专题26.4 实际问题与反比例函数（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题26.4 实际问题与反比例函数 教学目标 1. 掌握利用反比例函数解决实际问题的具体步骤，结合反比例函数的图像和性质，能熟练解决与反比例函数相关的问题。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数解决实际问题； （2）反比例函数解决几何问题； （3）反比例函数解决文理问题。 2. 难点 （1）反比例函数解决相关实际问题的灵活应用； （2）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图像和性质解决实际问题。 【即学即练1】 1．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求p与V的关系式； （2）当气球内的气压超过150kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式取3）． 【即学即练2】 2．佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 2019 2020 2021 2022 投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5 产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？ ②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3.2万元，则需投入技改资金多少万元？ 知识点02 利用反比例函数解决几何图形问题 1. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 【即学即练1】 3．某工人打算用不锈钢钢条加工一个面积为8平方米的矩形框架，假设框架的长与宽分别为x米、y米． （1）直接写出y与x的函数解析式； （2）已知这种不锈钢钢条每米6元，若使框架的长比宽多2米，则加工这个框架共需花费多少元？ 知识点03 利用反比例函数解决物理问题 1. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 【即学即练1】 4．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流I为12安培． （1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数表达式； （2）若4≤R≤16，求电流I的变化范围． 【即学即练2】 5．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【即学即练3】 6．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示． 桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400 受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25 （1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式． （2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 题型01 反比例函数的实际应用—工程与行程问题 【典例1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米． （1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若60≤v≤120．求时间t的取值的范围． 【变式1】装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果以1.5t/min的速度装货，需要多长时间才能装完货物？ 【变式2】某水箱的容量一定，注入水的流量P与注满水箱的时间t成反比例关系，当P＝10m3/min时，t＝4min． （1）求P与t之间的函数表达式； （2）当t＝8min时，求水流量P的值． 【变式3】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间为2h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为55km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 题型02 反比例函数与几何图形问题 【典例1】市煤气公司要在地下挖一个容积为1000立方米的圆柱形煤气储存室，若储存室的底面积为S平方米，深度为d米． （1）求S与d之间的函数表达式； （2）据勘探，储存室深度的最大值为16米，求储存室的底面积至少为多少平方米？ 【变式1】老李想利用一段5米长的墙（图中EF），建一个面积为32平方米的矩形养猪圈，另外三面（图中AB，BC，CD）需要自己建筑．老李准备了可以修建20米墙的材料（可以不用完）． （1）设AB＝y，BC＝x，求y关于x的函数关系式． （2）对于（1）中的函数y的值能否取到8.5？请说明理由． 【变式2】为提升居住品质，某小区计划对中庭进行改造，物业规划出一块边长分别是a米，b米的长方形空地，建设羽毛球场和半圆形儿童乐园两个功能区，剩余部分种植绿植．设计师给出的方案如图所示，羽毛球场的边长分别是m米，n米，儿童乐园的直径是b米． （1）若该空地的面积为300平方米，判断a，b是否成反比例关系； （2）小区业主要求该空地改造后有一半以上面积是功能区，若设计师规划的尺寸满足：，，．你认为该设计方案是否符合要求？若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的设计方案． 【变式3】某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半，已知装修旧墙壁的费用为15元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为70元/平方米，设健身房高3米，健身房AB的长为x米，BC的长为y米，修建健身房墙壁的总投资为w元． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的范围． （2）求w与x的函数关系，并求出当所建健身房AB长为6米时总投资为多少元？ 【变式4】如图，要建一个面积为100平方米的长方形菜园，菜园的一边靠墙，另外三边用木栏潍城，设与墙平行的边长为x米，与墙垂直的边长为y米． （1）y与x之间的函数关系式为 　 ；y是x的 　 函数； （2）当与墙平行的一边长16米时，与墙垂直的一边的长为多少米？现有木栏25米，够用吗？ （3）若墙长25米可全部利用，则与墙垂直的一边长y的取值范围是 　 ． 题型03 反比例函数与物理问题 【典例1】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m，则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且k≠0），其图象如图所示．当V＝10m3时，气体的密度为（　　） A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．3kg/m3 D．