九年级下册 第3章 第1课时圆-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

第三章圆 第1课时圆 新课学 ● 1.圆的有关概念 圆的相关概念 几何语言 D (1)平面上到 的距离等于 的所有的点组成 的图形叫做圆.其中定点指的是 ,定长指的 是 (2)连接 任意两点的 叫做弦；经过 (1)圆0记作 ;定点O叫做 的弦叫做直径；圆的任意一条直径把圆分成 个半圆； ,OA叫做圆的 (2)弦： ,直径： (3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于 的弧叫 (3)劣弧： 做劣弧， 半圆的弧叫做优弧.在同圆或等圆中， 优弧： 能够互相重合的弧叫做等弧. 2.点与圆的位置关系：(d为点到圆心的距离，r为圆的半径) 点在圆外，即d r;点在圆上，即d r;点在圆内，即d 知识点①圆的有关概念 例1如图，在⊙O中，CD⊥AO. 变式1如图，线段AB过圆心O,点A,B,C,D (1)劣弧有 均在⊙O上，请指出哪些是直径、半径、弦、劣弧， (2)半径有 并把它们表示出来 (3)直径有 Pδ (4)弦有 (5)等弧有 知识点2点与圆的位置关系 例2在平面直角坐标系中，已知点P(3,一4)，变式2已知点P是半径为4的⊙0上一点，平 若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点P与 面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长 ⊙O的位置关系是 度a的范围为 A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O内 D.无法确定 ●>142● 第三章圆 课堂检 圆基础过关 1.下列说法正确的是 2.如图，在⊙O中弦的条数是 (1)长度相等的弧是等弧； A.2 (2)劣弧一定比优弧短； B.3 (3)直径是圆中最长的弦； C.4 (4)半径为3cm且经过点P的圆有无数个； D.5 (5)以点P为圆心，3cm为半径的圆有无 数个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知⊙O的半径r=5cm. 4.已知⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离 (1)若OP=5cm,则点P在圆 OP=3. (2)若OP=4cm,则点P在 (1)若r=5,则点P在 (3)若点P到圆心O的距离为6cm,则点P在 (2)若 ,则点P在圆外； (3)若 ,则点P在圆上 5.如图，在⊙O中，AC是直径，若∠AOB=60°，6.如图，OA,OB是圆的两条半 则∠C= ,∠A= 径，∠AOB=90°，AO=4,则 ∠A= ,AB的长 能力检测 7.点P到⊙0的最近点的距离为4cm,最远点8.如图，已知CD为⊙0的直 的距离为9cm,则⊙O的半径是 ( 径，过点D的弦DE平行于半 A.2.5cm或6.5cm B.2.5 cm 径OA,若∠D=50°，则∠C C.6.5 cm D.13cm或5cm 的度数是 9.(教材改编)如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,求证：点A,B,C,D共圆，圆心为点O. ●>143高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 如答图，则有xQ一xA=x一， 第2课时 圆的对称性 第3课时 垂径定理 【新课学习】 〔新课学习) 1.任意一条过圆心的直线2.圆心 1.平分平分直径CDL弦ABAE 3.弧弦 BE AC=BC AD=BD 4.AB=ANB'∠1=∠2AB=A'B'AB= 2.垂直AE=BE,AB不是直径 A'B∠1=∠2AB=A'B CD⊥AB. AC=BC AD=BD 答图 【例155 【例1】解：连接OC,如答图， ∴.x-1=2-（-2),解得x=5, 【变式1】证明：AB=AC,,AB=AC, .'CD⊥AB,∴.CE=DE -e+3= 5 5 2F(5,2) :∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形. EB=9,AE=1, .AB=10, ②当AQ为平行四边形AEQF的对角线 ..AB-AC-BC. OC=0A=5. 时，AQ,EF的中点重合， ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC ∴.OE=4. 【例2】解：当BD=4时，△PAD是以AD为 2 底边的等腰三角形. 在Rt△OCE中， 7 CE=W√OC2-OE=3 2, 证明：：P是优弧BAC的中点. .PB=PC,即PB=PC. .CD=2CE=6. F-1,-7: 又：BD=AC=4,∠PBD=∠PCA, 【变式1】解：如答图，连接 ∴.△PBD≌△PCA,∴.PA=PD. OA,:直径CD⊥弦AB, ③当AE为平行四边形AFEQ的对角线 时，AE,FQ的中点重合， ∴△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ∴AE=BE=2AB=4, 寸2--2+1，解得=-3， 【变式2】证明：AB=CD,AB=CD. .OA=√AE+OE 2 2 ∴.∠AOB=∠COD √/4+32=5， 答图 -+a= .·∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 2 ×(-3)2+3×( 即⊙O的半径为5..ED=OD-OE=2. 即∠AOC=∠BOD. 3)=、27 【例2】解：设⊙O的半径是r, F(-3,- 【课堂检测 点C是AB的中点，OC过圆心O, 综上，点F的坐标为(5，号)或(-1， 1.A2.120 .OC⊥AB.AB=4,CD=1, 3.证明：∠AOC=∠BOC,.AC=BC 子)或(-3，-2. ∴.∠ABC=∠BAC ∴BC-=号AB=2,0C=OD-CD=T-1. 4.解：如答图，连接OB. 在Rt△BOC中，OB=OC+BC, AB=BC, ∴7=(，-1)+2.解得=名 第三章 圆 AB:AC-3:4, ∠AOB:∠BOC: ∴OD=5 第1课时 圆 ∠AOC=3:3:4. 答图 【新课学可列 ∠AOB+∠BOC+∠AOC-360°， 1.圆的相关概念：(1)定点定长圆心 4 【变式2】解：如答图，连接 半径(2)圆上线段圆心两(3)半 ∠A0C=360°×0=144 OA.:D为AB的中点，C 圆大于 5.证明：如答图，连接OC 为拱门最高点，线段CD经 几何语言：(1)⊙O圆心半径 C是AB的中点， 过拱门所在圆的圆心，AB (2)CD,AB AB (3)BCD,CDA 1m,.CD⊥AB,AD=BD R ∠AOB=120°， CBA,DAB =0.5m,设拱门所在圆的半 答图 .∠AOC=∠BOC=60° 2.>= 又OA=OC=OB, 径为rm,则OA=OC=rm, 【例1(1)AC,BC,AD,BD,CD .△OAC和△OBC都是等边三角形. CD=2.5m,.OD=(2.5-r)m, (2)OC,OA,OB (3)AB (4)CD,AB .'.AC=OA=OB=BC. ∴.=0.5+(2.5-r）2.解得r=1.3. (5)AC-AD,BC-BD ∴四边形OACB是菱形. .拱门所在圆的半径为1.3m 【变式1直径：AB;半径：OA,OB,OC: 6.解：如答图，过点O作OC 【例3】解：设弧AB 弦：CD,AB; ⊥AB于点C,交圆于点 所在的圆的半径为 劣弧：AD,CD,BC,ADC,BCD D,E. rcm,如答图，作OE 【例2】A 【变式2】2≤a≤6 四边形MANB由 ⊥AB于E,连接 E OA,OC, 【课堂检测】 △MAB与△NAB组成， 答图 1.B2.C3.(1)上(2)圆内(3)圆外 .S因边形MMNB=SAMB十 则OA=rcm,OC=(r十32)cm, SANB· .OE⊥AB,.AE=EB=100cm 4.(1)圆内(2)r<3(3)r=3 由图可知，当点M与点D重合，点N 在Rt△OAE中， 5.30°60°6.45°4√27.A8.25 与点E重合时，四边形MANB的面积 OE=OA2-AE=2-1002, 9.证明：四边形ABCD是矩形， 在Rt△OCE中， ..OA=OC,OB=OD,AC=BD. 最大，最大值为2×22X(CD+DD- OE=OC-CE=(r+32)2-(100+ ..OA=OC=OB=OD. .点A,B,C,D在以点O为圆心，OA的长 2AB:DE-2×22X(2+2)=42. 40),则2-1002=(r+32)2-1402. 解得r=134,即弧AB所在的圆的半径为 为半径的圆上. 134cm. 26