九年级上册 第1章 第5课时矩形的性质与判定(2)(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第5课时矩形的性质与判定(2) A基础巩固●。。 落实课标 B能力提升 ●●● 灵活应用 1.下列命题正确的是 ( 6.如图，DE与AF分别为△ABC的中位线与 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 中线，在下列条件中能够判定四边形ADFE B.四条边相等的四边形是矩形 为矩形的是 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 A.AB-AC D.对角线相等的四边形是矩形 B.AF⊥BC 2.在数学活动课中，老师要求判断如图所示的 C.∠BAF=∠CAF 四边形门框是否为矩形，下面某合作小组的 D.BC=2AF 四位同学拟定的方案中，正确的是 7.如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中 A.测量对角线是否互相平分 点，OE垂直平分BC,AC=5,CD=4,则四边 B.测量两组对边是否相等 形ABCD的面积为 C.测量一组对角是否为直角 D.测量三个角是否都为直角 3.如图，木匠师傅常通过测量平行四边形框架 的对角线是否相等，以检验框架是否为矩形， 8.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长 请问木匠师傅此种检验方法依据的道理 AD至点E,使DE=AD,连接BD,BE, 是 CE,请你添加一个条件，使口BCED成为 矩形，并说明理由. (第3题图)》 (第4题图) 4.如图，□ABCD中，AC,BD相交于点O,AC =8,当OD= 时，□ABCD是矩形， 5.如图，在□ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BD的长， 6 第一章特殊平行四边形 9.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 C拓展应用)●。· 深度思考 点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且 11.如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动 AE=DF.求证：四边形ABCD是矩形； 点，过点O作直线MN∥BC,设MN交 ∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角 平分线于点F. (1)求证：OE=OF; (2)若CE=12,CF=5,求OC的长； (3)当点O在AC边上运动到什么位置时， 四边形AECF是矩形？请说明理由. 10.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB= 60°，E是AD边的中点，M是AB边上的一 个动点（不与点A重合），延长ME交CD的 延长线于点N,连接MD,AN. (1)求证：四边形AMDN是平行四边形； (2)当AM的长为何值时，四边形AMDN是 矩形？请说明理由参考苔案 ∴.△AFE≌△DCE(AAS), 11.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 12.证明：如答图，连接EF,DF ∴.AF=CD. 形，AD∥BC,∠DAE=∠BEA, (2)解：BDLDF,理由： ,∠BAD的平分线交BC于点E, 如答图，，四边形ABCD是菱形 ∴.∠DAE=∠BAE, ..AB=AD=CD. .∠BAE=∠BEA,.AB=BE, .AF=CD, 同理可得AB=AF,∴.AF=BE, .'.AB=AD=AF, ∴四边形ABEF是平行四边形， 答图 .∠ABD=∠ADB, ,AB=AF,.四边形ABEF是菱形， BE⊥AC,.∠AEB=90°，又点F ∠ADF=∠AFD, (2)解：如答图，作FG⊥BC于点G, 是AB的中点，EF=AB, .∠BDF=∠ADB +∠ADF= ×180°=90°， 1 同理可证：DF-合AB,EBF=DP, ∴BD⊥DF 又：点K是DE的中点， .FK⊥DE(三线合一). (3)解：当菱形ABCD满足∠ABC 答图 13.(1)证明：四边形ABCD是矩形 60°时，四边形ACDF是菱形，理由如 ·四边形ABEF是菱形， 下：：四边形ABCD是菱形， ∴.AB∥CD,∴.∠EAO=∠FCO. AE=6,BF=8,∴.AE⊥BF, 又.∠AOE=∠COF,AE=CF, ..AB=AD=CD-BC. :∠ABC=60°，AB=BC, OE-TAE-3,OB-BF-4, ∴.△AOE≌△COF(AAS), ..OE=OF. ∴△ABC是等边三角形， ∴.BE=√OB+OE=√32+4=5， (2)解：如答图，连接OB, ∴.AB=AC,∴.AC=CD 又：AF=CD,AF∥CD, :S装5wEr=号AE·BF=BE·FG, D .四边形ACDF是菱形 即宁×6×8=5rG,∴FG=装， 第3课时菱形的性质与判定(3) ∴SOABCD=BC·FG=(BE+EC)· 答图 1.A2.D3.36√54.12010√3 FPG=(5+2×号-13， .BE=BF,OE=OF,..OB_LEF, 5.(1)96(2)9.66.(-8,4) 12.(1)证明：如答图1，连接AC,四边形 .∠BEF+∠OBA=90° 7.(1)证明：：AD∥BC,CD∥AB, ABCD是菱形，∠ABC=60°， 由(1)知△AOE≌△COF,∴.OA=OC. .四边形ABCD是平行四边形， .△ABC是等边三角形，∠ABD= 又，四边形ABCD是矩形， ..AB=DC, ∠CBD=30°，∴AB=AC,∠BAC=60°， DC=CE,∴.AB=CE, ∠ABC=90°，.OB= 2AC=0A, ,△APE是等边三角形， .AB∥CD,∴.AB∥CE ∠OBA=∠OAB. .AP=AE,∠PAE=60°， .四边形ACEB是平行四边形，AB ∠BAC=∠PAE, 又，∠BEF=2∠BAC, =AC,.平行四边形ACEB是菱形. .2∠BAC+∠BAC=90°， .∠BAP=∠CAE, (2)解：如答图， .△BAP≌△CAE(SAS), .∠BAC=30°，∴.AC=2BC=4√3， 连接AE,交BC .BP=CE, ,∴.AB=√AC-BC 于点O,四边 BD=BP+PD,..BD=CE+PD 形ACEB是菱 =√(43)2-(23)2=6. 形， ..AELBC,AE=20A,BC=20B, 第5课时矩形的性质与判定(2) BC=6,0B=2BC-3 1.A2.D3.对角线相等的平行四边形 是矩形4.4 ∴.OA=√AB-OB=√7， 答图1 答图2 5.(1)证明：.AB=6,BC=8,AC=10, .AE=2OA=2√7，.四边形ACEB的 (2)解：如答图2，BD=CE+PD. ,.AB+BC=100=AC, ∴.∠ABC=90°， 面积为2AE·BC=6万. 第4课时矩形的性质与判定(1) :四边形ABCD是平行四边形， 8.239.43 .☐ABCD是矩形. 1.C2.A3.D4.55.23 10.证明：如答图，连接BF (2)解：四边形ABCD是矩形， 6.证明：四边形ABCD是矩形， .BD=AC=10 ∴.∠A=∠B=90°，AD=BC, 6.D7.12 又，CO=DO,.Rt△AOD≌Rt△BOC, 8.解：添加的条件为AB=BE(答案不唯 ..AO=BO. 一)，理由如下： 7.C8.69.310.15 :四边形ABCD为平行四边形， 答图 11.证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD∥BC,AD=BC, ,EF垂直平分AB,.AF=BF ∴.∠B=90°，AB=DC,AD∥BC, .DE∥BC. :四边形ABCD为菱形， ∴∠AEB=∠DAF, 又AD=DE,∴DE=BC, '.CD=BC,∠DCF=∠BCF DF⊥AE,∠AFD=90°， .四边形BCED为平行四边形. 又，CF=CF,∴.△DCF≌△BCF」 .∠B=∠AFD, 又AB=BE, ∴.DF=BF,.AF=DF .AE=AD,.△ABE≌△DFA, .CD=BE,.□BCED是矩形 .DF=AB,∴.DF=DC 31 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 9.证明：四边形ABCD是平行四边形 根据折叠的性质知： 又，DE=DE,∴.△ADE≌△CDE ÷0A=0C-2AC,0B=0D-7BD, ∠F=∠A=90°，AB=BF ∴.AE=CE. .∠C=∠F,DC=BF (2)解：四边形ABCD是正方形， AE⊥BD,DF⊥AC, :∠BEF=∠DEC,△DCE≌△BFE. ∴∠ADE=45°，DA=DE, .∠AEO=∠DFO=90°. (2)解：由折叠的性质可知：∠ADB 1 又.·∠AOE=∠DOF,AE=DF, ∠BDF=30° ·∠DAE=∠DEA=2(180°-45)= .△AEO≌△DFO(AAS), .在矩形ABCD中，∠ADC=90°， 67.5° ∴.OA=OD,∴.AC=BD, .∠EDC=30°，.DE=2EC 6.77.20 .□ABCD是矩形 在Rt△CED中，由勾股定理得 8.解：，将△BCE绕点C顺时针方向旋 10.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， DE2-EC=CD2, 转90°得到△DCF, ∴.ND∥AM,.∠NDE=∠MAE, .(2EC)2-EC=(3)2, .CE=CF,∠EBC=∠FDC=25°， ∠DNE=∠AME 即3EC=3,.EC=1,DE-2. ,四边形ABCD是正方形， E是AD的中点，.DE=AE, △DCE≌△BFE,∴.BE=DE=2. .∠BCD=∠DCF=90°， .△NDE≌△MAE 10.解：(1)四边形EGFH是平行四边形， .∠EFC=∠CEF=45°，∴.∠EFD= .ND=MA,.四边形AMDN是平 ∠CEF-∠CDF=45°-25°=20. 理由如下： 行四边形. 由题意得AE=CF=t, 9.证明：四边形ABCD是正方形， (2)解：当AM=1时，四边形AMDN ,四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AD=AB,∠CDE=∠DAF= 是矩形.理由：：四边形ABCD是菱 .AD∥BC,AD=BC,.∠GAE= 90°，又AE=BF,.DE=AF, 形，.AD=AB=2 ∠HCF, 在△CDE和△DAF中， 若□AMDN是矩形，则DM⊥AB,即 ,G,H分别是AD,BC的中点， (CD=DA, ∠DMA=90°. ∠CDE=∠DAF, 又∠DAB=60°，∴.∠ADM=30°， AG=言AD.CH=合BC, DE=AF, ..AM= 2AD=1. ∴.AG=CH, .△CDE≌△DAF(SAS), 在△AEG和△CFH中， .∠DCE=∠ADF, 11.(1)证明：，CF平分∠ACD AE=CE, '∠ADF+∠MDC=∠CDE=90°， ∴∠ACF=∠FCD, ∠GAE=∠HCF, .∠DCE+∠MDC=90°， ,MN∥BD,∠FCD=∠CFO, AG-CH, ∴.∠DMC=90°，∴.CE1DF ∴.∠ACF=∠CFO,∴.OF=OC, .△AEG≌△CFH(SAS), 10.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 同理可证：OC-OE,.OE=OF ∴.EG=FH,∠AEG=∠CFH, .AB=CB,∠ABC=90° (2)解：由(1)知：OF=OC=OE, .∠FEG=∠EFH,.EG∥HF, :△EBF是等腰直角三角形，其中 :CE,CF分别平分∠ACB,∠ACD, .四边形EGFH是平行四边形 ∠EBF=9O°，.BE=BF. ∠ACB+∠ACD=180°， (2)连接GH,由已知条件易知AG= ,∴·∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF, ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°， BH,AG∥BH,∠B=90°， ∴.∠ABF=∠CBE. .EF=√CE+CF=13, ∴.四边形ABHG是矩形， .△ABF≌△CBE(SAS). 0C-BF-号 ∴.GH=AB=6. (2)解：△CEF是直角三角形.理由如 在矩形ABCD中，AB=6,BC=8, 下：：△EBF是等腰直角三角形， (3)解：当点O运动到AC的中点时， ∴.AC=√/AB2+BC=10. ,.∠BFE=∠FEB=45° 四边形AECF为矩形，理由如下： ∴.∠AFB=180°-∠BFE=135°. 当点O运动到AC的中点时，OA=OC ①如答图1，连接GH,当四边形 且OE=OF, EGFH是矩形时，∴.EF=GH=6, 又.'△ABF≌△CBE, .AE=CF=t,.EF=10-2t=6, ∴.∠CEB=∠AFB=135 .四边形AECF为平行四边形， ∴.∠CEF=∠CEB-∠FEB=135 又由(2)知：∠ECF=90°， .t=2: 45°=90° ∴四边形AECF为矩形 ·△CEF是直角三角形 11.解：连接OA, 第6课时矩形的性质与判定(3) OD,如答图所 1.A2.D3.132+254.125 示， 5.解：BC+AC=82+62=102=AB, 答图1 答图2 四边形 .△ABC为直角三角形，∠ACB=90°. ②如答图2，连接GH,当四边形 ABCD,四边形 在Rt△ABC中，F为AB中点 EGFH是矩形时， OGFE都是正 答图 ∴CF=2AB=5, .EF=GH=6,AE=CF=t, 方形，O为正方形ABCD的中心， .EF=t+t-10=2t-10=6,∴.t=8. ..OA=OD, .FE⊥AC,FD⊥BC, 综上，四边形EGFH为矩形时，t=2 ∠OAM=∠ODN=45°， .∠FEC=∠FDC=90° 或t=8.故答案为2或8. ∠AOD=∠GOE=90°， 又，∠ACB=90°， .∠AOM=∠DON, ∴.四边形FDCE是矩形， 第7课时正方形的性质与判定(1) 在△OAM和△ODN中， .DE-CF=5. 6.D7.C8.4 1.B2.C3.164.√10 ∠OAM=∠ODN, 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， OA-OD 9.(1)证明：，四边形ABCD为矩形 ∴.AD=CD,∠ADE=∠CDE, AOM=∠DON, ∠A=∠C,AB=DC. 32