4kg/m3 【变式2】已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【变式3】电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求R1关于U0的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【变式4】综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （4）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 题型04 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，AC⊥BC． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）求∠ABC的度数． 【变式1】如图1，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数，x＜0）的图象于点B、C（﹣1，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度所得的图象交x轴于点D．连接BD、CD，当DB⊥AC时，求m的值； 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数图象交于点A（1，a）和B（b，﹣1），与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使y1＞y2的x取值范围； （3）M（m，0）是x轴正半轴上的一个动点，作MN⊥x轴，交反比例函数图象于点N，当S四边形OCNM＞5时，求出m的取值范围． 【变式3】如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　） 体积x（mL） 100 80 60 40 20 压强y（kPa） 60 75 100 150 300 A．y＝3000x B．y＝6000x C．y D．y 2．李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园ABCD的面积为24平方米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式为（　　） A． B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D． 3．某沼泽地能承受的压强为20000Pa，一位同学的体重为600N，为了让他不陷入沼泽地，他与沼泽地的接触面积至少为（　　）平方米． A．0.01 B．3 C．0.1 D．0.03 4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40c C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm 6．用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 7．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（　　） A．2 B．4 C． D． 8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是72A B．最大电流是36A C．最小电流是72A D．最小电流是36A 9．如图，点A（a，b）在双曲线上，a＞b＞0，，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（　　） A． B．5 C． D． 10．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0） 11．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 1.5 2 … v/（亿米/秒） 3 2 1.5 … 若普通玻璃的折射率为1.2，则光在普通玻璃中的传播速度为 　 　 亿米/秒． 12．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系．初一入校小明佩戴的250度近视镜片的焦距为0.4米，由于小明有长时间使用电子产品等不规范用眼的行为，初三测视力发现近视度数增长为400度，那么此时需要重配的眼镜镜片焦距应为　 　 米． 13．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．当受力面积S＝0.1m2时，该物体承受的压强p＝1000Pa；当受力面积S＝0.25m2时，该物体承受的压强p＝ 　 　 Pa． 14．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为P（P），P关于R的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝16Ω时，P的值为 　 　 W． 15．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P　 　 ，使PA+PB最小． 16．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． （1）工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 17．如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 18．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为　 　 效力； （2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 19．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． （1）这场沙尘暴的最高风速是　32　 千米/时，最高风速维持了　10　 小时． （2）当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． （3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 20．已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）若点A关于原点的对称点为A′，求△AA′B的面积； （3）探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 实际问题与反比例函数 教学目标 1. 掌握利用反比例函数解决实际问题的具体步骤，结合反比例函数的图像和性质，能熟练解决与反比例函数相关的问题。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数解决实际问题； （2）反比例函数解决几何问题； （3）反比例函数解决文理问题。 2. 难点 （1）反比例函数解决相关实际问题的灵活应用； （2）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图像和性质解决实际问题。 【即学即练1】 1．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求p与V的关系式； （2）当气球内的气压超过150kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式取3）． 【答案】（1）； （2）估计气球的半径至少为0.2m时气球不会爆炸． 【解答】解：（1）设p，把（0.04，120）代入得120， ∴k＝4.8， ∴p与V的关系式为p； （2）当p＝150时，150， ∴V＝0.032， ∵Vπr3，π＝3， ∴3r3＝0.032， 解得r＝0.2． 答：估计气球的半径至少为0.2m时气球不会爆炸． 【即学即练2】 2．佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 2019 2020 2021 2022 投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5 产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？ ②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3.2万元，则需投入技改资金多少万元？ 【答案】（1）y； （2）①0.4万元； ②0.625万元． 【解答】解：（1）由表中数据知，x、y关系，得： xy＝2.5×7.2＝3×6＝4×6＝4×4.5＝4.5×4＝18， ∴x、y不是一次函数关系， ∴表中数据是反比例函数关系y； （2）①当x＝5得：y3.6， 4﹣3.6＝0.4万元； 答：预计成本比2022年降低0.4万元． ②当y＝3.2，得x＝5.625， 5.625﹣5＝0.625（万元）． 答：还要投入技改资金约0.625万元． 知识点02 利用反比例函数解决几何图形问题 1. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 【即学即练1】 3．某工人打算用不锈钢钢条加工一个面积为8平方米的矩形框架，假设框架的长与宽分别为x米、y米． （1）直接写出y与x的函数解析式； （2）已知这种不锈钢钢条每米6元，若使框架的长比宽多2米，则加工这个框架共需花费多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵矩形的面积为8平方米，长与宽分别为x米、y米， ∴xy＝8， ∴； （2）∵框架的长比宽多2米， ∴x＝y+2， ∴y（y+2）＝8， y1＝2，y2＝﹣4（舍）， ∴x＝4， ∴2×（2+4）×6＝72元， 答：加工这个框架共花费72元． 知识点03 利用反比例函数解决物理问题 1. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 【即学即练1】 4．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流I为12安培． （1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数表达式； （2）若4≤R≤16，求电流I的变化范围． 【答案】（1）； （2）9≤I≤36． 【解答】解：（1）∵当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系， ∴设， ∵当R＝12时，I＝12， ∴， ∴k＝144， ∴； （2）∵中，144＞0， ∴在R＞0时，I随R的增大而减小， ∵4≤R≤16， ∴， 即9≤I≤36． 【即学即练2】 5．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【答案】（1）F（l＞0），400N； （2）1.5m． 【解答】解：（1）由“杠杆原理”得：Fl＝1200×0.5，即Fl＝600， ∴F（l＞0）， 当l＝1.5时，F400， 答：撬动石头至少需要400N的力； （2）由（1）可知，F（l＞0）， 当F400＝200时，l3， ∵在l＞0内，F随l的增大而减小，且3﹣1.5＝1.5（m）， ∴动力臂l至少要加长1.5m． 【即学即练3】 6．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示． 桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400 受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25 （1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式． （2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 【答案】（1）P； （2）这种摆放方式安全，理由见解答． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知：压强P和受力面积S的乘积是一个定值，故桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）符合反比例关系， 设桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数解析式为P， 当P＝50时，S＝2，则50， 解得k＝100， 即桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）函数关系式是P； （2）这种摆放方式安全， 理由：S＝0.2×0.2＝0.04， 当S＝0.04时，P2500， ∵2500＜5000， ∴这种摆放方式安全． 题型01 反比例函数的实际应用—工程与行程问题 【典例1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米． （1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若60≤v≤120．求时间t的取值的范围． 【答案】（1）v（t＞0）； （2）2≤t≤4． 【解答】解：（1）由题意可得， v， 即v关于t的函数表达式为v（t＞0）； （2）∵60≤v≤120，v， ∴60120， 解得2≤t≤4， 即60≤v≤120．时间t的取值的范围是2≤t≤4． 【变式1】装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果以1.5t/min的速度装货，需要多长时间才能装完货物？ 【答案】（1）； （2）需要才能装完货物． 【解答】解：（1）设该运货车上装载货物的质量m＝xy， 把（0.5，40）代入得货物的质量m＝0.5×40＝20， ∴y与x之间的函数关系式； （2）当x＝1.5时，有， ∴需要才能装完货物． 【变式2】某水箱的容量一定，注入水的流量P与注满水箱的时间t成反比例关系，当P＝10m3/min时，t＝4min． （1）求P与t之间的函数表达式； （2）当t＝8min时，求水流量P的值． 【答案】（1）； （2）5m3/min． 【解答】解：（1）设P与t之间的函数表达式为， 当P＝10m3/min时，t＝4min， 则， 解得：k＝40， ∴P与t之间的函数表达式为：； （2）解：将t＝8min代入， 则． 【变式3】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间为2h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为55km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】（1）； （2）3.2h． 