专题09 期中复习易错题汇编（易错20个考点60题）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题09 期中复习易错题汇编 考点一．平方根（共2小题） 考点二．算术平方根（共7小题） 考点三．立方根（共2小题） 考点四．无理数（共1小题） 考点五．实数的性质（共1小题） 考点六．实数与数轴（共2小题） 考点七．估算无理数的大小（共8小题） 考点八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 考点九．三角形的面积（共2小题） 考点十．全等三角形的判定（共2小题） 考点十一．角平分线的性质（共1小题） 考点十二．等腰三角形的性质（共3小题） 考点十三．等腰三角形的判定（共2小题） 考点十四．等边三角形的性质（共1小题） 考点十五．直角三角形的性质（共2小题） 考点十六．含30度角的直角三角形（共1小题） 考点十七．勾股定理（共7小题） 考点十八．勾股定理的证明（共2小题） 考点十九．勾股数（共1小题） 考点二十．勾股定理的应用（共2小题） 考点一．平方根（共2小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 2．如果2a﹣1和5﹣a是一个数m的平方根，则m的值为　 　 ． 考点二．算术平方根（共7小题） 3．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　 　 ． 4．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　 　 ． 5．已知，，那么　 　 ． 6．如图，在3×3方格中有一个正方形ABCD（小正方形方格的边长为1个单位长度），则正方形ABCD的边长为　 　 ． 7．将、、、按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 　 　 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 　 　 ． 8．已知b28，则代数式a2+b的算术平方根是 　 　 ． 9．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 考点三．立方根（共2小题） 10．若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　） A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3 11．9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．7 B．1或7 C．3或7 D．3 考点四．无理数（共1小题） 12．在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，，0这些数中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点五．实数的性质（共1小题） 13．化简：|2|＝　 　 ． 考点六．实数与数轴（共2小题） 14．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数表示的点最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 15．已知正方形OABC，BEFG，按照如图所示位置摆放在数轴上，点O、A、E表示的数分别为1、2、3，若以O为圆心，OF为半径作圆弧，则与数轴的交点表示的数为　 　 ． 考点七．估算无理数的大小（共8小题） 16．估计3的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 17．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[]＝﹣2．按这个规定，[1]＝　 　 ． 18．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[﹣2.5]＝﹣3．现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行 　 　 次操作后变为1． 19．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么2m﹣n的值是 　 　 ． 20．大于且小于π的整数有 　 　 个． 21．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分1，根据以上的内容，解答下面的问题： （1）的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ； （2）1的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ； （3） 若设2整数部分是x，小数部分是y，求xy的值． 22．已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，3b+1的立方根是﹣2，c是的整数部分，d的平方根是它本身． （1）求a，b，c，d的值； （2）求5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根． 23．请阅读下面的过程，完成相应的题目： ∵12，∴的整数部分是1，故的小数部分是1． （1）的整数部分是 　 　 ； （2）设m、n分别是5的整数部分和小数部分，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； （3）在（2）的条件下，若已知a，b为有理数，且amn+bn2＝1，求2a+b的值． 考点八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 24．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 考点九．三角形的面积（共2小题） 25．如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 26．如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 　 　 ． 考点十．全等三角形的判定（共2小题） 27．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 考点十一．角平分线的性质（共1小题） 29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连结DF、EF．已知DC＝5，CE＝12，则△DEF的面积（　　） A．30 B．32.5 C．60 D．78 考点十二．等腰三角形的性质（共3小题） 30．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 31．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成1：2两部分，已知这个等腰三角形周长为36cm，则这个等腰三角形的底边为（　　）cm． A．4 B．10 C．20 D．4或20 32．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角是（　　） A．20° B．80° C．20°或80° D．40°或80° 考点十三．等腰三角形的判定（共2小题） 33．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 34．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有　 　 个． 考点十四．等边三角形的性质（共1小题） 35．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　 　 ． 考点十五．直角三角形的性质（共2小题） 36．如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC等于（　　） A．54° B．62° C．72° D．76° 37．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④ 考点十六．含30度角的直角三角形（共1小题） 38．在△ABC中，比较AB与AC的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点A为圆心，AB为半径作圆弧，分别交BC，AC于点D，E，若∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，则CE的长为 　 　 ． 考点十七．勾股定理（共7小题） 39．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（　　） A．1 B． C． D．2 40．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB，BC，CD，则AD边的长为（　　） A． B． C． D． 41．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 42．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续作下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 44．如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 45．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　 　 ． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 考点十八．勾股定理的证明（共2小题） 46．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连接得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（　　） A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2 47．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 考点十九．勾股数（共1小题） 48．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　 ． 考点二十．勾股定理的应用（共2小题） 49．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 50．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 　 　 米之外才是安全的． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期中复习易错题汇编 考点一．平方根（共2小题） 考点二．算术平方根（共7小题） 考点三．立方根（共2小题） 考点四．无理数（共1小题） 考点五．实数的性质（共1小题） 考点六．实数与数轴（共2小题） 考点七．估算无理数的大小（共8小题） 考点八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 考点九．三角形的面积（共2小题） 考点十．全等三角形的判定（共2小题） 考点十一．角平分线的性质（共1小题） 考点十二．等腰三角形的性质（共3小题） 考点十三．等腰三角形的判定（共2小题） 考点十四．等边三角形的性质（共1小题） 考点十五．直角三角形的性质（共2小题） 考点十六．含30度角的直角三角形（共1小题） 考点十七．勾股定理（共7小题） 考点十八．勾股定理的证明（共2小题） 考点十九．勾股数（共1小题） 考点二十．勾股定理的应用（共2小题） 一．平方根（共2小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵， 9的平方根是±3， 故选：A． 2．如果2a﹣1和5﹣a是一个数m的平方根，则m的值为　81或9　 ． 【答案】81或9． 【解答】解：∵2a﹣1和5﹣a是一个数m的平方根， ∴2a﹣1+5﹣a＝0或2a﹣1＝5﹣a， 解得：a＝﹣4或a＝2． 当a＝﹣4时，2a﹣1＝9，m＝92＝81； 当a＝2时，2a﹣1＝3，m＝32＝9． 故答案为：81或9． 二．算术平方根（共7小题） 3．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　406　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵①1； ②3＝1+2； ③6＝1+2+3； ④10＝1+2+3+4， ∴1+2+3+4+…+28＝406． 4．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1+1）2， （2+1）3， （3+1）4， … ， 故答案为：． 5．已知，，那么　﹣0.04147　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵，， ∴0.04147． 故答案为：﹣0.04147 6．如图，在3×3方格中有一个正方形ABCD（小正方形方格的边长为1个单位长度），则正方形ABCD的边长为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由勾股定理得：AB， 故答案为：． 7．将、、、按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 　　 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 　125　 ． 【答案】①； ②125． 【解答】解：①根据规律可知第6排的第一个数为，从左到右依次减小， ∴（6，6）表示的数是， 故答案为：； ②∵45， ∴第45排的最后一个是，第45排共有45+44＝89个数， ∴在第45排从左向右第85个数， ∴x＝45，y＝85， ∴（2x﹣y）3＝（90﹣85）3＝125． 故答案为：125． 8．已知b28，则代数式a2+b的算术平方根是 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：由题意得： 6﹣a≥0，a﹣6≥0， ∴a＝6， ∴b＝28， ∴a2+b＝36+28＝64， ∴代数式a2+b的算术平方根是8， 故答案为：8． 9．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵12，6，4， ∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”； （2）∵6， ∴分两种情况讨论： ①当12时，﹣3m＝144， ∴m＝﹣48； ②当12时，﹣12m＝144， ∴m＝﹣12（不符合题意，舍）； 综上，m的值是﹣48． 三．立方根（共2小题） 10．若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　） A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3 【答案】C 【解答】解：∵（﹣3）2＝（±3）2＝9， ∴a＝±3， ∴，或， 故选：C． 11．9的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．7 B．1或7 C．3或7 D．3 【答案】B 【解答】解：∵9的平方根是x，64的立方根是y， ∴x＝±3，y＝4， 当x＝3时，x+y＝3+4＝7； 当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+4＝1； 综上所述：x+y＝7或1， 故选：B． 四．无理数（共1小题） 12．在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，，0这些数中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：无理数有，，共2个， 故选：A． 五．实数的性质（共1小题） 13．化简：|2|＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为12， 所以2＜0． 所以|2|＝2． 故答案为：2． 六．实数与数轴（共2小题） 14．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数表示的点最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解答】解：∵1.732， ∴1.732， ∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2， ∴与数表示的点最接近的是点B． 故选：B． 15．已知正方形OABC，BEFG，按照如图所示位置摆放在数轴上，点O、A、E表示的数分别为1、2、3，若以O为圆心，OF为半径作圆弧，则与数轴的交点表示的数为　、　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点F作FH⊥数轴于点H，连接OF， 在Rt△BAE中，AB＝1，AE＝1， ∵OABC，BEFG为正方形， ∴∠BAE＝∠BEF＝90°，BE＝FE， ∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEH＝90°， ∴∠ABE＝∠FEH， 在△ABE和△HEF中， ∴△ABE≌△HEF． ∴AB＝EH＝1，FH＝AE＝1， ∴OH＝3， ∴， 若以O为圆心，OF为半径作圆弧，则与数轴的交点表示的数为1、1． 七．估算无理数的大小（共8小题） 16．估计3的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴34， ∴， ∴3的值在6和7之间． 故选：B． 17．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[]＝﹣2．按这个规定，[1]＝　﹣5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴[1]＝﹣5． 故答案为：﹣5． 18．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[﹣2.5]＝﹣3．现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行 　3　 次操作后变为1． 【答案】3． 【解答】解：121[]＝11[]＝3[]＝1， ∴对121只需进行3次操作后变为1， 故答案为：3． 19．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么2m﹣n的值是 　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵16＜17＜25， ∴45， ∴的整数部分是4，小数部分是4， ∴m＝4，n4， ∴2m﹣n2×4﹣（4） ＝84 ＝12， 故答案为：12． 20．大于且小于π的整数有 　6　 个． 【答案】6． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴﹣32， ∴大于且小于π的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 21．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分1，根据以上的内容，解答下面的问题： （1）的整数部分是　2　 ，小数部分是　2　 ； （2）1的整数部分是　2　 ，小数部分是　1　 ； （3）若设2整数部分是x，小数部分是y，求xy的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵23， ∴的整数部分是2，小数部分是2， 故答案为：2，2． （2）∵12， ∴2＜13， ∴1的整数部分是2，小数部分是121， 故答案为：2，． （3）∵12， ∴3＜24， ∴x＝3，y＝231， ∴xy＝3（1）． 22．已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，3b+1的立方根是﹣2，c是的整数部分，d的平方根是它本身． （1）求a，b，c，d的值； （2）求5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a， ∴a﹣2+7﹣2a＝0， 解得：a＝5， ∵3b+1的立方根是﹣2， ∴3b+1＝﹣8， 解得：b＝﹣3， ∵36＜39＜49， ∴67， ∴的整数部分是6， ∴c＝6， ∵d的平方根是它本身， ∴d＝0， ∴a的值为5，b的值为﹣3，c的值为6，d的值为0； （2）当a＝5，b＝﹣3，c＝6，d＝0时， 5a+2b﹣c﹣11d＝5×5+2×（﹣3）﹣6﹣11×0 ＝25+（﹣6）﹣6﹣0 ＝19﹣6﹣0 ＝13， ∴5a+2b﹣c﹣11d的算术平方根为． 23．请阅读下面的过程，完成相应的题目： ∵12，∴的整数部分是1，故的小数部分是1． （1）的整数部分是 　5　 ； （2）设m、n分别是5的整数部分和小数部分，则m＝　2　 ，n＝　3　 ； （3）在（2）的条件下，若已知a，b为有理数，且amn+bn2＝1，求2a+b的值． 【答案】（1）5； （2）2，3； （3）． 【解答】解：（1）∵， ∴56， ∴的整数部分是5， 故答案为：5； （2）∵23， ∴﹣32， ∴2＜53， ∴5的整数部分2，小数部分是：52＝3， ∴m＝2，n＝3， 故答案为：2，3； （3）由题可得： amn+bn2 ＝2（3）a+（3）2b ， ∴ ∵a，b为有理数 ∴， 解得， .2a+b＝2． 八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 24．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 九．三角形的面积（共2小题） 25．如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：∵点F是BE的中点，S△BFD＝1， ∴BF＝EF， ∴S△DEF＝S△BFD＝1， ∴S△BDE＝S△DEF+S△BFD＝2， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△ABE＝S△BDE＝2， ∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝4， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴S△ACD＝S△ABD＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝8． 故选：B． 26．如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：延长AP与BC交于点H， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠BPH＝90°， ∴∠ABP+∠BAP＝90°， ∵∠PBC+∠PAB＝90°， ∴∠ABP＝∠PBC， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△HBP（ASA）， ∴AP＝PH， ∴S△ABP＝S△BPH，S△APC＝S△CPH， ∴S△BPC＝S△BPH+S△PHCS△ABC＝8， 故答案为：8． 十．全等三角形的判定（共2小题） 27．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 28．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12， 点P的运动时间为12÷1＝12（秒）， 故答案为：0或4或8或12． 十一．角平分线的性质（共1小题） 29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连结DF、EF．已知DC＝5，CE＝12，则△DEF的面积（　　） A．30 B．32.5 C．60 D．78 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°，DC＝5，CE＝12， ∴DE13， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥AB， ∴∠DBA＝∠EDB， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴ED＝EB＝13， ∵DE∥AB， ∴△DEF的面积＝△DEB的面积BE•CD13×5＝32.5， 故选：B． 十二．等腰三角形的性质（共3小题） 30．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．7或9 D．9或12 【答案】B 【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选：B． 31．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成1：2两部分，已知这个等腰三角形周长为36cm，则这个等腰三角形的底边为（　　）cm． A．4 B．10 C．20 D．4或20 【答案】A 【解答】解：设等腰三角形的腰长与底边长分别为x、y， 根据题意得，或， 解得或， 当x＝8，y＝20时，三角形的三边分别为8、8、20， ∵8+8＝16＜20， ∴不能组成三角形， 当x＝16，y＝4时，三角形的三边分别为16、16、4， 能够组成三角形， 所以，这个等腰三角形的底边为4cm． 故选：A． 32．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角是（　　） A．20° B．80° C．20°或80° D．40°或80° 【答案】C 【解答】解：当该外角与顶角相邻，则其顶角是80°； 若该外角与底角相邻，则其底角是80°； 根据三角形的内角和定理，得其顶角是20°． 故选：C． 十三．等腰三角形的判定（共2小题） 33．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】A 【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点． 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个． 故选：A． 34．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有　12　 个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB72°，BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC＝36°， ∵ED∥BC， ∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°， ∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形， 在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形， 同理△AEC也是等腰三角形， 在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， ∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°， ∴OD＝OE，OB＝OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形， ∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°， ∴CD＝CO，BE＝OB， ∴△CDO，△BOE也是等腰三角形， 所以共有12个等腰三角形． 故填12． 十四．等边三角形的性质（共1小题） 35．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　30a ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手， 比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x， 则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a， 所以六边形周长是， 2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a， 而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍， 即x+3a＝2x， 故x＝3a． 所以周长为7x+9a＝30a． 故答案为：30a． 十五．直角三角形的性质（共2小题） 36．如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC等于（　　） A．54° B．62° C．72° D．76° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝54°，∠C＝90°， ∴∠A＝90°﹣54°＝36°， 由折叠的性质可知，∠NEA＝∠A＝36°， ∴∠ENC＝∠NEA+∠A＝72°， 故选：C． 37．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， ∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GDC，故③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°（∠ABC+）＝135°， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴∠DFB∠A，故④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误； 故选：C． 十六．含30度角的直角三角形（共1小题） 38．在△ABC中，比较AB与AC的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点A为圆心，AB为半径作圆弧，分别交BC，AC于点D，E，若∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，则CE的长为 　66　 ． 【答案】66． 【解答】解：连接AD， 由题意得：AB＝AD＝AE， ∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝6， ∴ACAB＝6， ∴CE＝AC﹣AE＝66， 故答案为：66． 十七．勾股定理（共7小题） 39．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE， ∴AC； AD； AE2． 故选：D． 40．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB，BC，CD，则AD边的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得 BE＝AE，CF，DF＝2， 于是EF＝4． 过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得 AD． 故选：D． 41．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6， ∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 42．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续作下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 【答案】C 【解答】解：∵OP＝1，OP1，OP2，OP32，OP4， …， 以此类推，OP2018． 故选：C． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　） A．2： B．4：3 C．： D．7：4 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N， 由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG， ∴∠BCP＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB， 又∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM＝PN， ∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7， ∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3， ∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3， ∴AC：BC＝2：， ∴， 即S△ACP：S△BCP等于2：． 故选：A． 44．如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【解答】解：由题意得，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB， ∴△EAD≌△CAB（SAS）． ∴S4＝S△ABC． 又∵∠ABK＝∠BGH，∠KAB＝∠HBG，AB＝BG， ∴△ABK≌△BGH（ASA）． ∴S△ABK＝S△BGH． ∴S△ABC+S△BCK＝S1+S△BCK． ∴S△ABC＝S1＝S4． 又由题意可设S四边形ADHC＝x，S△BCK＝y， ∴，，． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴S3+S4+x+S2+y＝S1+x+y+S△ABC． ∴S3+S4+S2＝S1+S△ABC． 又∵S△ABC＝S1＝S4， ∴S3+S2＝S1． ∴S2+S3＝S1． ∴S2+S3﹣S1＝0． 故选：D． 45．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　16　 ． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12， ∴AB16， 故答案为：16； （2）∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， 设AP＝PC＝x， ∴PB＝16﹣x， ∵∠B＝90°， ∴BP2+BC2＝CP2， ∴（16﹣x）2+122＝x2， 解得：x， ∴AP； （3）AM的长为8或10或． 如图（1），当CB＝CM＝12时，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8； 如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CMAC＝10； 如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H， 则BH， ∴CH， ∴CM＝2CH， ∴AM＝AC﹣CM＝20， 综上所述，AM的长为8或10或． 十八．勾股定理的证明（共2小题） 46．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连接得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（　　） A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2 【答案】B 【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘ ∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′ 设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中， D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得 （2x）2+（2x+1）2＝85，化简得 2x2+x﹣21＝0 ∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍） ∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4 ∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30 故选：B． 47．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP， ∴∠ADG＝∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PG＝PC． ∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP． ∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴，即． 设AE＝BF＝HD＝x， ∴． ∴x＝1或x＝1（舍去）． 故选：C． 十九．勾股数（共1小题） 48．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 二十．勾股定理的应用（共2小题） 49．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 50．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 　4　 米之外才是安全的． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m， 在Rt△ABC中，AC4． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $