九年级下册 第2章 第9课时二次函数的应用(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第9课时 二次函数的应用(1) ● 新课学 利用二次函数解决图形面积最值问题的步骤： 第一步：找出图形面积中的变量，用字母表示； 第二步：根据图形面积中变量之间的关系，建立 第三步：确定自变量的取值范围； 第四步：根据函数关系式求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）， 知识点①利用二次函数求面积最值问题 例1（教材P47随堂练习改编）如图，在一个直角 变式1（教材P47T1改编）一根铝合金型材长 三角形AEF的内部作一个矩形ABCD,其中AB 为8m,用它制作一个“目”字形窗户的框架 ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材， 和AD分别在两直角边上， 那么AB,AD分别为多少米时，窗户的面积最 (1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的 大？求窗户的最大面积. 长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ycm,当x取何值时，y的 值最大？最大值是多少？ 30 cm 40 cm 例2（教材P46例1改编）某建筑物的窗户如图所示（单位：），它的上半部分是半圆，下半部分是 矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15.当x等于多少时，窗户通过的光线最 多？此时，窗户的面积是多少？（结果保留两位小数，π取3.14） ●>130《 第二章二次函数 变式2有一个窗户形状如图，上部是两个正方形组成的矩形，下部是一个矩形，已知制作窗框的材 料总长为6m,设计这个窗户，需使透光面积最大.设AB长为xm,回答下列问题： (1)若x=1时，求此时窗户的透光面积； (2)当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ 课堂检列 基础过关 1.(教材P47T2改编)如图，小亮父亲想用长80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈， 在羊圈平行于墙面的边上开一个2m宽的门，已知房屋外墙长30m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为Sm. (1)写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)AB为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 12m 能力检测 2.(教材P46议一议)如图，在Rt△AEF的内部作一个矩形BCDH,其中点B,H分别在两直角边 上，点D,C在斜边上，EA=30,FA=40. (1)如果设矩形的一边BH=x,那么BC边的长如何表示？ (2)设矩形的面积为y,当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ ●>131《参考案 得、15 =9a十3b-3②，联立①②， 4.解：由图象可知二次函数的图象与x轴 4 .y= 15-7x-元z 的两个交点坐标为（一1,0），(3,0)，与y 3 =2 轴的交点坐标为(0,3).依题意设抛物线 0<x<15,且0<15-7x-<15, 2a 得 解得 的函数表达式为y=a(x十1)(x一3)， 3 9a+3b-3= 15 (b=一 将点(0,3)代入，得a=一1， ,.0<x<1.48 41 ,抛物线的函数表达式为y=一(x十 设窗户的面积是Sm,则S=2元x+ 抛物线的函数表达式为一t一x一3 1)(x-3),即y=-x2+2x+3. (2).抛物线的对称轴为直线x=2, △OAB底边AO=3,底边上的高为 2xy=7d+2x.l15-7延=-（答 1 3 点N(8,n)关于直线x=2对称的点 1,Sow=2×3X1=2 的横坐标为2一(8一2)=一4， +x+10-(骨+学<0， ,抛物线开口向上， 5.解：(1)：抛物线的对称轴为直线x=1,A, S有最大值，.当x= 10 ∴.当-4<c<8时，m<n. B两点关于直线x=1对称且B(4,0), ∴.A(一2,0)，.设抛物线的函数表达 -2(+5 第8课时确定二次函数的表达式(2) 式为y=a(x十2)(x-4)(a≠0)， ≈0.96时，S最大≈4.82. 抛物线经过点C(0,8),-8a=8, .当x约为0.96m时，窗户通过的光线 【新课学习 解得a=一1，.抛物线的函数表达式为 最多.此时，窗户的面积约为4.82m2. 2.x y=-(x十2)(x-4),即y=-x2十 【变式2】解：(1)由已知可得AD= 【例1】解：设二次函数的表达式y=ax2+ 2x+8. bx+c,二次函数图象经过点(0，一3)， (2)如答图，过点P作 6-1-1-1-立=5 ,则窗户的透光面 (1,0),(2,5), PH⊥OB于点H.设 4a+2b+c=5, fa=1, P(m,-m2+2m+8), 积为1×号-(m)。 ∴.a+b十c=0,解得b=2, 则H(m,0), c=-3, -3, .PH=-m2+2m+ AO HB (2②)：AB=zm,AD=(8-子m, ∴二次函数的表达式为y=x十2x一3. 8,BH=4-m, 答图 【变式1】解：设二次函数的表达式为y 8-子x>00<<号， a.x2十bx十c,将x=1,y=3;x=2,y=0;x .S=SW边形aCPH十SAPHB= (8+ 设窗户面积为Sm,则S=AB·AD =3,y=4代入，得 2m+8)·m+2(4-m）·(-m+2m x(3-7 7 )=-(-)+号 a+b+c=3, a= 2’ +8)=-2m2+8m+16=-2(m-2) 4a十2b+c=0,解得b=-之 27 十24，.当m=2时，S最大=24 当x=号时，且x=号在0<x<号的范 9a+3b十c=4, 围内，S最大值= (c=13, 第9课时 号当x为号时，窗户通 二次函数的应用(1)】 则二次两数表达式为y一子2-罗十18. 【新课学习 过的光线最多.此时窗户的面积为号m 【例2】解：依题意，设函数的表达式为 函数关系式 江课堂检测 y=a(x十3)(x-1).将点(0，-3)代人，得 【例1】解：(1)由图可知，AE=30cm,AF 1.解：(1)AB=CD=xm, -3=-3a,解得a=1, =40cm.,四边形ABCD是矩形， “.BC=(80+2-2x)m, .所求函数表达式为y=(x十3)(x一1)， .AB=DC,CD∥AF 由矩形面积公式得S=x(82-2x) 即y=x2+2x-3. .AF=40,AE=30,AD=x, 【变式2】解：由图象可知二次函数的图象 .DE=30-x, =-2x2+82,AB>0, 2<BC≤30， 与x轴的两个交点坐标为(1,0)，(3,0)， CD∥AF,∴△EDC∽△EAF, 顶点为(2,2)，依题意设抛物线的函数表 达式为y=a(x-1)(x-3),将点(2,2)代 架是8=”0， /x>0, 301 2<82-2x≤30， .26≤x<40, .S=-2.x2+82x(26≤x<40). 入，得a=一2，∴.抛物线的函数表达式为 ..CD=- 3x+40. (2)S=-2x2+82x=-2(x-20.5) y=-2(x-1)(x-3), 即y=-2x2+8x-6. AB边的长为-号x十40. +840.5,.-2<0,.当x>20.5时， S随x的增大而减小， 【课堂检测 2)y=AD·AB=x(40-x)=- :26≤x<40,当x=26时，S有最大 1.B 值为-2×(26-20.5)2+840.5=780， 2.y=x2+2x-3 +40x=-号(x-15)+300(0<<30y, 即当AB=26m时，羊圈的面积最大， 3.解：(1)设二次函数的表达式为y=ax 最大面积是780m2. .当x=15时，y的值最大，最大值为 十bx十c(a≠0)，将(-2,4)，(0，-2)和 2.解：(1).∠A=90°，AF=40,AE=30, 300. (2,0)代入表达式中，得 .EF=50.如答图， 4=4a-2b+c, a=1, 【变式1】解：设AB为xm,则AD=8-,4虹 2 过点A作AM⊥EF 一2=c,解得b=-1, =(4一2x)(m),设窗户的面积为Sm2,则 于点M,交BH于 0=4a+2b+c, c=-2, S=x·(4-2x)=-2(x-1)2+2, 点N,利用等面积 二次函数的表达式为y=x2一x一2. 当x=1时，S取得最大值2， 法得AM=24, (2)将(4，m)代人y=x2-x-2中， 即AB=1m,AD=2m时，窗户的最大面 四边形BCDH是 解得m=10. 积为2m. 矩形，.BH∥EF, 【例2】解：.7x十3y十πx=15, 23 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） MN=C,器-AN=24-C 得36a十4=1，解得a= ,∴，k<2时，方程ax2十bx十c=k有两个不 相等的实数根 BH=x,心 x 24-BC .抛物线的函数表达式为y= 【变式1】解：(1)当y=0时，函数图象与x 24 12 轴的两个交点的横坐标即方程ax2十bx+ ∴Bc-2-号 6)2+4= 12x+x+1. c=0的两个根，由图可知，方程的两个根 (2)矩形面积y=BH·BC= 11 为x1=-1,x2=3. (24号)= (2)当y=号时，立x-6y+4= 3 (2)根据函数图象，在对称轴x=1的左 x2+24x, 解得x1=4,x2=8. 侧，y的值随x值的增大而减小，此时， 当x=一名=25时y的值最大，最 船向右偏移航线，∴x=8, x1. ∴.8-6=2(m), (3)方程ax2+bx十c=k没有实数根，即 大值是4ac二-30. 船中心偏离航道中心2m 函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象与直线 Aa 【课堂检测】 y=k无交点，此时k<一2. 1.解：(1)由题意，得(130-100)×80= .当k<一2时，方程ax2十bx十c=k无实 第10课时 二次函数的应用(2) 2400(元)，即商家降价前每星期的销 数根 【新课学习】： 售利润为2400元。 【例2】解：(1)令y=0,.0=ad+bx-b-a, 【例1】解：设每间客房的日租金提高10x (2)由题意，得y=130-工×20十80- △=62-4·a[-(a+b)]=b+4ab+ 元，则每天客房少出租2x间.设装修后客 5 4a2=(2a+b)2≥0， 房日租金总收人为y元，则 一4x十600，y与x之间的函数关系 ,方程有两个不相等实数根或两个相等 y=(180+10x)·(40-2x) 式为y=-4x+600. 实数根，二次函数图象与x轴的交点的 即y=-20(x-1)2+7220. (3)设每星期的销售利润为w元，由题 个数为1或2. x≥0，且40-2x>0,.0≤x<20 意，得w=(x-100)y=(x-100)(-4x (2)·二次函数图象的对称轴是直线x= 当x=1时，yx=7220. +600)=-4(x-125)2+2500, b 这时每间客房的日租金为180十10×1= ∴.当每件售价定为125元时，每星期的销 1,.- 2a =-1,∴.b=2a 190(元). 售利润最大，最大销售利润为2500元. ∴.二次函数为y=a.x2+2ax-3a, 装修后比装修前日租金总收入增加7220一 2.解：(1)建立平面直角坐标系如答图所示， 令y=0,则ax2十2ax-3a=0(a≠0)， 40×180=20(元). y个 解得=一3,2=1，.这个函数图象与 答：每间客房的日租金提高到190元时， x轴交点的坐标为（一3,0），(1,0) 客房日租金的总收入最高；比装修前日租 【变式2】(1)证明：，△=(-2m)2-4×1 金总收入增加20元， X(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0, 【变式1】解：(1)由题意可设y=kx十b, .方程x2-2mx十m2十3=0没有实数 则十女 k=-20, 4m 根，即不论m为何值，该函数的图象与x 答图 轴没有公共点. ∴.y=-20x+800.∴.W=(x-10)y= 由题意可得，顶点坐标为(0,0)，设抛物 (2)解：y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+ (x-10)(-20x+800) 线的表达式为y=ax2,把点坐标（一2， 3,把函数y=(x一m)2+3的图象沿y轴 即W=-20x2+1000x-8000. 2)代人，得a=一0.5， 向下平移3个单位长度后， (2)一20<0，.W有最大值. .抛物线的函数表达式为y=一0.5x2 得到函数y=(x一m)2的图象，它的顶点 当x= 1000 2X(-20)=25时， (2)当水面下降1m,即当y=-3时， 坐标是(m,0),此时，这个函数图象与x轴 只有一个公共点， W#大做=-20×252+1000×25-8000= 一3=一0.5x2,解得x=士√6，所以水 面宽度增加到2√6m ∴.把函数y=x2一2mx十m2十3的图象沿 4500. 答：商品的销售价定为25元/件时利润最 ∴.水面宽度增加了(2√6-4)m. y轴向下平移3个单位长度后，得到的函 大，最大利润是4500元， 数的图象与x轴只有一个公共点. 【例2】解：(1)设抛物线的函数表达式为 第11课时二次函数与一元二次方程(1)月 【课堂检测】 y=a.x2+bx+c(a≠0)， 【新课学习 1.A2.B3.(-2,0),(1,0) A(-3,0),B(3,0),C(0,3), 1.两个不相等两个相等 4.k≤2且k≠0 /0=9a-3b+c, 2.m n 1 0 c 5.解：(1)当b=2,c=一3时，二次函数的 ∴.0=9a+3b十c,解得 b=0, 【例1】解：(1)函数图象与x轴的两个交 表达式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4, (3=0+0+c, ∴.C(-1,-4),当y=0时，x2+2x-3 c=3, 点的横坐标即方程ax2十bx十c=0的两 个根，由图可知，方程的两个根为x1=1, =0,解得x1=-3,x2=1,点A在点 ,.抛物线的函数表达式为y=一 3 x2十3. x2=3. B的左侧，A(-3,0),B(1,0). (2)能，理由：当x=2时，y=一 3×2+3 (2)根据函数图象，在对称轴的右侧，y随 (2)输人b=一2时，抛物线的函数表达 x的增大而减小，此时x≥2. 式为y=x2一2x十c, 号-1=号>0.5， 5 2 (3).'a.x2十bx十c=有两个不相等的实数 ,图象与x轴只有一个交点，则△= 根，∴.抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与直线 4一4c=0,则c=1,故答案为1. ∴，暴雨后这艘船能从这座石拱桥下通过 y=有两个交点，根据函数图象易知， (3)从图象上看，它们都是轴对称图形； 【变式2】解：(1)根据题意知，抛物线的顶 当>2时，无交点； 它们的开口都朝上；它们都可以由y= 点坐标为(6,4)，经过(12,1)，设抛物线表 当k=2时，只有一个交点； x的图象平移得到.（任意两条即可） 达式为y=a(x-6)2十4，把(12,1)代人， 当k<2时，有两个交点， 24.