【解答】解：（1）由题意设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th， 可得：vt＝88×2＝176， ∴； （2）当v＝55km/h时，． 答：小汽车速度为55km/h时，从乙地到甲地需要3.2h． 题型02 反比例函数与几何图形问题 【典例1】市煤气公司要在地下挖一个容积为1000立方米的圆柱形煤气储存室，若储存室的底面积为S平方米，深度为d米． （1）求S与d之间的函数表达式； （2）据勘探，储存室深度的最大值为16米，求储存室的底面积至少为多少平方米？ 【答案】（1）S（d＞0）； （2）储存室的底面积至少为平方米． 【解答】解：（1）由容积＝底面积×深度，可得： ∴S（d＞0）； （2）当深为16m，即d＝16时， 将之代入第一问的函数关系式可得： S（平方米）． 答：储存室的底面积至少为平方米． 【变式1】老李想利用一段5米长的墙（图中EF），建一个面积为32平方米的矩形养猪圈，另外三面（图中AB，BC，CD）需要自己建筑．老李准备了可以修建20米墙的材料（可以不用完）． （1）设AB＝y，BC＝x，求y关于x的函数关系式． （2）对于（1）中的函数y的值能否取到8.5？请说明理由． 【答案】（1）y； （2）对于（1）中的函数y的值不能取到8.5． 【解答】解：（1）依题意，得：xy＝32， ∴y． （2）当y＝8.5时，8.5， 解得：x， ∴x+2y＝20． 又∵2020， ∴对于（1）中的函数y的值不能取到8.5． 【变式2】为提升居住品质，某小区计划对中庭进行改造，物业规划出一块边长分别是a米，b米的长方形空地，建设羽毛球场和半圆形儿童乐园两个功能区，剩余部分种植绿植．设计师给出的方案如图所示，羽毛球场的边长分别是m米，n米，儿童乐园的直径是b米． （1）若该空地的面积为300平方米，判断a，b是否成反比例关系； （2）小区业主要求该空地改造后有一半以上面积是功能区，若设计师规划的尺寸满足：，，．你认为该设计方案是否符合要求？若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的设计方案． 【答案】（1）是成反比例关系，理由见详解； （2）改设计方案符合要求，理由见详解． 【解答】解：（1）根据长方形的面积公式可得ab＝300， 因为a、b乘积一定，所以它们成反比例关系； （2）长方形面积为， 羽毛球场的面积为， 儿童乐园的面积为， ∴功能区的面积为， ∵b2πb2b2， ∴该设计方案符合要求． 【变式3】某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半，已知装修旧墙壁的费用为15元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为70元/平方米，设健身房高3米，健身房AB的长为x米，BC的长为y米，修建健身房墙壁的总投资为w元． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的范围． （2）求w与x的函数关系，并求出当所建健身房AB长为6米时总投资为多少元？ 【答案】（1）y（5≤x≤10）；（2）w＝255（x）；3230元． 【解答】解：（1）由题意，∵健身房AB的长为x米，BC的长为y米，面积为40平方米， ∴xy＝40． ∴y． 又所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半， ∴． ∴5≤x≤10． （2）由题意，w＝（x）×3×70+（x）×3×15＝255（x）， 当x＝6时，w＝255×（6）＝3230（元）． 【变式4】如图，要建一个面积为100平方米的长方形菜园，菜园的一边靠墙，另外三边用木栏潍城，设与墙平行的边长为x米，与墙垂直的边长为y米． （1）y与x之间的函数关系式为y（x＞0）　 ；y是x的　反比例　 函数； （2）当与墙平行的一边长16米时，与墙垂直的一边的长为多少米？现有木栏25米，够用吗？ （3）若墙长25米可全部利用，则与墙垂直的一边长y的取值范围是y≥4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解；（1）∵要建一个面积为100平方米的长方形菜园，设与墙平行的边长为x米，与墙垂直的边长为y米， ∴xy＝100， ∴y（x＞0），y是x的反比例函数； 故答案为：y（x＞0），反比例； （2）把x＝16代入y中，得y， ∴与墙垂直的一边长为m， 162＝28.5（m）＞25m， 答：现有木栏25米，不够用； （3）y， ∵0＜x≤25， ∴y≥4． 故答案为：y≥4． 题型03 反比例函数与物理问题 【典例1】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m，则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：动力F和动力臂l之间的函数解析式为1000×0.4＝Fl， 则，是反比例函数， 又∵动力臂l＞0． 故选：B． 【变式1】如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且k≠0），其图象如图所示．当V＝10m3时，气体的密度为（　　） A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．3kg/m3 D．4kg/m3 【答案】A 【解答】解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系为， 将（4，2.5）代入，得， 解得k＝10， ∴， 将V＝10代入，得ρ＝1， ∴该气体的密度为1kg/m3． 故选：A． 【变式2】已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）设反比例函数表达式为I （k≠0） 将点（10，4）代入得4 ∴k＝40 ∴反比例函数的表达式为 （2）由题可知，当I＝8时，R＝5， 且I随着R的增大而减小， ∴当I≤8时，R≥5 ∴该用电器的可变电阻至少是5Ω． 【变式3】电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求R1关于U0的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1）； （2）； （3）115千克． 【解答】解：（1）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压， 即：可变电阻电压＝8﹣U0， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴． 化简得：， ∵R0＝30， ∴． （2）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b， 得：， 解得：． ∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）， 将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入， 得：， 化简得：； （3）∵中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6， ∴m随U0的增大而增大， ∴U0取最大值6的时候，（千克）． 【变式4】综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； （3）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （4）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【答案】（1）如图： ； （2）y与x的函数关系式为：； （3）当砝码质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm； （4）在移动前托盘B中的砝码质量25g． 【解答】解：（1）如图： ； （2）由图象猜测y与x之间是反比例函数关系， 设函数表达式， 将（10，30）代入，得， 解得k＝300， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （3）当y＝24时得，24， 解得x＝12.5， ∴活动托盘B与点O的距离是12.5cm； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm， 由题意得：ma＝300，2m（a﹣6）＝300， 解得m＝25， ∴在移动前托盘B中的砝码质量25g． 题型04 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，AC⊥BC． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）求∠ABC的度数． 【答案】（1）y1＝3x+3；； （2）∠ABC＝45°． 【解答】解：（1）已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：k＝m＝﹣2n， ∵m+n＝3， ∴﹣2n+n＝3， 解得：n＝﹣3， ∴m＝6， ∴k＝6，A（1，6），B（﹣2，﹣3）， ∴反比例函数解析式为， 把点A，点B的坐标分别代入y1＝ax+b得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y1＝3x+3； （2）设C（m，0）， ∵A（1，6），B（﹣2，﹣3）， ∴AC2＝（1﹣m）+（6﹣0）2＝m2﹣2m+37，BC2＝（﹣2﹣m）+（﹣3﹣0）2＝m2+4m+13， AB2＝（﹣2﹣1）+（﹣3﹣6）2＝90， ∵AC⊥BC， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴m2﹣2m+37+m2+4m+13＝90， 解得m＝4或m＝﹣5（不合题意，舍去）， ∴AC2＝42﹣2×4+37＝45，BC2＝42+4×4+13＝45， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 【变式1】如图1，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数，x＜0）的图象于点B、C（﹣1，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度所得的图象交x轴于点D．连接BD、CD，当DB⊥AC时，求m的值； 【答案】（1）； （2）m值为2； 【解答】解：（1）将C（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝﹣1+4＝3， ∴C（﹣1，3）， 将C（﹣1，3）代入，得， 解得k＝﹣3， ∴， （2）联立得， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣3， 将x＝﹣3代入y＝x+4，得y＝1， ∴B（﹣3，1）， 令y＝x+4＝0，得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度所得的图象的解析式为：y＝x+4﹣m， 令y＝0，得x＝m﹣4， ∴D（m﹣4，0）， ∵A（﹣4，0），B（﹣3，1），D（m﹣4，0）， ∴AB2＝（﹣4+3）2+（0﹣1）2＝2，AD2＝（m﹣4+4）2＝m2，BD2＝（m﹣4+3）2+（0﹣1）2＝m2﹣2m+2， 当DB⊥AC时，∠ABD＝90°， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴2+m2﹣2m+2＝m2， 解得m＝2； 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数图象交于点A（1，a）和B（b，﹣1），与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使y1＞y2的x取值范围； （3）M（m，0）是x轴正半轴上的一个动点，作MN⊥x轴，交反比例函数图象于点N，当S四边形OCNM＞5时，求出m的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y； （2）y1＞y2的x取值范围为﹣3＜x＜0或x＞1； （3）m的取值范围为m． 【解答】解：（1）∵把点A（1，a）代入y1＝x+2得， ∴a＝1+2＝3， ∴a＝3， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入得k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y； （2）把B（b，﹣1）代入y得，b3， ∴B（﹣3，﹣1）， ∵一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数图象交于点A（1，3）和B（﹣3，﹣1）， ∴y1＞y2的x取值范围为﹣3＜x＜0或x＞1； （3）如图，∵M（m，0），MN⊥x轴，交反比例函数图象于点N， ∴N（m，），MN∥OC， 在y1＝x+2中，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， ∴S四边形OCNM（MN+OC）•OM2）×m＞5， 解得m． 故m的取值范围为m． 【变式3】如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为：y；（2）；（3）P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）、P5（0，）、P6（，0）、P7（0，4）、P8（﹣6，0）．． 【解答】解：（1）∵已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点， ∴m＝﹣3×2＝﹣3n， ∴m＝﹣6，n＝2， ∴反比例函数解析式为：y； （2）∵A（﹣3，2），B（2，﹣3）在一次函数y＝kx+b图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1， 设一次函数与y轴交点为C，则C（0，﹣1），OC＝1， S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）∵A（﹣3，2）， ∴OP， ①当OA＝OP时，在坐标轴上存在四个P的位置满足△AOP等腰三角形， P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）； ②当PA＝PO时，存在两个满足条件的P点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点， ∵A（﹣3，2）在直线OA上， ∴直线OA的k，线段OA的中点坐标（，1）， 设线段OA垂直平分线解析式为yx+b， 将点（，1）坐标代入得：1b，解得b， ∴线段OA垂直平分线解析式为y， 当x＝0时，y；当y＝0时，x， ∴P5（0，），P6（，0）． 