案． 【规范解答】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2， 一共有7个， 故选C 题型7 数轴上的规律探究 13．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，图形规律探究题目，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数即可得解． 【规范解答】解：第一次翻转后，点B所对应的数为1， 第二次翻转后，点C所对应的数为2， 第三次翻转后，点D所对应的数为3， 第四次翻转后，点A所对应的数为4， 第五次翻转后，点B所对应的数为5， … ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴数轴上数2025所对应的是点B． 故选：B． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是 ． 【答案】14或15/15或14 【思路引导】本题考查数字的规律．根据题意，将n分为奇数和偶数进行规律探寻，求出对应的点，故而可得答案． 【规范解答】解：由题意可得， 第n次移动后的点表示的数可表示为： n为奇数时：，点在原点左侧； n为偶数时：，点在原点右侧； ∵点与原点的距离等于15， ∴当为奇数时，，解得，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：14或15． 题型8 化简多重符号 15．（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【思路引导】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断即可求解． 【规范解答】解：与 ，互为相反数 与互为相反数， 与，互为相反数 与，互为相反数 与 ，相等，不互为相反数． 综上所述，共有4对数，互为相反数， 故选：C． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【规范解答】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 题型9 绝对值的几何意义 17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【答案】(1) (2) (3)7； (4)11； 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将分为两组数之和，分别为和，分别表示x的范围，据此解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x有， ∴所有符合条件的整数x的和为 ， 故答案为：7；； （4）解：将分为两组： （最小值为，x在到3之间）； （最小值为，x在到1之间）； 由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为， ∴整数x的值为到1之间的整数：． 故答案为：11；． 18．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 【答案】(1)5，1或； (2)4，2，5 【思路引导】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示求所对应的点到1和所对应的点的距离和， 表示求所对应的点到和4所对应的点的距离和，利用数轴进行求解即可． 【规范解答】（1）解：表示所对应的点之间的距离， ∴， 表示所对应的点之间的距离为3， 或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作对应的点到1和对应的点的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，距离和最小为； 有最小值，最小值为4； 可以看作对应的点到和4所对应的点的距离和， 当时，距离和最小为； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 题型10 绝对值非负性 19．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 【答案】(1)，； (2)； (3) ； ； ． 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，相反数定义，绝对值非负性，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （）根据绝对值非负性偶次幂非负性，通过相反数的定义得出，然后求解即可； （）先由对称性可知点与数字重合求出折痕点，然后求出点重合的点所表示的数即可； （）当时，的最小值； 当时，的值最小，最小值为，再求出符合条件的整数即可求解； 根据，，，，，，，，4的中间数即可所求． 【规范解答】（1）解：∵且与互为相反数， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得，， ∴点表示的数为， ∴要使点与表示的点重合， ∴折痕点为， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵表示与之间的距离，表示与之间的距离，表示与和之间的距离和， ∴当时，的最小值， 故答案为：； ∵表示数轴上表示的点到表示的点和的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为， ∴的整数值为，，，，，，，， ∴所有整数的和是， 故答案为：； ∵表示倍与的距离，表示倍与的距离，表示倍与的距离之和， ∴，，，，，，，，4的中间数是， ∴当时，取最小值， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、，其中是最大的负整数，、满足，且． (1)________；________；线段________； (2)若点在线段上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍时，则点在数轴上表示的数为多少？请算出来． 【答案】(1)，， (2)点在数轴上表示的数为或或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）根据最大的负整数为可求出的值，再根据非负性求出，，最后根据数轴上两点间的距离公式求出； （2）先求出，再分当时，当时，当时，求出，最后根据两点间的距离公式求解即可． 【规范解答】（1）解： 是最大的负整数， ， ， ，， 解得，， ， 故答案为：，，； （2） ，， ， 当时，则， 点表示的数为； 当时，则， 点表示的数为； 当时，则， 点表示的数为； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或． 题型11 有理数大小比较 21．（25-26七年级上·广东阳江·阶段练习）【阅读理解】对于三个数，我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）___________；___________； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数，使，若有，求出的值，若没有，说明理由． 【答案】（1），；（2） ， ；（3）存在， 【思路引导】本题主要考查了有理数大小的比较和新定义，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据有理数大小比较确定最小值即可； （2）根据，，即可求得，根据，即可求得； （3）根据（2）的结论，求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：；， 故答案为：，； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； （3）存在，，理由如下: 由（2）可知： ， ， ∵ ∴． 22．（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 2，，0，，，． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的大小比较等，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键； 先利用相反数的概念，绝对值的定义化简，，，然后在数轴上正确表示所给有理数， 再利用数轴上右边的数大于左边的数比较大小即可． 【规范解答】解：，，， 在数轴上表示如图所示： 根据数轴上右边的数大于左边的数可得，． 题型12 有理数大小比较的实际应用 23．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【思路引导】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【规范解答】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 24．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【思路引导】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 题型13 有理数的加减混合运算 25．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)11 (3)； (4)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，涉及减法转化为加法、加法运算律的应用以及绝对值的性质等知识点．熟练掌握有理数的运算法则、运算律以及绝对值的性质是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再按照从左到右的顺序依次计算； （2）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）利用加法交换律和结合律，把分母相同的分数结合在一起进行计算； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再将减法转化为加法进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 26．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：，；，．观察上述式子的特征，解决下列问题． (1)尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①______；②______； (2)归纳：当时，______；当时，______； (3)探究：计算； (4)拓展：计算． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了绝对值运算，有理数的加减混合运算． （1）观察可知，去掉绝对值符号的形式为：大数小数，据此即可求解； （2）由观察所得结论即可求解； （3）去掉绝对值后，进行合并即可； （4）去掉绝对值后，进行合并即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （3）解：， ∴原式 ； （4）解：原式 ． 题型14 有理数减中的简便运算 27．（25-26七年级上·天津宝坻·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）先去括号，再根据有理数加法运算律和加减运算法则计算即可； （）根据有理数的加法运算律和运算法则计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握拆项法是解题关键． 根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】解：原式 ， ， ， ． 题型15 有理数加减混合运算的应用 29．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）国庆节期间，某市一条东西走向的公路路况较差，交警为了维持道路畅通，特派遣一辆巡逻车在这条公路上巡逻，规定向东行驶为正，一天，巡逻车从这条公路上的A地出发，行驶记录如下．（单位：千米） 0 (1)巡逻车在上述巡逻期间，直接写出在哪个时刻巡逻结束后距离A地最近？此时巡逻车在A地的什么方向？离A地多远？ (2)巡逻期间，巡逻车一共行驶了多少千米？若每千米耗油0.1升，那么到12：00巡逻结束时，一共耗油多少升？ (3)巡逻车在12：00巡逻结束后出现故障，于是从B地派出救援车，若B地在A地的正东方向10千米，直接写出救援车向什么方向行驶多少千米才能到达救援地？ 【答案】(1)；地正东方向，离地0.4千米 (2)29.8千米，升 (3)向西行驶14.2千米 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的加减运算的应用，绝对值的意义等知识﹒ （1）先计算出每一个时刻的位置，再根据正负数的意义进行比较即可求值； （2）先计算出七个时间段行数据的绝对值的和为千米，再乘以每千米的耗油量即可求解； （3）先计算出时巡逻车的位置为千米，用救援车位置10减去即可求解﹒ 【规范解答】（1）解：，，，，，， 答：巡逻车在上述巡逻期间，巡逻结束后距离A地最近，此时巡逻车在A地的正东方向，离A地千米； （2）解： （千米）， （升）﹒ 答：整个巡逻结束，巡逻车一共行驶了29.8千米，一共耗油升； （3）解：（千米）， （千米）﹒ 答：救援车应向正西行驶14.2千米﹒ 30．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）今年的“十•一”黄金周是8天的长假，某风景区在8天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，符号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化 单位：万人 ＋1.8 －0.6 ＋0.2 －0.7 －1.3 ＋0.5 －2.4 －1.2 (1)若9月30日的游客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为______万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多______万人； (3)在第（1）问的条件下如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1)4.9 (2)5.5 (3)3180 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的应用与正负数的实际应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列得算式，计算即可得到结果； （2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果； （3）根据表格得出1日到8日每天的人数，相加后再乘以100即可得到结果． 【规范解答】（1）解：根据题意列得：（万人）； （2）解：1日：（万人） 2日：（万人） 3日：（万人） 4日：（万人） 5日：（万人） 6日：（万人） 7日：（万人） 8日：（万人） 得：8天中旅客最多的是1日为6万人，最少的是8日为0.5万人， 则八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多（万人）； （3）解：黄金周八天的旅游总收入约为（万元）． 题型16 有理数乘除混合运算 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）先把带分数化为假分数，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （2）先把带分数化为假分数，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （3）先化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （4）先去括号，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 32．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数_____两点间的距离；表示数轴上数与数_____两点间的距离； (2)表示数轴上数与数_____的距离和数与数_____的距离的和； (3)满足的所有整数的值是_____． (4)借助数轴，直接写出当满足时，数的值是_____． 【答案】(1)5， (2)，2 (3) (4)7或 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算，理解绝对值的意义，运用数形结合思想是解题的关键； （1）根据数轴上两点之间的距离的意义求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离的意义求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知，表示数轴上数与数的距离与数与数2的距离的和为5，当表示x的点在表示和2的点之间时和是5，据此求解即可； （4）根据数轴上两点之间的距离的意义并结合数轴，分类讨论求解即可， 【规范解答】（1）解：表示数轴上数8与数5两点间的距离；表示数轴上数与数两点间的距离， 故答案为：5，； （2）解：表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （3）解：表示数轴上数与数的距离与数与数2的距离的和为5， 当表示x的点在表示和2的点之间时，和是5， 满足的所有整数的值是， 故答案为：． （4）解：表示数轴上数与数的距离与数与数5的距离的和为13， 当x表示的点在表示的点左边时， 当x表示的点在5表示的点右边时，， 当x表示的点在和5表示的点之间时，，不符合题意， 综上所述，数的值是7或， 故答案为：7或． 题型17 有理数乘除中的简便运算 33．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 34．（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； （）利用有理数除法法则进行简便运算即可； （）利用加法运算律进行简便运算即可； （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 题型18 有理数四则混合运算 35．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)_____． (2)根据以上观察，聪明的你发现_____． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项相消法是解答本题的关键． （1）利用裂项相消法求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可； （3）利用裂项相消法求解即可． 【规范解答】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 36．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【思路引导】本题考查了新定义，有理数的混合运算，读懂题意并正确应用新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算，仿照示例计算，即可判断； （2）根据新定义运算计算即可得到结果； （3）根据题意，把式子转化的形式，进行相加减，即可得到结果． 【规范解答】（1）解：①，， ，， ， 和是一对“隔一数对”， ② ； ，， ， 和是一对“隔一数对”， ③，， ，， ， 和不是一对“隔一数对”， 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ． 题型19 有理数四则混合运算的实际应用 37．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）某公司股票上周五股市收盘价（当天收市时的价格）为每股元，老何上星期五以收盘价买进该公司股票1000股（股市周六、周日休市），在接下来的一周交易日内，老何记下该股票每日收盘价比前一天的涨跌情况（记上涨为正，下跌为负．单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时该股票每股 元． (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高多少元？ (3)已知老何买进股票时付了（千分之）的手续费，卖出时须付总金额的手续费和的交易税，如果他在本周五收盘前以收盘价将这支股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)； (2)本周内收盘价每股最高价比最低价高4.5元； (3)老何的收益为． 【思路引导】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加减法即可求解； （2）算出收盘最高价和收盘最低价，利用有理数减法求解即可； （3）算出周五的收盘价，将全部股票卖出后得到的钱数减去买入股票与卖出股票均需支付的交易费，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：星期三收盘时股价为：（元）， 故答案为：． （2）解：收盘最高价为：（元）， 收盘最低价为：（元）， （元）， ∴本周内收盘价每股最高价比最低价高元； （3）解：周五收盘前以收盘价为：（元）， 老何收益为：（元）． 38．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为20度，电费元/度，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)400千米 (2)160元 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，正数和负数，熟记有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）根据表格中的数据列式计算即可； （2）根据（1）中汽车行驶的路程进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知， （千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）解：由（1）知，小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米， 汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价8元升，而新能源汽车每行驶耗电量为20度，电费元度， （元）． 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省160元钱． 题型20 根据点在数轴的位置判断式子的正负 39．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习），，在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小： ____________； ____________； _____________； (2)请在数轴上表示和，并用“”号把数轴上的数按从小到大顺序排列． 【答案】(1)，，； (2)在数轴上表示见解析；． 【思路引导】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用数轴比较有理数的大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由数轴可知，，，，，，再判断式子正负即可； （）在数轴上表示和，然后根据数轴特点即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，，，，，， ∴ ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：在数轴上表示如图， ∴由数轴特点可知：． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）有理数在数轴上的表示如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 正确的有 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，，进而根据有理数的运算法则和绝对值的性质逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴①②④⑤正确，③错误， 故答案为：①②④⑤． 题型21 数轴上的翻折 41．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上的折叠问题，由翻折得，表示的数为，点C表示的数为，即可求解． 【规范解答】解：因为、B之间的距离为3， 所以， 因为以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边， ， 因为点B表示的数为7， 所以表示的数为， 所以点C表示的数为； 故答案为：． 42．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） (1)折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合； (2)折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数___________表示的点重合； ②表示的点与数___________表示的点重合； ③若数轴上、两点之间距离为（A在B的左侧），且、两点经折叠后重合，求此时点、点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①②③点表示的数是，点表示的数 【思路引导】本题考查数轴表示数的意义和方法，数轴上两点间的距离计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，可知折叠线经过数轴上的原点，则题目可求； （2）求出表示的点与3表示的点重合时折叠线经过数轴上的点所表示的数为1， ①求出表示5的点与表示1的点之间的距离，利用折叠后重合的点到折叠线经过的点的距离相等即可求解； ②求出表示的点与表示1的点之间的距离，利用折叠后重合的点到折叠线经过的点的距离相等即可求解； ③数轴上、两点之间距离为，则可知到表示1的点的距离为，据此解答即可． 【规范解答】（1）解：折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠直线经过数轴上的原点， ∴表示的点与2表示的点重合， 故答案为：2； （2）解：折叠纸面，使表示的点与3重合， ， ∴表示的点与表示3的点到折叠线的距离均为， 则折叠线经过数轴上表示1的点， ∵折叠后重合的点到折叠线经过的点的距离相等，设折叠后与表示5的点重合的点所表示的数为， 则， ， 故答案为：； 设折叠后与表示的点重合的点所表示的数为， 则， 解得， 故答案为：； 数轴上，两点之间距离为，且，两点经折叠后重合， ∴到表示1的点的距离为， ∵A在B的左侧， 点表示的数为：， 点表示的数为：． 题型22 乘方运算的符号规律 43．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【思路引导】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【规范解答】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 44．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【思路引导】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型23 程序流程图与有理数计算 45．（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【思路引导】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 46．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【规范解答】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 题型24 算“24”点 47．（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小玉有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应如何抽取？最小的和是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应如何抽取？最小的乘积是多少？ (3)从中抽出3张卡片，使这3张卡片上的数字经过加、减、乘、除运算后，组成一个最大的数，则应如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，要使结果为24，则应如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【答案】(1)应抽取；最小和为． (2)抽取，最小的乘积是； (3)应抽取，4，最大的数是60； (4)，（答案不唯一） 【思路引导】有理数的四则混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）观察这五个数，根据有理数的加法进行计算判断即可； （2）观察这五个数，根据有理数的乘法进行计算判断即可； （3）观察这五个数，根据有理数的四则运算进行计算判断即可； （4）利用加减乘除来连接，答案不唯一． 【规范解答】（1）解：∵， ∴从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应抽取， 则，即最小的和为． 答：抽取，最小的和为； （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应抽取，则， 答：抽取，最小的乘积是； （3）应抽取，4，则， 答：应抽取，4，最大的数是60； （4）答案不唯一；例如抽取； 则． 48．（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片（如图），请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相乘的积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使其运算结果为24．请写出运算式子．（一种即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，乘积最大，最大为20 (2)抽取和两张卡片，商最小，最小为 (3)抽取，，，6四张卡片， 【思路引导】（1）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相除，计算商，再根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，解答即可； （3）根据有理数大的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除，有理数的大小比较，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，大小比较是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为正数时，由可能最大， 抽取和两张卡片，， 抽取6和两张卡片，， 故最大为20 故抽取和两张卡片，乘积最大，最大为20． （2）解：根据负数小于0，小于正数，正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之商为负数时，有可能最小，且负数的绝对值越大，越小， 故抽取和两张卡片，商最小，最小为． （3）解：抽取，，，6四张卡片，（不唯一）． 题型25 含乘方的有理数混合运算 49．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算律计算即可； （3）先计算乘方，再计算乘法，然后计算加减即可； （4）先计算乘方，再计算乘法，然后计算加减即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)22 (2)2 (3)6 (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）从左到右依次计算即可． （2）按照有理数加减混合运算中的简便运算法则计算即可． （3）把除法转化成乘法，然后计算乘法即可． （4）利用乘法运算律计算即可． （5）先算乘方，再算乘法，最后再计算加减法． （6）先化简绝对值，再计算乘法，最后再计算减法． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 51．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年9月25日，解放军火箭军发射了一枚东风31AG州际弹道导弹，准确击中了太平洋公海的预定海域．据悉，此次试射的弹道导弹的射程超过12000公里． 将数字12000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D．12千 【答案】B 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故选：． 52．（23-24七年级上·贵州·期末）的夏天——凉都六盘水欢迎您，2023年六盘水市全年共接待国内过夜游客约人次，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 直接用科学记数法求解即可． 【规范解答】解：， 故选：C． 题型27 将用科学记数法表示的数变回原数 53．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了把科学记数法表示的数变为原数，熟知科学记数法是解题的关键． （1）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （2）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （3）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （4）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 54．（25-26七年级上·北京海淀·阶段练习）用科学记数法表示的数为，则原数的整数位有（    ） A．位 B．位 C．位 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】本题是考查把科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 科学记数法表示的数的整数位数比n多1，是位． 【规范解答】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是． 故选C． 题型28 求一个数的近似数 55．（24-25七年级上·全国·期末）按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【思路引导】本题考查四舍五入取近似值，涉及精确位数、科学记数法、四舍五入法取近似值等知识，熟记四舍五入法求解是解决问题的关键．按照精确度四舍五入取值，逐项分析验证即可得到答案． 【规范解答】解：A、对（精确到）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； B、对（精确到）取近似值为，故此选项错误，符合题意； C、对（精确到十位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对（精确到千分位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 56．（24-25七年级上·河北·期末）580.07是经过四舍五入得到的近似数，它精确到百分位，有 个有效数字； 【答案】5/五 【思路引导】本题考查了近似数和有效数字．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【规范解答】解：580.07是经过四舍五入得到的近似数，它精确到百分位，有5个有效数字； 故答案为：5． 题型29 求近似数的精确度 57．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）近似数2.5万是精确到 位，将1204060用科学记数法表示为 ．（要求精确到万位） 【答案】 千 【思路引导】本题考查了科学记数法，求近似数，掌握以上知识是解题的关键． 将2.5万写成，可得精确位数，再利用科学记数法的概念即可解答． 【规范解答】解：2.5万，故近似数2.5万是精确到千位， 将用科学记数法且精确到万位，表示为， 故答案为：千；． 58．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．取，身高约，其中和165都是近似数 【答案】D 【思路引导】本题考查了近似数，正确理解近似数的精确度是解题的关键．根据近似数的精确度逐一判断即可． 【规范解答】解：A、近似数精确到十分位，精确到百分位，两者精确度不同，所以A选项错误，不符合题意； B、（用四舍五入法精确到），所以B选项错误，不符合题意； C、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，所以选项C错误，不符合题意； D、是无理数，取是取其近似值；身高约是测量所得的近似值，故和165都是近似数，该说法正确． 故选：D． 题型30 近似数推断取值范围 59．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案． 【规范解答】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是， 故选：C． 60．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重x（）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案． 【规范解答】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是， 故选：C． 题型31 已知字母的值，求代数式的值 61．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球桶． (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，若方案一、方案二可以同时使用，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)元，元 (2)按方案一购买较为合算 (3)能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元 【思路引导】本题主要考查了列代数式，代数式求值， （1），根据10副羽毛球拍的总价加上购买桶羽毛球的总价可得方案一的代数式，再用购买羽毛球拍和羽毛球的总价乘以可得方案二的代数式； （2），将分别代入两个代数式求出值，再比较即可； （3）先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，再计算付款金额，即可求解． 【规范解答】（1）解：该客户按方案一需付款：元； 该客户按方案二需付款：元； 答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款元、元； （2）解：当时，按方案一需付款：（元， 按方案二需付款：（元， ， 客户按方案一购买较为合算； （3）解：能， 先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球， 共付款：（元， 答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元． 62．（25-26七年级上·全国·课后作业）现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（）与人体身高（m）平方的商．即身体质量指数．对于成年人来说，身体质量指数在18.5∼24之间，体重适中；身体质量指数低于18.5，体重过轻；身体质量指数高于24，体重超重．张老师的身高是，体重是，他的体重属于哪一类型 ． 【答案】适中 【思路引导】本题考查求代数式的值．把，代入所求的代数式即可． 【规范解答】解：把，代入身体质量指数， 得身体质量指数， 而， 因此他的体重适中． 故答案为：适中． 题型32 已知式子的值，求代数式的值 63．（25-26七年级上·全国·期中）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式的值为（   ） A．1或 B．或3 C．1 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查代数式求值，相反数、倒数和绝对值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，代入原式计算即可解决． 【规范解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2， ， 当时，； 当时，； 则代数式的值为1或， 故选：A． 64．（24-25七年级上·山东济宁·期中）当时，代数式，则当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．2023 【答案】C 【思路引导】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 先把代入，可得，再把代入，可得，然后把代入计算即可． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴， 当时， ， 故选：C． 题型33 程序流程图与代数式求值 65．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）按如图的程序计算，如果输出，则输入的整数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，根据输出，可列方程，用直接开平方法解方程即可得到输入的数． 【规范解答】解：输出， 根据题意可得：， ， ∴输入的整数为． 故答案为：． 66．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2026次输出的结果为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查程序流程图与代数式求值；计算出第三次输出的结果，第四次输出的结果等等，找出规律即可． 【规范解答】解：第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12， 第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3， 第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3， ．．．．．． 从第三次开始，奇数次输出的结果为6，偶数次输出的结果为3， ∴第2026次输出的结果为3． 故选：B． 题型34 数字类规律探索 67．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出______； (2)直接写出计算结果：______； (3)探究并计算： (4)计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出一般性规律，写出即可； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【规范解答】（1）， 故答案为：; （2） , 故答案为：； （3） ； （4） ． 68．（24-25七年级上·山东济宁·期中）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更有助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： (1)填空：用代数式表示： ①与的差的平方：____________； ②与两数的平方和与两数积的2倍的差：_____________； (2)当时，求第（1）题中①②所列的代数式的值； (3)由第（2）题的结果，你发现了什么等式？ (4)利用你发现的结论，求：的值． 【答案】(1)①；②； (2)；； (3)； (4)36 【思路引导】本题考查了列代数式以及代数式求值，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）①a与b的差是，则差的平方就是； ②a与b的平方和是，a，b两数积的2倍是，再做差即可表示； （2）当，代入（1）所得的代数式即可求值； （3）根据（2）计算的结果，比较两个式子的大小即可得规律； （4）根据（3）中发现的结论进行计算即可得． 【规范解答】（1）解：根据题意，得①；②； （2）解：当，时，，； （3）解：根据题意，得； （4）解：原式． 题型35 图形类规律探索 69．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出旋转周期，最后确定所对应的点即可． 【规范解答】解：， 正六边形的周长， ，， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点， 故答案为：． 70．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（   ） A．227 B．228 C．229 D．230 【答案】C 【思路引导】本题考查了图形规律，根据图形变化寻找规律是解题的关键． 根据图形点的个数变化推出变化的规律即可求解． 【规范解答】解：∵第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， ∴第个图形点的个数为： ， ∴第76个图形点的个数为：， 故选：C． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $