九年级下册 第1章 第5课时解直角三角形-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第5课时 解直角三角形 新课学分 1.定义：直角三角形已知的“元素”，求出所有 元素的过程，叫做解直角三角形 2.依据：如图，△ABC是直角三角形 (1)三边之间的关系：a2+b=c2(勾股定理)； (2)锐角之间的关系： +∠B=90°； (3)边角之间的关系：sinA= cos A= tan A= B 3.结论：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道 和 元素，那么这个 三角形的所有元素都可以确定下来。 知识点①已知两边解直角三角形 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 变式1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 3√2，AB=6,解这个直角三角形 √2，AC=√6，解这个直角三角形. 6 知识点②已知一边一锐角解直角三角形 例2在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分变式2如图，在△ABC中，∠B=30°，tanC= 别为a,b,c,∠C=90°，c=4√3，∠A=60°.解这 专，AD1BD于点D,且AB=8,求BC的长. 个直角三角形， ●>106 第一章直角三角形的边角关系 课堂检 圆基础过关 1.如图，某商场为了便于残疾人的轮椅通行，准2.一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含 备拆除台阶换成斜坡，斜坡的坡角不得超过 30°角的三角尺的长直角边相等.于是，小陆同 10°，此商场门前的台阶高出地面1.53m,则斜 学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶 坡的水平宽度AB至少为（精确到0.1m. 点重合拼放在一起，点B,C,E在同一直线上， sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tanl0°≈0.18) 若BC=2,则AF 1.53m A.8.5mB.8.8mC.8.3mD.9m 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8,tanB= 2,点D在BC上，且BD=AD. (1)求AB的长； (2)求cos∠ADC的值. D 巡能力检测 4.如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD)和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直 杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB=36cm,∠BAC=58°. E.- (1)求BC长度； (2)为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，求支架直杆OP的最小长度. (结果精确到1cm,参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53，sin58°≈0.85) ●>107高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） ∴.AC=WAD+CD2= ∴.∠OAC=∠BOA=30°，∴.AB=BO: 【变式1】解：在Rt△ABC中， √(3)2+(4k)2=5k, 在Rt△BOC中，cos∠COB= CO 5 ,BC=√2，AC=√6， BO BO AC=15,.5k=15, BC=2=3 ∴.k=3,∴.AD=9,CD=12, -9AB=0 50√3 3 ∴tanA=AC=63' Sae=2AB:CD-2×15X12=90. ,该车从点A行驶到点B用时1.5s, ∠A=30°，.∠B=180°-90°-30°=60°， :505÷1,5=100y5(m/s, AB=2BC=2√2 (2)在Rt△BCD中，BD=AB-AD 3 9 【例2】解：∠A=60°， 15-9=6,CD=12, 则该车从点A行驶到点B的平均速度 .∠B=90°-∠A=30° ,∴.BC=√CD+BD=√12+6=6√5， :sinA=a,a=c·sinA=4V5·sin60°= ,∴.cosB BD 6 5 为1o05m/s. 9 BC 65 -5 (2)不超速.理由：由(1)知从点A行驶 43×5-6, 2 “∠B的余弦值为得。 到点B的平均速度为100E m/s,且√3 9 ∴.b=√/c2-a2=√(4√3)2-62=2√3】 【变式2】解：AD⊥BC, 第3课时30°，45°，60°角的三角函数值 ≈1.732，则29×1.732≈19.24(m/), ,.∠ADB=∠ADC=90°. 新课学习 1m/s=3.6km/h, .在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=8, ..19.24×3.6=69.264(km/h)<70km/h, 1.9 1 .AD=4,BD=4√3.，在Rt△ADC中 2 2 2 23 1√3 ∴该车不超速、 tanC=AD_4 CD 3 AD=4, 2.增大减小 第4课时 三角函数的计算 【例1)解：原式=(3)‘+（分）°-1 4 ..CD- =3,.BC=BD+CD=4√3 【新课学习 tanC 【例1】A 【变式1】B +3 4+4-1=-2 【例2】(1)4731'21" (2)8°50'8" 汇课堂检测了 【空式1山解：原式=2×+×号 (3)3353'36 3 1.A2.2√3-√6 【变式2】A V1--5+9-(万-1)-得+ 3.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90, 6 江课堂检测 BC=8,tanB=7∴号=anB=8瓷， 1 1=3+6 1.(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9045 6 (4)1.0349(5)-0.7817 解得AC=4,∴.在Rt△ABC中， 【例2】(1)60°(2)60° (3)45 2.C3.①④4.B AB=√AC+BC=√4+8=4√5. 【变式2】C 5.解：(1)27.2 (2)设CD=x,则AD=BD=8-x, 【例3】解：根据题意可得：OB=OA=OD (2)如答图，过点E作EG⊥BC,G为垂 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 =2.5m,∠B0C=30°， 足，连EB,:AF∥ AD=CD+AC,(8-)2=+16, :0C=cs30°·B0=5X2.5≈2.165(m, BC,.四边形 解得x=3,∴.CD=3,AD=5, 2 AEGD为矩形， ∴.AE=DG, 则o∠ADC-咒=是 ∴.AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m). 答：它摆至最高位置时与其摆至最低位置 EG=AD. 答图 4.解：(1).四边形ABCD是矩形， 时的高度之差约为0.34m. 在Rt△BGE中，∠EBG=45°， ∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB= 【变式3】解：，小丽与树之间的距离为6m, 36cm,∠BAC=58°， ∴.BG= EG an45=2.2=27.2(mD 1 .AD=6m,又∠CAD=30°， .BC=AB·tan58°≈36×1.6=57.6 ∴在Rt△CAD中，tan∠CAD=CP 在Rt△ABD中，∠ABD=65°， ≈58(cm),∴.BC长度约为58cm AD' .BD=AB·cos65°=30×cos65°≈ (2)在Rt△ABC中，AB=36cm, 即tan30°=cP-5,解得CD3.46(m. 12.68(m), 63 .AE=DG=BG-BD=27.2-12.68 ∠BAC=58AC=≈ :小丽身高是1.65m, ≈14.5(m),即AE至少是14.5m. 67.92(cm), .DE=AB=1.65(m), :点O是AC的中点， ∴.CE=CD+DE=3.46+1.65≈5.1(m). 第5课时 解直角三角形 0c-7ACe3,96(em, .这棵树大约有5.1m高 【新课学习 .当OP=OC时，旋转过程中显示屏与 〔课堂检测 1.未知2.∠A b c c b 支架平台EF刚好不发生磕碰， 1.(-21)2.等边 3.(1)0(2) 3.一条边第三个 .支架直杆OP的最小长度约为34cm. 4解：原式=()+()-（）×1 【例1】解：在Rt△ABC中， ,AC=3√2，AB=6, 第6课时 三角函数的应用(1) asA-A8-3-9 【新课学习 6 2 (1)30(2)70 5.解：(1).∠C0B=30°，∠COA=60°， .∠A=45°， 【例1】解：：∠DAB=30°，∠DBC=∠A .∠OAC=90°-∠COA=30°， .∠B=180°-90°-45°=45°. +∠ADB=60°，.∠A=∠ADB=30°， ∴.∠BOA=∠COA-∠COB=30°， ∴.BC=AC=3√2. .'BD=AB=50 m, 18