当AP＝AO时，P（0，4），P（﹣6，0）． 综上所述，满足条件的P点有6个，坐标为：P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）、P5（0，）、P6（，0）P7（0，4）、P8（﹣6，0）． 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　） 体积x（mL） 100 80 60 40 20 压强y（kPa） 60 75 100 150 300 A．y＝3000x B．y＝6000x C．y D．y 【答案】D 【解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y， 则xy＝k＝6000， 故y与x之间的关系的式子是y， 故选：D． 2．李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园ABCD的面积为24平方米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式为（　　） A． B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D． 【答案】A 【解答】解：∵AB＝y米，BC＝x米，长方形菜园ABCD的面积为24平方米， ∴xy＝24， ∴y， ∴y与x之间的函数解析式为y． 故选：A． 3．某沼泽地能承受的压强为20000Pa，一位同学的体重为600N，为了让他不陷入沼泽地，他与沼泽地的接触面积至少为（　　）平方米． A．0.01 B．3 C．0.1 D．0.03 【答案】D 【解答】解：此同学对沼泽地的压力F＝G＝600Nu， 他对沼泽地的压强：p， ∴S0.03， 故选：D． 4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【答案】D 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm 【答案】C 【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为， 由条件可得k＝20． ∴h关于ρ的函数解析式为．据此，逐项分析判断如下： A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确，不符合题意； B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故该选项不正确，不符合题意； C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，故该选项正确，符合题意； D．当液体的密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 6．用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【解答】解：根据反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： A、如图所示， 频率相同时，均为f1，甲材质吸管乐器的长度l1比乙材质吸管乐器的长度l2短，正确，符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，故原选项错误，不符合题意； C、如图所示， 长度相同时，均为l1，甲材质吸管乐器的频率f1比乙材质吸管乐器的频率f2小，故原选项错误，不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越小，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 7．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故， 即． 所以它们的电阻的比为． 答：所以它们的电阻的比为． 故选：C． 8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是72A B．最大电流是36A C．最小电流是72A D．最小电流是36A 【答案】A 【解答】解：设，由条件可得，解得U＝36， ∴； 若该电路的最小电阻值为0.5Ω，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 9．如图，点A（a，b）在双曲线上，a＞b＞0，，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB＝OB， ∴△ABC的周长＝OC+AC， 设OC＝a，AC＝b， 则有方程组， 解得a+b＝5， 即△ABC的周长＝OC+AC＝5． 故选：B． 10．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0） 【答案】A 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图， ∵∠ACO+∠BCD＝90°， ∠OAC+∠ACO＝90°， ∴∠OAC＝∠BCD． 在△ACO与△CBD中， ． ∴△ACO≌△CBD（AAS）． ∴OC＝BD，OA＝CD， ∵A（0，2），C（1，0） ∴OD＝3，BD＝1， ∴B（3，1）， ∴设反比例函数的解析式为y， 将B（3，1）代入y， ∴k＝3． ∴y． ∴把y＝2代入y， ∴x． 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度． 此时点C的对应点C′的坐标为（，0）． 故选：A． 11．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 1.5 2 … v/（亿米/秒） 3 2 1.5 … 若普通玻璃的折射率为1.2，则光在普通玻璃中的传播速度为 　　 亿米/秒． 【答案】． 【解答】解：由表格可知，vn＝3×1＝1.2×2.5＝2×1.5＝3． ∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系． ∴设光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间的函数解析式为v（k≠0）． 将v＝3，n＝1代入v得3． 解得k＝3． ∴光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间的函数解析式为v． 将n＝1.2代入v， 得v（亿米/秒）． 答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒． 故答案为：． 12．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系．初一入校小明佩戴的250度近视镜片的焦距为0.4米，由于小明有长时间使用电子产品等不规范用眼的行为，初三测视力发现近视度数增长为400度，那么此时需要重配的眼镜镜片焦距应为　0.25　 米． 【答案】0.25． 【解答】解：设，代入y＝250，x＝0.4， 得：， 解得：k＝100， ∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系式为， 当y＝400时， ， 解得：x＝0.25． 