九年级下册 第1章 第6课时三角函数的应用(1)(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第6课时 三角函数的应用(1) A基础巩固●●· 落实课标 梯形，其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B= 1.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的 60°，外口宽为AD,内口宽为BC,榫槽深度是 坡角为α，那么滑梯长1为 b,当BC=320mm,b=70√3mm时，求它的 A、五 B.h 外口宽AD. sin a tan a C.h D.hsin a cos a 2.小明在学完《直角三角形的边角关系》一章 后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园 旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳 PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位 置，测得∠PB'C=α(B'C为水平线)，测角仪 BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为 1 A.1+sin a 米 B. 1-cos a 1 一米 C.I-sin a D.1+cos a 米 AB 3.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶 高为20cm,宽为30cm,为 B能力提升●。· 灵活应用 -3 方便残疾人士，拟将台阶改2 A 6.如图，学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡 为斜坡，设台阶的起点为A, 角∠ABC=30°，斜坡AB长为12m.为方便 斜坡的起点为C,现设计斜坡的坡度i=1:5,则 学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡 AC的长度是 cm. 比是1：3，A,D两点处于同一铅垂线上，求开 4.如图，小方在清明假期到郊外放 C 挖后小坡下降的高度AD. 风筝，风筝飞到C处时的线长 BC为20米，此时小方正好站在 B60° A处，并测得∠CBD=60°，牵引 线底端B离地面1.5米，此时风筝离地面的 高度约是 (参考数据：√3心 1.732,√2≈1.414，结果精确到0.1米) 5.(教材P21T3改编)榫卯结构是一种我国传统 木建筑和家具的主要结构方式，是在两个构 件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是 62 第一章直角三角形的边角关系 7.如图是某地下停车库入口的设计示意图，延 C拓展应用●。· 深度思考 长CD与AB交于点E,已知坡道AB的坡比 8.小华“五·一”假期到梵净山旅游，在山上一 i=1:2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽 平台处欣赏蘑菇石景观，他想估算蘑菇石的 度AC的比，AC的长为7.2m,CD的长为 高度，手中仅有一把长为30cm的扇子. 0.4m. H 20° E了- 24 B (1)小华发现，他直立时眼睛到地面的距离和 (1)请求出DE的长； 他直走三步的距离，都相当于用扇子成直 (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标 线依次翻滚五次的距离，由此可估测出小 志，根据图中所给数据，确定该车库入口 华的眼睛离地面的距离是 m,小华 的限高数值（即点D到AB的距离）， 走一步的距离是 m; (2)小华完全打开扇子发现有35条折痕（不 含边沿)，张角为144°，则相邻两条折痕的 夹角是 度，小华可把扇子等同于 (填三角板、圆规或量角器) 使用； (3)如图所示，小华在A处用扇子测得蘑菇石 顶端H的仰角为20°，他向前走九步到B 处，测得H的仰角为24°，点A,B,E,F,H, O在同一平面内.请你帮小华计算蘑菇石 HO的高度.（结果精确到1m,参考数据： sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45) 63高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 第3课时30°，45°，60°角的三角函数值 第4课时三角函数的计算 6.解：：AD⊥BC于点D, 1.C2.C3.C4.D5.60°6.909 1.D2.A3.C4.否5.280 ∴.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD 1 7.(1)解：原式= 1=一2 6.(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041 中，.AB=8,∠ABD=30°， 2 (4)-0.7817(5)5600'(6)2030 (2解：原式=巨×9-5×号 √6 7.10 AD=合AB=4,BD=5AD=4E. 2 2 8.解：由题意可知，△ACD与△BCD都是 在Rt△ADC中， 0. 直角三角形 :∠CAD=45°，∠ADC=90°， 在Rt△BCD中，∠BDC=42°， .DC-AD=4, (3)解：原式=+1 tan∠BDC-&S≈0.9004， BC .BC=BD+DC=4√3+4. 3 7.解：∠B=90°，ED⊥AC, (4解：原式=2×（）+-1=2× ∴.BC≈CD×0.9004=90.04(m). ∴.∠A十∠C=90°， 在Rt△ACD中，∠ADC=53°， ∠EDC=90°，∴.∠C+∠DEC=90°， 是+厄-1=厄 AC tan∠ADC-C5≈1.3270， ∴∠A=∠DEC, ·osA=号cos∠DEC= 2 8解：mA-号+（竖-oB)】 .∴.AC≈CDX1.3270=132.70(m). 3 ∴.AB=AC-BC=132.70-90.04= 血A-号=0，号-sB=0, 42.66≈42.7(m). 在RACDE中，as∠DBc-器- 3 2 答：手机信号中转塔的高度约为42.7m. DE=4, 9.解：如答图，由题意得DF= AB- CE=2DE=2×4=6, 又：∠A,∠B都是锐角，∠A=45, 0.15(m), .CD=√CE-DE=2√5， ∠B=45°， .AD=AC-CD=10-25. .∠C=180°-45°-45°=90° 8.15-5√5 9.解：由题意得sinl5°=sin(45°-30) =sin45°·cos30°-cos45°·sin30° 9.解：斜坡AB的坡度为1：√3， 答图 AB .斜坡AC的坡比为1：2，. tan∠ABE=L=V3 2 4 4 C 2 33 6-2 -7BC-2AB=1.5m DF .∠ABE=30°， .AE=AB·sin∠ABE=200×sin309 10.解：(1)：DE是梯形ABCD的高，即 CD=2DF=0.3m,ED=2.55m, =100(m). DE⊥BC,在Rt△DEC中， ..EB=ED+BC-CD=2.55+1.5- :斜坡CD的坡度为1：3，噩-分， smc-05-7-日∴∠c=30 0.3=3.75(m),在Rt△AEB中 AB-铝-3-日 设CE=x米，则DE=3xm. (2)如图答，过A作AF⊥BC于点F, .CE2+DE2=CD2,CD=260 m, 则AF=DE A D 查表可得，∠AEB≈11.310°≈12° .x十(3x)2=2602,解得x=2610, =7m, ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的 ∴.AC=AE-CE=(100-26/10)m. EF-AD- B 坡角不得小于12°. 因此斜坡AB下降的高度AC为(100 6m, 答图 10.解：(1)如答图，过 在Rt△AFB中，∠B=45°， 点A作AF⊥BC 168.. 26√/10)m. 10.解：如答图，作CE⊥AB交AB于点 BF-AF-7 m,..CE. 于点F,AE⊥CE =c0s30°， 于点E,则四边形 E,DH⊥AB交AB延长线于点H,CF CD 45 AFCE是矩形， D ⊥DH交DH于点F. D :CE=CD·cos30°=14x5=73. 2 ..AE=CF,CE= 答图 :∠CEH=∠CFH= ∴.BC=BF+EF+CE=7+6+7√3= AF.在Rt△ABF中，AB=5米， ∠FHE=90°， ∠AFB=90°，∠BAF=16°， .四边形CEHF是矩 (13+7√3)(m), ,∴.BF=AB·sinl6≈5×0.28=1.4（米）， 形，.CE=FH. A E BH ∴坝底BC的长为(13+7√3)m. .BC=4米， 在Rt△ACE中， 答图 .CF=BC-BF=2.6米， .AC=40cm,∠A=60°， AE=2.6米，2.6>2.3， ∴.CE=AC·sin60°=34.6cm, 13 ∴人进出此遮阳棚时有安全感. '.FH=CE=34.6cm, (1)增大增大减小增大 (2)在Rt△ADE中，∠AED=90°， DH=49.6 cm,.'DF=DH-FH= (2)60°60°(3)1(4)30°(5)45 ∠ADE=45°，.DE=AE=2.6(米)， 49.6-34.6=15(cm), 12.解：∠ABC=30°，∠ADC=15°， .在Rt△ABF中，AF=AB·cos169 在Rt△CDF中，sin∠DCF=DF=15 CD 30 .∠DAB=∠ADB=15° ≈5×0.96=4.8（米），.CE=AF= ∴.BD=AB=2. 4.8米，CD=CE-DE=2.2米， =号∠DCF=30,此时台灯光 即阴影CD的长为2.2米. ∴CD=BD+BC=2+√3. 线为最佳。 an15=uADC--瓷2万 、1 第5课时解直角三角形 =2-5. 1.B2B3.B412550 第6课时三角函数的应用(1) 1.A2.C3.2404.18.8米 50 参考案 5.解：如答图，过点 由题意知四边形ABFE、四边形 .∴.tanD= AM A作AE⊥BC,垂 BOCF、四边形AOCE都是矩形，AE= DMDM 足为E,过点D作 BF=OC=1.5 m, 20 DF⊥BC,垂足为 答图 EF=0.5×9=4.5(m),∠ECH=90°， DM=a,5-x(米). F,.∠AEB=∠DFC=90°， 设HC=xm,在Rt△EHC中，EC= 在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠C= 在Rt△ABE中，∠B=60°， 45°，.CN=BN=x米 ≈O6（m,在R△FHC中，FC HC :BE=,AE=70,3=70(mm), ∴CD=DM+MW+CN=2 HC 7x+15+x tan60° √3 tan24≈0.45(m), =117,解得x≈36. .AD∥BC,.AE=DF=70√3mm, EC-EC=EF 答：阏伯台顶端点A到水平地面CD的 .AB=CD, 距离约为36米。 .Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), 六0,360,45-4.5，解得x=8.1 .'BE=CF=70 mm,BC=320 mm, .H0=HC+OC=8.1+1.5=9.6≈ 微专题9三角函数综合实践探究 ..AD-EF-BC-CF-BE-180(mm). 10(m). 1.解：方案一：如答图1，设EF交CD于 答：它的外口宽AD为180毫米 答：蘑菇石H0的高度约为10m. 点G,由题意得CA⊥AB,DB⊥AB, 6.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC= EF⊥AB,且CA=DB=1.6m, AB-6(m),BC-AB,cOsLABC- 第7课时三角函数的应用(2) .四边形ABDC,AFGC,FBDG都是矩 1.D2.B3.没有4.6.25 形，设EG=xm, 12x号9-6/5(m. 5.解：(1)在教学楼B处观测到旗杆底 在Rt△CEG中，∠ECG=30°， 端D的俯角是30°，∴.∠ADB=30°. EG ,斜坡BD的坡比是1：3 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB CG tan30=√3xm, CD-号Bc=25(m, =30°，AB=4m.∴.AD= AB 在Rt△DEG中，∠EDG=45°，.DG tan∠ADB EG-x m, ∴.AD=AC-CD=(6-23)m. 4 答：开挖后小山坡下降的高度AD为 tan30=4v3(m). AB=CD=CG+DG,∴.√3x+x=23, 答：教学楼与旗杆的水平距离是4√5m 解得x≈8.4， (6-2√3)m. ∴.EF=EG+GF=8.4+1.6=10(m), 7.解：(1)由题意可知，AC⊥CE (2).在Rt△ACD中，∠ADC=90°， 答：这棵古槐树的高度EF约为10m :=1:2.4,an∠CAB=2.4-i2' 5 ∠CAD=60°，AD=4√3m, ∴.CD=ADtan60°=4√3X√5=12(m). 5 ·老=2，AC=7.2m,.CE-3m, 答：旗杆CD的高度是12m. ,CD=0.4m,∴.DE=3-0.4=2.6(m). 6.0.5 (2)过点D作DH⊥AB于点H,如答图 7.解：计划修筑的这条高速公路不会穿越 答图 所示， 保护区.理由如下：如答图，过点P作 PC⊥AB,C是垂足， 方案二：如答图2， 则∠APC=30°， 延长CD交EF于点G, ∠BPC=45°， 由题意得CA⊥AB,DB⊥AB AC=PC·tan30°， 5 EF⊥AB,且CA=DB=1.6m,∴.四边 形ABDC,AFGC,FBDG都是矩形 答图 BC=PC·tan45° .'∠EDH+∠DEH=∠CAB+∠DEH=90°， .AC+BC=AB, 答图 设EG=xm,在Rt△CEG中， .∠EDH=∠CAB .∴.PC·tan30°+PC·tan45°=100， ∠ECG=30°，∴CG=,EG tan30-√xm, 'tan∠CAB=5 12 即5PC+PC=1o,(5+1）PC=10o, 3 在Rt△DEG中，∠EDG=45°， .'DG=EG=x m, '.tan∠EDH=tan∠CAB= 5 3 12 ..PC= ×100≈50×(3-1.732) 3+3 AB=CD=CG-DG,.√3x-x= 器品 =63.40>50. 6.3,解得x≈8.6，∴.EF=EG十GF= ∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保 8.6+1.6=10.2≈10(m), .设EH=5.xm,DH=12xm, 护区. 答：这棵古槐树的高度EF约为10m. ∴.DE=√DH+ET 8.解：过点A作AM 2.解：延长MN,CD,交于点H,过点B作 =√12x)2+(5.x)F=13xm, ⊥CD于点M,过 BK⊥MN于点K,如答图所示， DE-2.6米，13x=2.6, 点B作BN⊥CD BC 解得x=0.2,∴DH=12X0.2=2.4(m). 于点N,如答图所 答图 MA 答：该车库人口的限高数值为2.4m G下地面E示“万 示，则∠AMN=∠BNM=90° 答 8.解：(1)1.50.5(2)4量角器 AB∥CD, 则∠BKG=∠BKA=90°，，BC∥MN, (3)延长EF交HO于点C,如答图， ∴.∠BAM=180°-∠AMN=90°， .∠KBC=180°-∠BKG=90°， H .四边形ABNM为矩形， CG⊥MN,.∠CGK=∠CGH=90°， .MN=AB=15米. .∠BKG=∠CGK=∠CBK=90°， 20° 设AM=BN=x米， .四边形BCGK为矩形，.BK=CG, E 624 在Rt△ADM中， AB=5米，∠a=23°，∴BK=AB· 答图 ∠AMD=90°，∠D=29°，AM=x米， sina=5·sin23°≈2（米），.CG=2米， 51