九年级下册 第3章 第10课时圆内接正多边形-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第10课时 圆内接正多边形 新课学 1.圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做 ,这个圆叫 做该正多边形的 中心角入 半径R 2.正多边形的中心：是指正多边形的外接圆的 0 边心距 3.正多边形的半径：是指正多边形的外接圆的 4.正多边形的中心角：是指正多边形每一边所对的 角； 5.正多边形的边心距：是指正多边形的 到它的一边的 知识点①)圆内接正多边形的画法 变式1尺规作图：已知⊙O及⊙O上一点A, 例1如图，已知⊙O的半径为6. 如图. (1)求作⊙O的内接正六边形ABCDEF;(要求 (1)求作：⊙O的内接正方形ABCD;(保留作图 尺规作图，保留作图痕迹) 痕迹，不写作法) (2)正六边形ABCDEF的周长为 (2)若⊙O的半径为1，则其内接正方形ABCD 的边长为 •0 知识点2圆内接正多边形的计算 变式2(2024·中考)如图，⊙O的周长为8π， 例2苯（分子式为C,H)的环状结构是由德国化 正六边形ABCDEF内接于⊙O.求△OAB的 学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现面积。 苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六 边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六 边形ABCDEF的中心，则∠CBF一∠COD的度 数为 图2 ●>160 第三章圆 课堂检测 圆基础过关 2.魏晋时期的数学家刘徽首创“割 0 1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是 圆术”，用圆内接正多边形的面 AD上任意一点，则∠BEC的度数为( ) 积去无限逼近圆面积.如图，圆 A.30° B.45° 的内接正十二边形，若该圆的半 C.60° D.90° 径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时， 4.如图，已知正六边形的边长为 扳手张开的开口b=20mm, 6,则它的内切圆的面积 为 则边长a= mm, 5.如图，⊙O的内接正九边形两条对角线AB,6.如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B CD相交，求∠1的度数. 在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的 边.若AB是⊙O的内接正n边形的一边，求 n的值. 能力检测 7.如图（①，②，③，·，@），M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形 ABCDE,…正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点，且BM=CN,连接OM,ON. (1)图①中∠MON= (2)图②中∠MON的度数是 ,图③中∠MON的度数是 (3)∠MON的度数与正n边形边数n的关系为 ●>161●参考苔案 【变式2】解：如答图，设 第10课时 圆内接正多边形 7.(1)120°(2)90°72° ⊙O与边AD,CD分别 【新课学习】 (3)∠MON=360 相切于点K,J,连接 1.圆内接正多边形外接圆 OK.OJ,OF,OE..FJ, 2.圆心3.半径4.圆心 FE是⊙O的切线， 第11课时弧长及扇形的面积 5.中心距离 ∴.∠OFE=∠OFJ 【例1】解：(1)如答图所示，正六边形 【新课学习】 :四边形ABCD是正方形， ABCDEF即为所求. ∴.∠C=∠D=90° 1.I80R 360R RI 2.8x 又：∠CBF=30°， 【例1】8π 【变式1】B ∠CFB=90°-30°=60°..∠OFJ= 【例2】解：由题意可知， ∠0FE=2×180-60)=60 SH花aB= 90·π·12 360 OJ=/3FJ. :点C,D分别是OA,OB的中点， DK,DJ是⊙O的切线 (2)36 ∴∠OKD=∠OJD=90°，OK=OJ. 【变式1】解：(1)如答图所示，正方形 0c-0D=号m 易证四边形OKDJ是正方形， ABCD即为所求. ..DJ=OJ=/3FJ. .'DF=DJ+FJ=1+√3， “花商的面积为（受一名m。 ∴.FJ=1,DJ=OJ=√3， 【变式2】解：.OE=AB=4, 即⊙O的半径为√3. .BC=2AB=4√2. 【课堂检测】 :O为BC的中点， (2)2 1.C2.43.34.68°5.20cm ∴0B=OC=-号BC=2E. 【例2】30 6.(1)证明：如答图，连接OE,OF. 【变式2】解：设半径为r,根据题意，得2π :四边形ABCD为矩形， A =8π，解得r=4. .∠OBE=90. :六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边 形，∴∠A0B=360 io∠i0E-8B-9 =60° 6 ∴.∠BOE=45°，同理，∠COF=45°. D 答图 :OA=OB,.△AOB是正三角形. ∴.∠EOF=180°-∠BOE-∠COF=90°， .AB∥CD,∴.∠ABC+∠DCB=180 Sasr=0×x:0E=4 :AB,BC分别与⊙O相切于点E,F, 六弦AB所对应的弦心距为停0A=2反 ∴.BE=BF. ÷SaB=7×4X2B=4V3. 〔课堂检测】 又，OE=OF,OB=OB 【课堂检测】 1.A2.2x43.5x4.B+号π .△OBE≌△OBF(SSS). 5.解：如答图，连接OD,OB,OC,OD交 .∠OBE=∠OBF 1B2.C30 4.27π BC于点H 即BO平分∠ABC 同理可得，CO平分∠DCB,∴.∠OBC 5.解：如答图，连接OA, OB,OC,OD,AD,则 ∠ABC.∠OCB=合∠DCB. ∠B0D=360° =40°， 1 .∠OBC+∠OCB=2(∠ABC+ ∠AOC=2∠BOD=80. 答图 ∠DCB)=2×180°=90 :∠BAD=↓∠BOD=20°， 答图 :△ABC为等边三角形， ∴.∠BOC=90°.∴.BO⊥CO. ∠ADC=号∠A0C=40 ∴.∠BAC=60°. (2)解：：BC与⊙O相切于点F, ∴.∠1=∠BAD+∠ADC=20°+40°=60° .∠BOC=120°，∠BDC=120. .OF⊥BC. 6.解：如答图，连接AO,BO,CO. D是弧BC的中点， 由(1)知BO⊥CO, .BD=CD,OD⊥BC,BH=CH 又.∠OBF=∠CBO, R△BOFR△BCO.÷需 zBC=25,∠B0D=60. ..OB= BH 在Rt△BOC中，BO=6cm,CO=8cm, sin60=4. .BC=√62+82=10(cm). 答图 .OB=OD,∠BOD=60°， AC是⊙O的内接正四边形的一边， ∴.△BOD为等边三角形 6=10:解得BF=3.6cm .∠A0C=360°÷4=90°. .∴.BD=OB=4. ∴.CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), BC是⊙O的内接正六边形的一边， SmE=120;x·4-16 360 31 AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E, .∠BOC=360°÷6=60°..∠AOB F,G,..BE=BF=3.6 cm,CG=CF= ∠AOC-∠B0C=90°-60°=30°. 6.(1)(2)元 2 6.4cm. .n=360°÷30°=12. 29