故答案为：0.25． 13．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．当受力面积S＝0.1m2时，该物体承受的压强p＝1000Pa；当受力面积S＝0.25m2时，该物体承受的压强p＝ 　400　 Pa． 【答案】400． 【解答】解：设反比例函数的解析式为P（k≠0）， 由函数图象得反比例函数经过点（0.1，1000）， ∴k＝0.1×1000＝100， ∴反比例函数的解析式为P， 当S＝0.255m2时，P400（Pa）． 故答案为：400． 14．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为P（P），P关于R的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝16Ω时，P的值为 　25　 W． 【答案】25． 【解答】解：∵源电压U一定， ∴U2一定， ∵P， ∴P与R之间是反比例函数， 设U2＝k（k为常数，且k≠0），则P， 根据题意，得20， 解得k＝400， ∴P与R之间的函数关系式为P， 当R＝16Ω时，P25（W）． 故答案为：25． 15．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P　（，0）　 ，使PA+PB最小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设A点的坐标为（a，b），则， ∴ab＝k， ∵， ∴ ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为． 根据题意画出图形，如图所示： 联立得， 解得， ∴A为（2，1）， 设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）． 令直线BC的解析式为y＝mx+n ∵B为（1，2）， 将B和C的坐标代入得：， 解得： ∴BC的解析式为y＝﹣3x+5， 当y＝0时，， ∴P点为（，0）． 故答案为：（，0）． 16．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． （1）工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】（1）； （2）提前10天． 【解答】解：（1）由题意，得， （2）当v＝40时，则， 解得：t＝30， 当v＝30时，则， 解得：t＝40， ∵40﹣30＝10（天）， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 17．如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】（1）函数关系式为；（2）需要5台这样的挖掘机． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为， ∵点（24，50）在函数图象上， ∴， ∴k＝1200， ∴所求函数关系式为； （2）当y＝15时，， ∴x＝80， 80÷16＝5， 答：需要5台这样的挖掘机． 18．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为　3　 效力； （2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）3； （2）深消毒阶段为线段BC的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式； （3）消毒有效． 【解答】解：（1）根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）当10≤x≤30时， 设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，由题意可得： ， ∴， 所以． 当x≥30时， 设反比例函数的解析式为， 由题意可得：， 解得m＝180， 故． （3）∵，， ∴当y＝4时，； 当y＝4时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 19．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． （1）这场沙尘暴的最高风速是　32　 千米/时，最高风速维持了　10　 小时． （2）当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． （3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】（1）32，10； （2）y； （3）59.5． 【解答】解：（1）由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时； 10～20时，风速不变；最高风速维持时间为20﹣10＝10小时； 故答案为：32，10； （2）设当4≤x≤10时函数解析式为y＝ax+b，将（4，8），（10，32）代入， ， 解得， 当4≤x≤10时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为y＝4x﹣8； （3）∵当4≤x≤10，y＝10时，10＝4x﹣8， 解得， ∴时风速为10千米/时， 当x≥20时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y， 将（20，32）代入，得， 解得k＝640， 所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当x≥20，y＝10时，， 解得x＝64， “危险时刻”的时间为：64﹣4.5＝59.5（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时． 20．已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）若点A关于原点的对称点为A′，求△AA′B的面积； （3）探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），B（﹣6，﹣1）； （2）16； （3）P（0，﹣3）． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴A（2，3）， ∵反比例函数的图象过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）； （2）如图，过点A′作A′M∥CO，交AB于点M， 由条件可知点A关于原点的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣3）， 把x＝﹣2代入， 可得y1＝1， ∴M（﹣2，1）， ∴MA′＝4， ∴； （3）如图，过点A作AE⊥y轴于E，BD⊥y轴于D， ∴∠AEP＝∠BDP＝90°， 由条件可知BP＝AP，∠APB＝90°＝∠AEP＝∠BDP， ∴∠APE+∠BPD＝90°＝∠APE+∠PAE， ∴∠BPD＝∠PAE， ∴△BPD≌△PAE（AAS）， ∴BD＝PE＝6， ∵E（0，3）， ∴点P（0，﹣3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $