第二节 简谐运动的描述（导学案）物理粤教版2019选择性必修第一册

第二节 简谐运动的描述 1.物理观念：理解振幅、周期、频率、相位等描述简谐运动的基本物理量，掌握其定义、单位及物理意义；能用数学表达式x＝Acos(ωt＋φ)描述简谐运动，并能结合图像分析各参数对运动状态的影响。 2.科学思维：通过将简谐运动与匀速圆周运动投影进行类比，建立“参考圆模型”，发展模型建构与类比推理能力。能从位移一时间图像中提取振幅、周期、初相等信息，并实现“图像一公式一运动状态”之间的相互转化。 3.科学探究：在小组合作中探究不同初始条件下振子运动的差异，提升科学探究解决问题的能力。 4.科学态度与责任：感受物理学在描述自然现象中的简洁美与精确性，增强对物理学习的兴趣与信心；认识到振动现象广泛存在于桥梁、建筑、机械等领域，理解准确描述振动对工程安全的重要意义。 1.掌握振幅、周期、频率、相位的概念及其物理意义(重点)。 2.理解并应用简谐运动的表达式x＝Acos(ωt＋φ)进行定量描述(重点)。 3.相位(ωt＋φ)和初相中的物理意义理解，特别是初相对振动起始状态的影响，建立简谐运动与匀速圆周运动的联系，运用参考圆模型解释正弦规律的来源(重难点)。 【知识回顾】 第一节　简谐运动 一、认识简谐运动 1. 机械振动 （1）概念：物体（或者物体的一部分）在某一中心位置（平衡位置）两侧所做的 运动叫作机械振动，简称振动。 （2）特征 ①有一个“中心位置”,即 位置，也是振动物体静止时的位置； ②运动具有往复性 2. 弹簧振子 （1）定义：把小球和弹簧组成的 称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）平衡位置(O)： 3. 弹簧振子的回复力 （1）定义：使弹簧振子在平衡位置附近做往复运动的力叫做 。 （2）特点和表达式：在弹性限度内，振子所受到的回复力F的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的 大小成正比，即 （3）回复力的方向：跟振子偏离平衡位置的位移 （或总是指向于平衡位置） 二、简谐运动的图像和特征 1. 弹簧振子的位移——时间图像（x-t） （1）全振动：振子往复运动一次 （2）简谐运动及图像： 或余弦函数 2. 简谐运动的几个特征物理量 （1）振幅：振子振动时，离开平衡位置的 距离，用“A”表示； （2）周期：物体完成一次全振动所需要的 ，用“T”表示。 （3）频率：物体在一段时间内 的次数与所用时间之比，用“f ”表示。 （4）周期与频率的关系： 三、简谐运动的能量特征 1. 振子运动过程中个物理量的变化 2. 周期性的往复运动 【自主预习】 第二节　简谐运动的描述 一、简谐运动的函数描述 1. 描述简谐运动:x-t的函数表达式：x＝ 2. 对函数表达式的理解 (1)ω与周期T（或频率f ）的关系：ω＝ ＝ ； (2)反应了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律； (3)其他表达式：x＝Acos( t＋φ)或x＝Acos( t＋φ)。 二、简谐运动的图像描述 1. 图像的建立 2. 相位差 (1)物理学中把 叫作相位。φ是t＝0时的相位，叫作 或 。 (2)相位差：两个具有 频率的简谐运动的相位的 。 ①若Δφ＝φ1－φ2＞0，则1的相位比2 Δφ； ②若Δφ＝φ1－φ2<0，则1的相位比2 Δφ； ③若Δφ＝0，则1和2运动的步调 ； ④若Δφ＝π，则1和2运动的步调 。 思考与讨论1 一、简谐运动的函数描述 1.结合高中数学中的正、余弦函数的相关内容，回到刚才的问题，简谐运动的x-t图像如何用函数形式表示出来？ 2.根据简谐运动的运动特点，式中A、ω具有什么物理意义呢？ 思考与讨论2 二、简谐运动的图像描述 1.理解了简谐运动的函数表达式的物理意义之后，思考一下，要如何建立图像呢？ 2.假设两个振子P，Q做简谐运动的位移—时间函数表达式分别为x＝Acos(t)和x＝Acos(t＋)。在x-t坐标系中分别作出它们的振动曲线，如图所示： 思考：对于这两条振动曲线，大家有什么发现？ 3.归纳相位差的物理意义： 思考与讨论3 三、典例分析 【典例1】（多选）有甲、乙两个简谐运动，甲的振动方程为，乙的振动方程为．下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的振幅之比为 B．甲、乙的振幅之比为 C．甲、乙的周期之比为 D．甲、乙的周期之比为 【典例2】如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　）    A．在各自的一个周期内，甲振子的位移比乙振子的位移大 B．第内，甲、乙两振子的加速度方向相反 C．内，甲，乙两振子的加速度均为正值 D．第末，甲的加速度达到其最大值，乙的速度达到其最大值 【典例3】如图所示为一弹簧振子的振动图像，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ （3）该振子在前100 s的总位移和总路程。 课堂小结： 本节课的学习了如何用公式和图像描述简谐运功的位移与时间的关系，并能从公式和图像中求出周期和振幅，定性了解相位和相位差的概念。 1.如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　　) A.振动周期是2 s，振幅是8 cm B.振动频率是2 Hz C.小球完成一次全振动通过的路程是8 cm D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 2.(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin(2.5πt)m。则 (　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)m，则A滞后B 3.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　) A.x＝8×10－3sin(4πt＋)m B.x＝8×10－3sin(4πt－)m C.x＝8×10－3sin(4πt＋)m D.x＝8×10－3sin(t＋)m 4.(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4 sin (100πt＋)cm，x2＝5 sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　　) A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同 C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致 5.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm。 (1)求弹簧振子的振幅A； (2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节 简谐运动的描述 1.物理观念：理解振幅、周期、频率、相位等描述简谐运动的基本物理量，掌握其定义、单位及物理意义；能用数学表达式x＝Acos(ωt＋φ)描述简谐运动，并能结合图像分析各参数对运动状态的影响。 2.科学思维：通过将简谐运动与匀速圆周运动投影进行类比，建立“参考圆模型”，发展模型建构与类比推理能力。能从位移一时间图像中提取振幅、周期、初相等信息，并实现“图像一公式一运动状态”之间的相互转化。 3.科学探究：在小组合作中探究不同初始条件下振子运动的差异，提升科学探究解决问题的能力。 4.科学态度与责任：感受物理学在描述自然现象中的简洁美与精确性，增强对物理学习的兴趣与信心；认识到振动现象广泛存在于桥梁、建筑、机械等领域，理解准确描述振动对工程安全的重要意义。 1.掌握振幅、周期、频率、相位的概念及其物理意义(重点)。 2.理解并应用简谐运动的表达式x＝Acos(ωt＋φ)进行定量描述(重点)。 3.相位(ωt＋φ)和初相中的物理意义理解，特别是初相对振动起始状态的影响，建立简谐运动与匀速圆周运动的联系，运用参考圆模型解释正弦规律的来源(重难点)。 【知识回顾】 第一节　简谐运动 一、认识简谐运动 1. 机械振动 （1）概念：物体（或者物体的一部分）在某一中心位置（平衡位置）两侧所做的往复运动叫作机械振动，简称振动。 （2）特征 ①有一个“中心位置”,即平衡位置，也是振动物体静止时的位置； ②运动具有往复性 2. 弹簧振子 （1）定义：把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）平衡位置(O)： 3. 弹簧振子的回复力 （1）定义：使弹簧振子在平衡位置附近做往复运动的力叫做回复力。 （2）特点和表达式：在弹性限度内，振子所受到的回复力F的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的 大小成正比，即F=-kx （3）回复力的方向：跟振子偏离平衡位置的位移相反（或总是指向于平衡位置） 二、简谐运动的图像和特征 1. 弹簧振子的位移——时间图像（x-t） （1）全振动：振子往复运动一次 （2）简谐运动及图像：正弦或余弦函数 2. 简谐运动的几个特征物理量 （1）振幅：振子振动时，离开平衡位置的最大距离，用“A”表示； （2）周期：物体完成一次全振动所需要的时间，用“T”表示。 （3）频率：物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比，用“f ”表示。 （4）周期与频率的关系：T= 1/f 三、简谐运动的能量特征 1. 振子运动过程中个物理量的变化 2. 周期性的往复运动 【自主预习】 第二节　简谐运动的描述 一、简谐运动的函数描述 1. 描述简谐运动:x-t的函数表达式：x＝Acos(ωt＋φ) 2. 对函数表达式的理解 (1)ω与周期T（或频率f ）的关系：ω＝＝2πf； (2)反应了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律； (3)其他表达式：x＝Acos(t＋φ)或x＝Acos(2πft＋φ)。 二、简谐运动的图像描述 1. 图像的建立 2. 相位差 (1)物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。φ是t＝0时的相位，叫作初相位或初相。 (2)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值。 ①若Δφ＝φ1－φ2＞0，则1的相位比2超前Δφ； ②若Δφ＝φ1－φ2<0，则1的相位比2落后Δφ； ③若Δφ＝0，则1和2运动的步调相同； ④若Δφ＝π，则1和2运动的步调相反。 思考与讨论1 一、简谐运动的函数描述 1.结合高中数学中的正、余弦函数的相关内容，回到刚才的问题，简谐运动的x-t图像如何用函数形式表示出来？ 答案　简谐运动的x-t图像可以用x＝Acos(ωt＋φ)表示。 2.根据简谐运动的运动特点，式中A、ω具有什么物理意义呢？ 答案　A可能与振动幅度有关系，ω可能与周期有关系。 思考与讨论2 二、简谐运动的图像描述 1.理解了简谐运动的函数表达式的物理意义之后，思考一下，要如何建立图像呢？ 答案　可利用描点法建立x＝Acos(ωt＋φ)的图像。 2.假设两个振子P，Q做简谐运动的位移—时间函数表达式分别为x＝Acos(t)和x＝Acos(t＋)。在x-t坐标系中分别作出它们的振动曲线，如图所示： 思考：对于这两条振动曲线，大家有什么发现？ 答案　将x＝Acos(t)的振动曲线向左平移可得到x＝Acos(t＋)的振动曲线。 3.归纳相位差的物理意义： ①若Δφ＝φ1－φ2＞0，则1的相位比2超前Δφ； ②若Δφ＝φ1－φ2<0，则1的相位比2落后Δφ； ③若Δφ＝0，则1和2运动的步调相同； ④若Δφ＝π，则1和2运动的步调相反。 思考与讨论3 三、典例分析 【典例1】（多选）有甲、乙两个简谐运动，甲的振动方程为，乙的振动方程为．下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的振幅之比为 B．甲、乙的振幅之比为 C．甲、乙的周期之比为 D．甲、乙的周期之比为 【答案】AD 【详解】AB．由简谐运动表达式可知甲的振幅，乙的振幅 ，则振幅之比为，故A正确，B错误；CD．由简谐运动表达式可知甲的周期，乙的周期，周期之比 故D正确，C错误。故选AD。 【典例2】如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　）    A．在各自的一个周期内，甲振子的位移比乙振子的位移大 B．第内，甲、乙两振子的加速度方向相反 C．内，甲，乙两振子的加速度均为正值 D．第末，甲的加速度达到其最大值，乙的速度达到其最大值 【答案】B 【详解】A．在各自的一个周期内，弹簧振子的位移为零，故A错误； B．第内，甲弹簧振子向x轴正方向做减速运动，加速度沿x轴负方向，乙弹簧振子向x轴负方向做减速运动，加速度沿x轴正方向，故B正确； C．内，甲、乙两振子的位移均为正值，所以加速度均为负值，故C错误；D．第末，甲的速度达到其最大值，乙的加速度达到其最大值，故D错误。故选B。 【典例3】如图所示为一弹簧振子的振动图像，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ （3）该振子在前100 s的总位移和总路程。 【答案】（1）；（2）见解析；（3）0，5 m 【详解】（1）由振动图像可得：，，,则 故该振子做简谐运动的表达式为 （2）由题图可知，在第2s末振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断增大，加速度也变大，速度不断变小，动能减小，弹性势能逐渐增大。在第3s末，加速度达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。 （3）振子经过一个周期位移为零，路程为 前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子位移，振子经过的路程为 课堂小结： 本节课的学习了如何用公式和图像描述简谐运功的位移与时间的关系，并能从公式和图像中求出周期和振幅，定性了解相位和相位差的概念。 1.如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　　) A.振动周期是2 s，振幅是8 cm B.振动频率是2 Hz C.小球完成一次全振动通过的路程是8 cm D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 答案　D 解析　由题意可知周期T＝ s＝2 s，振幅A＝ cm＝4 cm，A错误；频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s＝4A＝16 cm，C错误；小球在3 s 内通过的路程为s＝×4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。 2.(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin(2.5πt)m。则 (　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)m，则A滞后B 答案　CD 解析　由振动方程可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或者说A滞后B，故D正确。 3.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　) A.x＝8×10－3sin(4πt＋)m B.x＝8×10－3sin(4πt－)m C.x＝8×10－3sin(4πt＋)m D.x＝8×10－3sin(t＋)m 答案　A 解析　由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，所以弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋) m，A正确。 4.(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4 sin (100πt＋)cm，x2＝5 sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　　) A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同 C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致 答案　BC 解析　它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期T＝＝ s，选项B正确；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝知相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，则振动步调不一致，选项D错误。 5.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm。 (1)求弹簧振子的振幅A； (2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。 答案　(1)12.5 cm　(2)1 s　1 Hz 解析　(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间距离的一半，即A＝ cm＝12.5 cm。 (2)由简谐运动的对称性可知，从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的，所以 tBP＝ s＝0.1 s 同理可知tPO＝ s＝0.15 s 又tBP＋tPO＝ 可得周期T＝1 s 则频率f＝＝1 Hz。 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $