专题02 圆心角和圆周角9大题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题02 圆心角和圆周角9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 2 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 3 题型四、圆周角定理 5 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 6 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 8 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 8 题型八、已知圆内接四边形求角度 8 题型九、求四边形外接圆的直径 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 5．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 6．如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 7．如图，在中，，，以为直径作，分别交，于，F，与相等吗?为什么? 8．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 9．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 12．已知射线经过的圆心，与相交于点A，点B在上，且，P为射线上异于点O，A的一动点，直线交于点C，且． (1)如图①，当点P在线段上时，求的度数． (2)如图②，当点P在线段的延长线上时，求的度数． 题型四、圆周角定理 13．如图，内接于，是的直径，是上一点，，则 ． 14．如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 15．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 16．如图，A、B、C是上的三点，． (1)图中所对的圆周角为______，其度数为________； (2)求的度数； (3)以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 17．如图，在中，，．求的度数． 18．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 19．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 20．如图，内接于，点在劣弧上，且，连接、，延长至点，连接，使得． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 21．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 22．如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 23．如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 24．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 25．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 26．筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 28．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 题型八、已知圆内接四边形求角度 29．如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 30．如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为 31．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 32．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型九、求四边形外接圆的直径 33．如图，的内接四边形的边是的直径，已知，，则的半径为（    ） A．6 B．9 C．10 D． 34．如图，四边形内接于，，，则的半径为 ． 35．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 36．已知：中，以为直径的交边，于点，，且点为边的中点． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，等腰的一个锐角A的顶点在上，边，分别与交于点D，E，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 5．如图，A，B，C是上的三点，已知，那么的度数为 ． 6．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 8．如图，已知是的直径，内接于，，，D是上一点，连接，若，则 ． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，弦所对的圆心角是上异于，的点，求的度数． 情况一：圆周角顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角顶点在弦所对的劣弧上 解答过程： 解答过程： 综上所述，的度数为____________． 10．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 11．如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆心角和圆周角9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 2 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 3 题型四、圆周角定理 5 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 6 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 8 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 8 题型八、已知圆内接四边形求角度 8 题型九、求四边形外接圆的直径 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角概念辨析及简单运算 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 2．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 3．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 5．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 6．如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，以为直径作，分别交，于，F，与相等吗?为什么? 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理以及弧与弦的关系，熟练掌握圆周角定理以及弧与弦的关系是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，得出，再依据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，得到弧和弧相等，进而推出弧和弧相等，最后根据等弧所对的弦相等，得出． 【详解】解：．理由如下： ，， ， ， ， ， ∴． 8．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 题型三、圆周角的概念辨析及简单运算 9．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 10．如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 11．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 12．已知射线经过的圆心，与相交于点A，点B在上，且，P为射线上异于点O，A的一动点，直线交于点C，且． (1)如图①，当点P在线段上时，求的度数． (2)如图②，当点P在线段的延长线上时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质、三角形外角的性质，根据题意，设关键角为x，利用三角形内角和定理列方程是解题给关键. （1）设，再用含x的式子表示出，最后根据三角形内角和定理列方程求解即可. （2）设，再用含x的式子表示出，最后根据三角形内角和定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：． 设． ． 在中，， 解得． （2）解：设， ． ， ． 在中，， 解得， ， ． 题型四、圆周角定理 13．如图，内接于，是的直径，是上一点，，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：是所对的圆周角， 是的直径， ， 在中，， 故答案为:． 14．如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由，易得点，，，共圆，然后由圆周角定理，求得点在量角器上对应的读数． 【详解】解：连接， ∵，为半圆的直径， ∴，，，四点共圆， ， ， 即第20秒点在量角器上对应的读数是， 故答案为：120． 15．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 16．如图，A、B、C是上的三点，． (1)图中所对的圆周角为______，其度数为________； (2)求的度数； (3)以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得所对的圆周角为，利用圆周角定理求出的度数即可得到答案； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数，最后由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案； （3）分两种情况讨论，由圆周角定理可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，所对的圆周角为，其度数为， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，①当点在优弧上时， ∵， ∴； ②当点在劣弧上时， ∵， ∴， 综上：的度数为或， 故答案为：或． 题型五、同弧或等弧所对的圆周角相等 17．如图，在中，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，根据等弧对等弦，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 19．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，内接于，点在劣弧上，且，连接、，延长至点，连接，使得． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等，可得，结合已知进行等量代换，可得，根据平行线的判定定理即可证得结论； （2）由等角对等边可得线段长度相等，结合三角形相似的判定和性质，计算即可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得，． 【点睛】本题考查等弧所对的圆周角相等，平行线的判定，等角对等边，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 题型六、半圆（直径）所对的圆周角是直角 21．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质得到． 【详解】证明：如图，连接， 是圆的直径， ， ， ． 22．如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 在中， ． 23．如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，得到，由，再利用直角三角形的性质即可求出的度数； （2）连接，根据圆周角定理得到，结合，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5． 24．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边对等角得，结合圆周角定理得，因为，故，证明，即可作答． （2）先因为，，所以，因为为直径，，因为，则，即，证明，故，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， 设， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴， 即． 题型七、90度的圆周角所对的弦是直径 25．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 26．筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 27．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求得，可得，通过含角的直角三角形的性质求得，根据圆的基本知识即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 为的直径， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 的半径为． 故答案为：． 28．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 题型八、已知圆内接四边形求角度 29．如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 【答案】122 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 30．如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为 【答案】120 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质．直接根据等边三角形的性质、圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵A、D、E、F均在上， ∴， 故答案为：． 31．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． (1)若，求证：． (2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． （1）根据三角形的内角和结合题意，得，根据圆内接四边形的性质可得，推得，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质得、，推得，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 32．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的三线合一即可解决问题； （2）利用圆内接四边形的性质得出，结合已知条件证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）连接，如图，    ∵为⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接DE，如图， ∵ ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型九、求四边形外接圆的直径 33．如图，的内接四边形的边是的直径，已知，，则的半径为（    ） A．6 B．9 C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质得，判断出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为6， 故选：A． 34．如图，四边形内接于，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形内接于，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， 的半径为， 故答案为：． 35．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)半径长 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理； （1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点，，，均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图所示连接， ∵ ∴ 设的半径为，则中， 解得：（负值舍去） ∴半径长 36．已知：中，以为直径的交边，于点，，且点为边的中点． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为5 【分析】本题考查了圆的性质、垂直平分线的性质、三角形相似． （1）连接，利用圆周角定理的推论可得，点为边的中点，根据线段垂直平分线的性质可得结论； （2）连接，利用三角形相似得到关系式，从而求出，根据，即可求出． 【详解】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， ， ∵点为边的中点， 垂直平分， ； （2） 解：连接，如图， ， ， ,， ， ，， ， ，即， ， ， ， 半径为5． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，等腰的一个锐角A的顶点在上，边，分别与交于点D，E，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 先根据等腰直角三角形得到，再由圆周角定理得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，熟练运用圆周角定理是本题的关键．由三角形中位线定理可得 ，即当为直径时，长最大，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴， 当为直径时，长最大， ∵为直径， ∴，且，， ∴， ∴， ∴长的最大值为． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 5．如图，A，B，C是上的三点，已知，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据等弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 8．如图，已知是的直径，内接于，，，D是上一点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出长，然后连接交于点E，证明和，根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 连接交于点E，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴, ∴， 解得， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，弦所对的圆心角是上异于，的点，求的度数． 情况一：圆周角顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角顶点在弦所对的劣弧上 解答过程： 解答过程： 综上所述，的度数为____________． 【答案】解答过程见解析；或 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形对角互补，解题关键是利用圆的知识分类讨论． 情况一直接运用圆周角定理即可得到答案，情况二需要用圆的内接四边形对角互补来求解． 【详解】解：情况一解答过程： 情况二解答过程：如图，在弦所对的优弧上取一点，连接， 则， ， 综上所述：或． 10．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 11．如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别作出和的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为圆心O的位置； （2）连接，，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质求出，解直角三角形得出，即可得出答案； （3）过点G作交的延长线于点H，连接、、，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据，得出当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作的点； （2）解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径长为； （3）解：矩形中，，， 过点G作交的延长线于点H，连接、、，如图所示： 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，两点之间线段最短，尺规作垂线，三角形的外心，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $